\(\sqrt[3]{27}=3\), bo \(3^3=27\). W związku z tym:
$$\frac{6}{\sqrt[3]{27}}=\frac{6}{3}=2$$

Wynikiem pierwiastka parzystego stopnia jest zawsze liczba dodatnia. Z tego też względu np. \(\sqrt{25}=5\), a nie \(-5\), choć przecież \((-5)^2\) jest także równe \(25\). To zadanie ma więc ukrytą w sobie bardzo dużą pułapkę, bo wbrew pozorom potęga znajdująca pod pierwiastkiem nie skróci nam się bezpośrednio z pierwiastkiem, dając ostatecznie wynik \(1-2\sqrt{2}\). Całość zadania należy rozwiązać w następujący sposób:
$$\sqrt{(1-2\sqrt{2})^2}=|1-2\sqrt{2}|$$

Wartość w nawiasie bezwzględności jest ujemna (jest równa około \(-1,8\)). W związku z tym opuszczając nawiasy bezwzględności musimy zmienić znak na przeciwny, zatem:
$$|1-2\sqrt{2}|=-(1-2\sqrt{2})=-1+2\sqrt{2}=2\sqrt{2}-1$$

Jeżeli wartość samochodu byłaby równa \(x\) to po roku wartość auta wyniosłaby \(x-0,15x=0,85x\). Możemy więc sobie rozpisać to w następujący sposób:
Początkowa wartość samochodu: \(80000\)
Wartość po pierwszym roku \(0,85\cdot80000\)
Wartość po drugim roku \(0,85\cdot0,85\cdot80000\)
Wartość po trzecim roku \(0,85\cdot0,85\cdot0,85\cdot80000\)

Możemy więc powiedzieć, że po trzech latach od zakupu wartość samochodu jest równa:
$$0,85\cdot0,85\cdot0,85\cdot80000=49130[zł]$$

Jeżeli Pan Adam zarabia \(x\) złotych, to na początku wpłaty na rzecz stowarzyszenia wynosiły \(2\%\) z \(x\) czyli \(0,02x\) złotych.
W momencie kiedy Pan Adam zaczął przeznaczać na stowarzyszenie \(3\%\) swoich dochodów, to na stowarzyszenie wpłacał \(0,03x\) złotych.

To oznacza, że wysokość wpłat wzrosła o:
$$\frac{0,03x-0,02x}{0,02x}\cdot100\%=\frac{0,01x}{0,02x}\cdot100\%=\frac{1}{2}\cdot100\%=50\%$$

Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi iksów. Po kratkach możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości dla argumentów od \(x=-6\) aż do \(x=5\), zatem dziedziną funkcji będzie przedział \(\langle-6,5)\). Warto jeszcze w tym miejscu zwrócić uwagę na nawiasy. Nawias po lewej stronie jest domknięty, bo dla argumentu \(x=-6\) mamy zamalowaną kropkę, natomiast nawias po prawej stronie jest otwarty, bo dla argumentu \(x=5\) kropka jest niezamalowana.

Reszta z dzielenia przez \(3\) może być równa \(0\), \(1\) lub też \(2\). Przykładowo:
$$6:3=2\;r.0 \           ,\
7:3=2\;r.1 \           ,\
8:3=2\;r.2 \           ,\
9:3=3\;r.0$$

To oznacza, że zbiorem wartości tej funkcji są liczby \(\{0,1,2\}\).

Przesuwając wykres o \(4\) jednostki do góry wartość funkcji dla każdego z argumentów jest o \(4\) większa. Stąd też tworząc wzór funkcji \(g(x)\) musimy na samym końcu wzoru dopisać \(+4\), dzięki czemu otrzymamy postać \(g(x)=\frac{4}{x}+4\).

Krok 1. Zapisanie równania.
Aby dowiedzieć się kiedy jakaś funkcja przyjmie konkretną wartość wystarczy przyrównać wzór funkcji do tej wartości. W naszym przypadku musimy rozwiązać następujące równanie:
$$3^x=4$$

Krok 2. Przekształcenie równania na postać logarytmu.
Z definicji logarytmów wiemy, że \(log_{a}b=c\) wtedy, gdy \(a^c=b\). Jeżeli więc porównamy sobie zapis \(3^x=4\) do zapisu \(a^c=b\), to będziemy mogli przyjąć, że w tym zapisie \(a=3\), \(c=x\) oraz \(b=4\). Podstawiając te liczby do postaci logarytmu \(log_{a}b=c\) wyszłoby nam, że:
$$log_{3}4=x \           ,\
\text{czyli: } x=log_{3}4$$

Co prawda nie mamy takiej odpowiedzi jak \(log_{3}4\), ale korzystając z działań na logarytmach możemy dopasować się do naszych odpowiedzi w następujący sposób:
$$x=log_{3}4 \           ,\
x=log_{3}2^2 \           ,\
x=2log_{3}2$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować sobie omawianą sytuację:


Krok 2. Odczytanie wartości współczynników \(a\) oraz \(b\)
Funkcja jest malejąca, zatem współczynnik \(a\) jest liczbą ujemną, czyli \(a\lt0\).
Współczynnik \(b\) mówi nam o miejscu przecięcia się wykresu z osią igreków. Widzimy wyraźnie, że funkcja przecina oś igreków w ujemnej wartości, czyli \(b\lt0\).

Krok 3. Wybór prawidłowej odpowiedzi.
Wiemy już, że zarówno \(a\) jak i \(b\) są liczbami ujemnymi. Przeanalizujmy teraz każdą z odpowiedzi:
Odp. A. \(a+b\gt0\) - to nie może być prawda, bo suma dwóch liczb ujemnych na pewno będzie mniejsza od zera.
Odp. B. \(a+b\lt0\) - to prawda, bo suma dwóch liczb ujemnych na pewno będzie mniejsza od zera.
Odp. C. \(ab=0\) - to nie jest prawda, bo iloczyn dwóch liczb ujemnych da wynik dodatni.
Odp. D. \(ab\lt0\) - to nie jest prawda, bo iloczyn dwóch liczb ujemnych da wynik dodatni.

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Ramiona paraboli są skierowane do dołu, zatem współczynnik kierunkowy \(a\) musi być ujemny. Stąd też wiemy, że \(a\lt0\).

Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(c\).
W przypadku funkcji kwadratowych zapisanych w postaci ogólnej, współczynnik \(c\) mówi nam o miejscu przecięcia się paraboli z osią igreków. Widzimy, że parabola przecina oś igreków dla \(y=5\), w związku z tym współczynnik \(c=5\). Stąd też \(c\gt0\).

To oznacza, że prawidłowa jest druga odpowiedź.

Krok 1. Wyznaczenie brakującej wartości \(x\).
Wartości odwrotnie proporcjonalne charakteryzują się tym, że wraz z np. dwukrotnym wzrostem jednej liczby, spada dwukrotnie wartość drugiej liczby.
Spójrzmy teraz na naszą tabelkę. Widzimy, że \(y_{1}=16\) oraz \(y_{2}=24\). Możemy więc dostrzec, że wartość igreka wzrosła półtorakrotnie, bo \(\frac{y_{2}}{y_{1}}=\frac{24}{16}=1,5\). To oznacza, że \(x_{2}\) powinno być \(1,5\) razy mniejsze od \(x_{1}\) lub też jak kto woli, \(x_{1}\) powinno być \(1,5\) razy większe od \(x_{2}\). Skoro \(x_{2}=2\), to \(x_{1}=1,5\cdot2=3\).

Krok 2. Wyznaczenie brakującej wartości \(y\).
Spójrzmy teraz na wartości \(x_{2}\) oraz \(x_{3}\). Widzimy, że \(x_{3}\) jest czterokrotnie mniejsze od \(x_{2}\), zatem \(y_{3}\) musi być czterokrotnie większe od \(y_{2}\). W związku z tym \(y_{3}=4\cdot24=96\).

Tak na marginesie, to warto zauważyć, że iloczyn liczb w każdej kolumnie daje tą samą wartość:
$$3\cdot16=48 \           ,\
2\cdot24=48 \           ,\
0,5\cdot96=48$$

To też może być dla nas wskazówka do rozwiązywania takich zadań lub chociażby weryfikowania poprawności obliczeń.

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego, drugiego oraz trzeciego wyrazu.
Podstawiając do wzoru ciągu odpowiednio \(n=1\), \(n=2\) oraz \(n=3\) otrzymamy:
$$a_{1}=(-1)^1\cdot\frac{1}{1+1}=-1\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{2} \           ,\
a_{2}=(-1)^2\cdot\frac{2}{2+1}=1\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3} \           ,\
a_{3}=(-1)^3\cdot\frac{3}{3+1}=-1\cdot\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Krok 2. Obliczenie iloczynu trzech pierwszych wyrazów.
Zgodnie z treścią zadania musimy obliczyć iloczyn trzech pierwszych wyrazów, których wartości przed chwilą wyznaczyliśmy, zatem:
$$-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$$

Aby dowiedzieć się ile wyrazów ujemnych ma wskazany ciąg musimy rozwiązać następującą nierówność:
$$4(n+1)(n-10)\lt0 \quad\bigg/:4 \           ,\
(n+1)(n-10)\lt0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałej nierówności kwadratowej.
Otrzymaliśmy nierówność kwadratową zapisaną w postaci iloczynowej. Rozwiązywanie nierówności rozpoczynamy od wyznaczenia miejsc zerowych, czyli sprawdzenia kiedy \((n+1)(n-10)=0\). Zgodnie z własnościami postaci iloczynowej możemy zapisać, że:
$$n+1=0 \quad\lor\quad n-10=0 \           ,\
n=-1 \quad\lor\quad n=10$$

Zaznaczamy na osi nasze wyznaczone miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności mamy znak \(\lt\)) i szkicujemy parabolę. Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, zatem:


Teraz musimy odczytać rozwiązania naszej nierówności. Interesują nas wartości mniejsze od zera, czyli wszystko to, co znalazło się pod osią. Możemy więc zapisać, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział \(n\in(-1;10)\).

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Ze wszystkich dotychczasowych obliczeń wyszło nam, że \(4(n+1)(n-10)\) jest mniejsze od zera dla każdego \(n\), które jest większe od \(-1\) i mniejsze od \(10\). W przypadku ciągów \(n\) musi być dodatnią liczbą naturalną. Musimy więc sprawdzić jakie liczby naturalne mieszczą się w wyznaczonym przez nas przedziale. Takimi liczbami będą: \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\). Pasuje nam \(9\) liczb, zatem ten ciąg ma \(9\) wyrazów ujemnych.

Krok 1. Rozpisanie wyrazów pierwszego i drugiego ciągu.
Bazując na informacjach z treści zadania możemy zapisać, że:
$$a=x \           ,\
b=x+2 \           ,\
c=x+2+2=x+4$$

$$d=y \           ,\
e=y+4 \           ,\
f=y+4+4=y+8$$

Z tego wynika, że w naszym docelowym trzecim ciągu będziemy mieć następującą sytuację:
$$a+d=x+y \           ,\
b+e=x+2+y+4=x+y+6 \           ,\
c+f=x+4+y+8=x+y+12$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu.
Skoro pierwszy wyraz jest równy \(x+y\), a drugi wyraz jest równy \(x+y+6\), to różnica tego ciągu będzie równa:
$$x+y+6-(x+y)=x+y+6-x-y=6$$

Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że:
$$cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2} \           ,\
cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2} \           ,\
cos60°=\frac{1}{2}$$

W związku z tym wartość naszego wyrażenia będzie równa:
$$\frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}= \           ,\
=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1:\frac{\sqrt{2}}{2}=1\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}= \           ,\
=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$

Tak na marginesie, to moglibyśmy zauważyć, że \(cos^{2}30°+cos^{2}60°=1\), ponieważ \(cos^{2}30°=sin^{2}60°\), zatem w liczniku możemy skorzystać z jedynki trygonometrycznej: \(sin^{2}60°+cos^{2}60°=1\).