Przyjmując przybliżenie \(n\approx3,14\) możemy zapisać, że:
$$n\lt2π-1 \           ,\
n\lt2\cdot3,14-1 \           ,\
n\lt6,28-1 \           ,\
n\lt5,28$$

Największą liczbą naturalną spełniającą tę nierówność jest \(5\).

Chcąc rozwiązać to zadanie musimy zamienić liczbę mieszaną \(3\frac{3}{8}\) na ułamek niewłaściwy \(\frac{27}{8}\), bo z niego bez problemu wyciągniemy pierwiastek trzeciego stopnia. Całość obliczeń wygląda następująco:
$$\frac{\sqrt[4]{16}+\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}}{\left(\frac{2}{7}\right)^{-1}}=\frac{\sqrt[4]{16}+\sqrt[3]{\frac{27}{8}}}{\left(\frac{2}{7}\right)^{-1}}= \           ,\
=\frac{2+\frac{3}{2}}{\frac{7}{2}}=\frac{\frac{7}{2}}{\frac{7}{2}}=1$$

Korzystając z działań na logarytmów możemy rozpisać \(log6\) na sumę logarytmów w następujący sposób:
$$log6=log(2\cdot3)=log2+log3$$

\(x\) - szukana liczba
\(0,2x\) - \(20\%\) liczby szukanej

Z treści zadania wiemy, że \(20\%\) liczby szukanej jest o \(16\) mniejsze od tej liczby, czyli otrzymamy równanie:
$$0,2x+16=x \           ,\
16=0,8x \           ,\
x=20$$

Krok 1. Wprowadzenie założeń do zadania.
W mianowniku nie możemy mieć wartości równej zero, dlatego że w matematyce nie istnieje mnożenie przez zero. W związku z tym musimy zapisać założenie, że:
$$x+2\neq0 \           ,\
x\neq-2$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz bez przeszkód możemy przejść do obliczeń, a całość najprościej będzie po prostu wymnożyć przez \(x+2\).
$$-2=\frac{x-1}{x+2} \quad\bigg/\cdot(x+2) \           ,\
-2\cdot(x+2)=x-1 \           ,\
-2x-4=x-1 \           ,\
-3x=3 \           ,\
x=-1$$

Rozwiązania równania obliczymy za pomocą delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=6,\;c=8\)
$$Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot8=36-32=4 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{4}=2$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-6-2}{2\cdot1}=\frac{-8}{2}=-4 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-6+2}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2$$

To równanie ma więc dwa rozwiązania, a większym z nich jest \(x=-2\).

Teoretycznie możemy oddzielnie rozwiązać każdą z podanych nierówności, ale da się do tego podejść nieco bardziej matematycznie. Na samym początku musimy wyznaczyć środek pomiędzy wartościami krańcowymi tego przedziału (lub też odczytać z rysunku, że jest to \(a=1\)):
$$a=\frac{0+2}{2}=\frac{2}{2}=1$$

Teraz w takich przypadkach po lewej stronie nierówności będziemy mieć zawsze \(|x-a|\). W naszym przypadku będzie to \(|x-1|\).

Musimy jeszcze ustalić znak nierówności i liczbę po prawej stronie. Widzimy, że nasze punkty krańcowe przedziałów są oddalone od środka tego przedziału o \(1\) jednostkę w lewo lub prawo, a wszystkie inne wartości znajdujące się w tym przedziale są oddalone o nie więcej niż \(1\) jednostkę (kropki zamalowane). Stąd też ostatecznym rozwiązaniem będzie:
$$|x+1|\le1$$

Musimy spojrzeć na zapisy, które znajdują po słowie "gdy". Funkcja ta opisana jest jednym wzorem dla argumentów mniejszych od \(1\) oraz drugim wzorem dla argumentów od \(1\) do \(4\) włącznie. Można więc powiedzieć, że funkcja ta przyjmuje jakąś wartość dla każdego argumentu mniejszego lub równego \(4\), zatem dziedziną funkcji będzie przedział:
$$x\in(-\infty,4\rangle$$

Funkcja liniowa jest rosnąca gdy jej współczynnik kierunkowy \(a\) (czyli liczba przed iksem) jest dodatni. W związku z tym funkcja ta będzie rosnąć gdy:
$$m+2\gt0 \           ,\
m\gt-2$$

Szukamy miejsc w których funkcja jest malejąca, czyli miejsc gdzie wykres funkcji skierowany jest do dołu. Przedział ten odczytujemy z osi iksów i widzimy że funkcja zaczyna maleć od argumentu \(x=1\) aż do argumentu \(x=6\). W związku z tym poszukiwanym przez nas przedziałem jest przedział \(x\in\langle1,6\rangle\).

Aby sprawdzić ile jest równe \(a\) musimy podstawić do wzoru funkcji współrzędne punktu \(P\), czyli \(x=a+1\) oraz \(y=2\). Otrzymamy wtedy:
$$2=\frac{4}{a+1} \quad\bigg/\cdot(a+1) \           ,\
2a+2=4 \           ,\
2a=2 \           ,\
a=1$$

Teoretycznie moglibyśmy rozwiązać tę nierowność obliczając klasyczną deltę, ale jesteśmy w stanie to zadanie zrobić nieco szybciej stosując wzory skróconego mnożenia. W ostateczności nawet możemy podstawiać kolejne liczby z odpowiedzi i sprawdzić kiedy zajdzie opisywana nierówność.

Krok 1. Zapisanie i rozwiązanie nierówności w postaci iloczynowej.
$$x^2\ge9 \           ,\
x^2-9\ge0 \           ,\
(x+3)(x-3)\ge0$$

Z postaci iloczynowej błyskawicznie odczytujemy, że miejscami zerowymi tej nierówności są \(x=-3\) oraz \(x=3\).

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Znając miejsca zerowe możemy narysować parabolę z ramionami skierowanymi do góry (bo przed \(x^2\) nie stoi żadna ujemna liczba), pamiętając że przy \(-3\) oraz \(3\) kropki będą zamalowane.



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Patrzymy w których miejscach funkcja przyjmuje wartości większe od zera, czyli dla jakich przedziałów wykres znalazł się nad osią. W ten sposób możemy stwierdzić, że \(x\in(-\infty;-3\rangle\cup\langle3;+\infty)\).

Spośród wszystkich odpowiedzi tylko \(-3\) mieści się w naszej sumie przedziałów i to właśnie jest poszukiwana odpowiedź.

Aby prosta była prostopadła do tej której równanie jest podane w treści zadania, to iloczyn współczynników kierunkowych obydwu tych prostych musi być równy \(-1\). Nasza prosta ma współczynnik kierunkowy równy \(\frac{1}{2}\), zatem prosta do niej prostopadła musi mieć ten współczynnik równy:
$$\frac{1}{2}\cdot a=-1 \           ,\
a=-2$$

Tylko prosta z pierwszej odpowiedzi posiada taki współczynnik kierunkowy, zatem to ona jest poszukiwaną odpowiedzią.

Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że dla trzech kolejnych (niekoniecznie trzech pierwszych) następujących po sobie wyrazów zachodzi następująca równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiając dane z treści zadania otrzymamy:
$$4=\frac{x+x+2}{2} \           ,\
4=\frac{2x+2}{2} \           ,\
8=2x+2 \           ,\
2x=6 \           ,\
x=3$$

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając wartość drugiego wyrazu oraz iloraz ciągu możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu.
$$a_{2}=a_{1}\cdot q \           ,\
-1=a_{1}\cdot(-2) \           ,\
a_{1}=\frac{1}{2}$$

Krok 2. Obliczenie sumy dziesięciu pierwszych wyrazów.
Teoretycznie możemy w podobny sposób obliczyć jeszcze wartości trzeciego i czwartego wyrazu, wtedy bez problemu obliczymy sumę czterech wyrazów, ale możemy też skorzystać z następującego wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \           ,\
S_{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-(-2)^{4}}{1-(-2)} \           ,\
S_{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-16}{3} \           ,\
S_{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{-15}{3} \           ,\
S_{4}=\frac{1}{2}\cdot(-5) \           ,\
S_{4}=-2,5$$

Krok 1. Obliczenie wartości \(cosα\).
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\) w związku z tym podstawiając wartość sinusa otrzymamy:
$$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\
\left(\frac{2}{5}\right)^2+cos^2α=1 \           ,\
\frac{4}{25}+cos^2α=1 \           ,\
cos^2α=\frac{21}{25} \           ,\
cosα=\sqrt{\frac{21}{25}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{21}{25}}$$

Wartość ujemną cosinusa odrzucamy, bo dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie. Zostaje nam więc \(cosα=\sqrt{\frac{21}{25}}\).

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Musimy jeszcze ustalić, czy otrzymana wartość cosinusa jest większa czy mniejsza od sinusa. Wartość cosinusa możemy zapisać w ten oto sposób:
$$cosα=\sqrt{\frac{21}{25}}=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{21}}{5}$$

Teraz możemy porównać sinusa z cosinusem, bo mamy jednakowe mianowniki. \(\sqrt{21}\) jest na pewno większy niż \(2\) (będzie to coś pomiędzy \(4\) i \(5\)), zatem to cosinus jest większy. Prawidłową odpowiedzią jest więc \(\cosα\gt\sinα\).