Krok 1. Zapisanie danych z treści zadania.
Błąd względny obliczymy korzystając ze wzoru \(δ=\frac{|x-p|}{x}\), gdzie:
\(δ\) - błąd względny
\(x\) - dokładna wartość
\(p\) - wartość przybliżona

W naszym przypadku:
\(x=132,5\)
\(p=138\)

Krok 2. Obliczenie błędu względnego.
Korzystając z powyższych informacji błąd względny obliczymy w następujący sposób:
$$\frac{|132,5-138|}{132,5}=\frac{|-5,5|}{132,5}=\frac{5,5}{132,5}\approx0,042$$

Z treści zadania wynika, że:
$$a=0,8b$$

My musimy policzyć jaki procent liczby \(a\) stanowi liczba \(b\), czyli musimy tak naprawdę obliczyć \(\frac{b}{a}\). W związku z tym:
$$\frac{b}{a}=\frac{b}{0,8b}=1,25=125\%$$

Tak na marginesie: w tym zadaniu bardzo łatwo jest o błąd, zwłaszcza że nie wszyscy wiedzą dlaczego akurat zapis \(a=0,8b\) jest tym poprawnym. Aby lepiej zrozumieć istotę tego zapisu, to można sobie to wyjaśnić na konkretnych przykładach liczbowych, przyjmując że np. \(b=10\). Jeżeli \(b=10\), to \(a\) będące o \(20\%\) mniejsze będzie równe \(a=8\). Teraz znacznie łatwiej będzie zrozumieć dlaczego \(a=0,8b\) i dlaczego liczymy \(\frac{b}{a}\).

Naszym zadaniem jest tak naprawdę usunięcie niewymierności z mianownika. W tym konkretnym przypadku wymnożenie licznika i mianownika przez \(\sqrt{3}\) nic nam nie da. Tutaj należy pomnożyć licznik i mianownik przez \(6-\sqrt{3}\), dzięki czemu w mianowniku będziemy mogli skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Przy okazji także w liczniku będziemy mogli zastosować wzór skróconego mnożenia: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{3})\cdot(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})\cdot(\sqrt{6}-\sqrt{3})}= \           ,\
=\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{3})^2}{6-3}=\frac{6-2\sqrt{18}+3}{3}=\frac{9-2\sqrt{18}}{3}= \           ,\
=\frac{9-2\sqrt{9\cdot2}}{3}=\frac{9-6\sqrt{2}}{3}=3-2\sqrt{2}$$

Wymnażając przez siebie poszczególne wyrazy oraz korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymamy:
$$(x-2)^2\le14-(2-x)(x+2) \           ,\
x^2-4x+4\le14-(2x+4-x^2-2x) \           ,\
x^2-4x+4\le14-2x-4+x^2+2x \           ,\
x^2-4x+4\le x^2+10 \           ,\
-4x+4\le10 \           ,\
-4x\le6 \quad\bigg/:-4 \           ,\
x\ge-\frac{6}{4} \           ,\
x\ge-\frac{3}{2}$$

To oznacza, że zbiorem rozwiązań nierówności będzie przedział \(\langle-\frac{3}{2},+\infty)\).

Zwróć też uwagę na to, że dzieląc (lub mnożąc) obydwie strony nierówności przez liczbę ujemną zmienia się znak nierówności.

Sprawdźmy po kolei każdą z odpowiedzi:
Odp. A.
Zacznijmy od lewej strony. Skoro \(\sqrt[3]{125}=5\), to \(-\sqrt[3]{125}=-5\).
Po prawej stronie mamy \(\sqrt[3]{-125}=-5\), bo \(-5\cdot-5\cdot-5=-125\).
Pierwsze równanie jest więc prawdziwe.

Odp. B.
Wartość\(\sqrt{(-125)^2}\) jest równa \(125\), a nie \(-125\). Dlaczego akurat tak? Wynikiem pierwiastkowania w przypadku parzystego stopnia pierwiastka może być tylko liczba dodatnia. Z tego też względu jak mamy np. \(\sqrt{25}\), co moglibyśmy analogicznie zapisać jako chociażby \(\sqrt{(-5)^2}\), to wynik tego pierwiastkowania jest równy tylko i wyłącznie \(5\), mimo iż przecież \(-5\cdot(-5)\) także daje wynik równy \(25\).

Odp. C.
Po lewej stronie mamy \(\sqrt[5]{-64}\). Wyłączając czynnik przed znak pierwiastka otrzymamy \(\sqrt[5]{-32\cdot2}=-2\sqrt[5]{2}\). To jest dokładnie ten sam wynik co po prawej stronie równania, zatem zdanie jest prawdziwe.

Odp. D.
Po lewej stronie mamy \(5^{\frac{7}{3}}\). Zamieniając postać potęgi na postać pierwiastka otrzymamy: \(5^{\frac{7}{3}}=\sqrt[3]{5^7}=\sqrt[3]{5^6\cdot5}=5^2\sqrt[3]{5}=25\sqrt[3]{5}\). Zdanie jest więc prawdziwe, bo po lewej i prawej stronie mamy tą samą wartość.

Krok 1. Dostrzeżenie rodzaju przesunięcia wykresu funkcji.
Funkcja wykładnicza \(f(x)=a^x\) jest funkcją, która posiada dwie kluczowe cechy: dąży do zera oraz przecina oś igreków w punkcie \(A=(0;1)\). My na rysunku widzimy, że nasza funkcja dąży do jedynki i przecina oś igreków w punkcie \(R=(0;2)\), a to oznacza, że jest to funkcja przesunięta o jedną jednostkę do góry. Skoro tak, to jej wzorem będzie \(f(x)=a^{x}+1\). Do poznania pełnego wzoru tej funkcji musimy jeszcze ustalić wartość \(a\).

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji wykładniczej.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przechodzi przez punkt \(P=(2;3)\). Podstawiając zatem \(x=2\) oraz \(y=3\) do wzoru \(f(x)=a^x+1\) otrzymamy:
$$3=a^2+1 \           ,\
a^2=2 \           ,\
a=\sqrt{2} \quad\lor\quad a=-\sqrt{2}$$

Z rysunku wynika, że funkcja jest rosnąca, a funkcje wykładnicze są rosnące jedynie dla \(a\gt1\). To oznacza, że \(a=\sqrt{2}\). Znając wartość \(a\) możemy już zapisać, że wzorem tej funkcji będzie \(f(x)=(\sqrt{2})^{x}+1\).

Krok 1. Zapisanie relacji między liczbą \(a\) oraz \(b\).
Skoro \(log_{b}a=4\), to zamieniając postać logarytmu na postać potęgi wyjdzie nam, że \(a=b^4\). Z tej relacji skorzystamy za chwilę podczas rozpisywania całego logarytmu.

Krok 2. Rozwiązanie logarytmu.
Korzystając z zamiany pierwiastków na potęgi otrzymamy:
$$log_{b}\sqrt[3]{ab^2}=log_{b}(a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{2}{3}})$$

Podstawiając teraz \(a=b^4\) wyjdzie nam, że:
$$log_{b}((b^4)^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{2}{3}})=log_{b}(b^{\frac{4}{3}}\cdot b^{\frac{2}{3}})=log_{b}b^2=2$$

Wykonując symetrię funkcji względem osi igreków zmienia nam się na przeciwny znak współczynnika kierunkowego \(a\). Skoro początkowa funkcja ma \(a=3\), to jej odbicie symetryczne względem osi igreków będzie mieć \(a=-3\). To oznacza, że poszukiwana przez nas funkcja przyjmuje wzór \(g(x)=-3x-2\).

Krok 1. Zapisanie nierówności.
Funkcja liniowa w postaci \(y=ax+b\) jest rosnąca wtedy, gdy współczynnik kierunkowy \(a\) jest większy od zera. W naszym przypadku \(a=8-p^2\), zatem musimy rozwiązać następującą nierówność:
$$8-p^2\gt0$$

Krok 2. Wyznaczenie miejsc zerowych wielomianu.
Powstała nam nierówność kwadratowa, którą precyzyjniej moglibyśmy jeszcze zapisać jako \(-p^2+8\gt0\). Aby rozwiązać taką nierówność, to jak to zwykle bywa, musimy zacząć od wyznaczenia miejsc zerowych, czyli sprawdzenia kiedy \(8-p^2=0\), zatem:
$$-p^2+8=0 \           ,\
p^2=8 \           ,\
p=\sqrt{8} \quad\lor\quad p=-\sqrt{8}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Zaznaczając na osi liczbowej wartości wyznaczone przed chwilą możemy przystąpić do rysowania paraboli. Jej ramiona będą skierowane do dołu (bo przed \(p^2\) pojawił się minus), zatem całość będzie wyglądać następująco:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Z rysunku wynika, że wartości większe od zera są przyjmowane dla \(p\in(-\sqrt{8};\sqrt{8})\). To z kolei oznacza, że właśnie dla takich wartości naszego \(p\) funkcja liniowa będzie rosnąca. Omawiany przedział został zaprezentowany w trzeciej odpowiedzi.

Krok 1. Szkicowanie wykresu paraboli.
W treści zadania mamy podaną funkcję w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\) z której wprost możemy odczytać współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Przyrównując wzór \(f(x)=-\frac{1}{2}(x-3)^2+2\) do postaci kanonicznej widzimy wyraźnie, że \(p=3\) oraz \(q=2\). Dodatkowo też możemy odczytać, że współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\), co z kolei będzie oznaczać, że ramiona paraboli będą skierowane do dołu. Nasz wykres będzie więc wyglądał mniej więcej w ten oto sposób:


Krok 2. Odczytanie rozwiązania zadania.
Musimy ustalić dla jakiego parametru \(m\) prosta \(y=m\) będzie przecinać naszą parabolę w dwóch miejscach. Po wykresie widzimy wyraźnie, że aby tak się stało, to \(m\) musi być mniejsze od \(2\):


To oznacza, że interesującym nas rozwiązaniem będzie \(m\lt2\).

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(MN\).
Odcinek \(MN\) jest bokiem trójkąta równobocznego, a jego długość obliczymy ze wzoru:
$$|MN|=\sqrt{(x_{N}-x_{M})^2+(y_{N}-y_{M})^2}$$

Podstawiając współrzędne punktów \(M\) oraz \(N\) otrzymamy:
$$|MN|=\sqrt{(2-(-2))^2+(4-0)^2} \           ,\
|MN|=\sqrt{4^2+4^2} \           ,\
|MN|=\sqrt{16+16} \           ,\
|MN|=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta równobocznego.
Wiemy już, że bok trójkąta równobocznego ma długość \(a=4\sqrt{2}\). Naszym celem jest poznanie wysokości tego trójkąta. Korzystając więc ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego otrzymamy:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \           ,\
h=\frac{4\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2} \           ,\
h=\frac{4\sqrt{6}}{2} \           ,\
h=2\sqrt{6}$$

Patrząc się na odpowiedzi widzimy, że musimy obliczyć wartość trzeciego wyrazu. Naszym zadaniem będzie więc podstawienie \(n=3\) do wzoru ciągu:
$$a_{3}=\sqrt{3^3}\cdot\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[6]{3} \           ,\
a_{3}=3^{\frac{3}{2}}\cdot3^{\frac{1}{3}}\cdot3^{\frac{1}{6}} \           ,\
a_{3}=3^{\frac{3}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}} \           ,\
a_{3}=3^{\frac{9}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}} \           ,\
a_{3}=3^2 \           ,\
a_{3}=9$$

Krok 1. Ustalenie wartości ilorazu ciągu geometrycznego.
Skoro każdy następny wyraz ma być dwa razy mniejszy od poprzedniego, to mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym w którym \(q=\frac{1}{2}\).

Krok 2. Wyznaczenie wartości \(a_{15}\).
Wiedząc, że \(a_{1}=4^{10}\) oraz \(q=\frac{1}{2}\) możemy skorzystać ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego i zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \           ,\
a_{15}=4^{10}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{15-1} \           ,\
a_{15}=4^{10}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{14} \           ,\
a_{15}=\left(2^2\right)^{10}\cdot\left(2^{-1}\right)^{14} \           ,\
a_{15}=2^{20}\cdot2^{-14} \           ,\
a_{15}=2^{6} \           ,\
a_{15}=64$$

Krok 1. Odczytanie z rysunku kluczowych informacji na temat prostych.
Z rysunku wynika, że obydwie proste są malejące, czyli na pewno muszą mieć współczynnik kierunkowy \(a\) mniejszy od \(0\). Oprócz tego jesteśmy też w stanie odczytać konkretne wartości współczynnika \(b\), patrząc się na miejsce przecięcia się prostych z osią igreków. Jedna prosta przecina oś igreków dla \(y=1\), czyli współczynnik \(b=1\), natomiast druga prosta przecina oś igreków dla \(y=-2\), czyli ma współczynnik \(b=-2\).

Krok 2. Wskazanie prawidłowego układu równań.
Proste zapisane w układach równań mają postać \(y=ax+b\). Ustaliliśmy już sobie, że współczynnik \(a\) jednej i drugiej prostej musi być ujemny, co sprawia że możemy odrzucić drugą i czwartą odpowiedź.
Wiemy też, że współczynnik \(b\) jednej prostej ma być równy \(1\), a drugiej ma być równy \(-2\) i taką sytuację mamy w pierwszym układzie równań. Możemy więc bez wykonywania specjalnych obliczeń wskazać, że poszukiwaną prawidłową odpowiedzią jest pierwszy układ równań.

Krok 1. Zapisanie temperatury w Warszawie w skali Fahrenheita.
Skoro temperatura w Warszawie wyniosła \(20°C\), to zgodnie ze wzorem podanym w treści zadania możemy zapisać, że:
$$f=\frac{9}{5}\cdot20+32 \           ,\
f=36+32 \           ,\
f=68$$

To oznacza, że w Warszawie mieliśmy temperaturę \(68°F\).

Krok 2. Wyznaczenie różnicy temperatur między dwoma miastami.
Skoro w Nowym Jorku mamy \(77°F\), a w Warszawie \(68°F\), to różnica temperatur wyniesie:
$$77°F-68°F=9°F$$