📄 Treść zadania
Osią symetrii wykresu pewnej funkcji kwadratowej jest prosta o równaniu \(x=-3\), a wartość największa tej funkcji jest równa \(4\). Który ze wzorów może opisywać tę funkcję kwadratową?
A
\(y=2\cdot(x+3)^2+4\)
B
\(y=-2\cdot(x-3)^2+4\)
C
\(y=-2\cdot(x+3)^2+4\)
D
\(y=-2\cdot(x+3)^2-4\)
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Oś symetrii zawsze przechodzi przez wierzchołek paraboli. Skoro osią symetrii jest prosta \(x=-3\), to znaczy, że współrzędna \(p\) wierzchołka paraboli jest równa \(p=-3\).
Wiemy też, że największa wartość tej funkcji jest równa \(4\). Z własności funkcji kwadratowych wynika, że przyjmują one swoje największe lub najmniejsze wartości właśnie w wierzchołku. Z tego też względu wiemy już, że \(q=4\).
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji kwadratowej.
Współrzędne wierzchołka paraboli związane są z zapisaniem funkcji w postaci kanonicznej. Podstawiając do tej postaci wyznaczone współrzędne \(p\) oraz \(q\) otrzymamy:
$$y=a(x-p)^2+q \ ,\
y=a(x-(-3))^2+4 \ ,\
y=a(x+3)^2+4$$
Krok 3. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\).
Jeśli spojrzymy się na proponowane odpowiedzi, zauważymy, że pasują nam już tylko dwie możliwości - odpowiedź A oraz C. Musimy teraz ustalić jaki jest współczynnik \(a\) i dopiero wtedy, będziemy mogli wybrać prawidłową odpowiedź. Niestety nie jesteśmy w stanie obliczyć konkretnej wartości współczynnika \(a\). Możemy jednak określić, czy jest on dodatni, czy ujemny.
W treści zadania jest informacja, że funkcja posiada swoją największą wartość i jest ona równa \(4\). To prowadzi nas do wniosku, że parabola musi mieć ramiona skierowane do dołu (gdyby ramiona były skierowane do góry, to największą wartością byłoby zawsze \(+\infty\)). Skoro tak, to współczynnik \(a\) musi być ujemny, zatem pasuje nam jedynie odpowiedź C.