$$|5-7|-|-3+4|=|-2|-|1|=2-1=1$$

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci alternatywy.
$$x-2\le-3 \quad\lor\quad x-2\ge3 \           ,\
x\le-1 \quad\lor\quad x\ge5$$

Krok 2. Zapisanie otrzymanych wyników w formie przedziału.
$$x\in(-\infty;-1\rangle\cup\langle5;+\infty)$$

Tego typu zadania możemy rozwiązać na dwa sposoby.

Sposób I - rozwiązanie na konkretnych liczbach:
Krok 1. Obliczenie wysokości pierwszej obniżki.
Pierwsza obniżka jest o \(10\%\) z \(30000zł\), zatem wynosi ona:
$$0,1\cdot30000zł=3000zł$$

Krok 2. Obliczenie ceny samochodu po pierwszej obniżce.
$$30000zł-3000zł=27000zł$$

Krok 3. Obliczenie wysokości drugiej obniżki.
Nasza druga obniżka jest także o \(10\%\), ale tym razem już z \(27000zł\), zatem wynosi ona:
$$0,1\cdot27000zł=2700zł$$

Krok 4. Obliczenie ceny samochodu po drugiej obniżce.
$$27000zł-2700zł=24300zł$$

Sposób II - rozwiązanie na wyrażeniach algebraicznych (metoda bardziej uniwersalna):
Krok 1. Obliczenie ceny samochodu po pierwszej obniżce.
Oznaczmy cenę samochodu jako \(x\) i obliczmy wartość samochodu po pierwszej obniżce. Skoro obniżka jest o \(10\%\), to nowa cena stanowi teraz \(90\%\) ceny podstawowej. Cena samochodu po pierwszej obniżce jest więc równa \(0,9x\).

Krok 2. Obliczenie ceny samochodu po drugiej obniżce.
Ceną wyjściową jest dla nas teraz \(0,9x\) i to od tej ceny ponownie odejmujemy \(10\%\), czyli cena samochodu po drugiej obniżce będzie równa:
$$0,9\cdot0,9x=0,81x$$

Cena samochodu po dwóch obniżkach stanowi więc \(0,81\) ceny podstawowej (czyli \(81\%\)). Chcąc poznać nową cenę wystarczy teraz pomnożyć \(0,81\) przez początkową cenę samochodu.
$$0,81\cdot30000zł=24300zł$$

Rozwiązanie zadania rozpoczniemy od rozbicia liczby \(63\) na iloczyn liczb \(7\) oraz \(9\). Następnie sprowadzimy do wspólnej podstawy potęgi liczbę \(9\) oraz ułamek \(\frac{1}{3}\). Całość obliczeń wygląda następująco:
$$x=63^2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^4 \           ,\
x=(7\cdot9)^2\cdot\frac{1^4}{3^4} \           ,\
x=7^2\cdot9^2\cdot\frac{1}{3^4} \           ,\
x=7^2\cdot3^4\cdot\frac{1}{3^4} \           ,\
x=7^2$$

W zadaniu skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).

$$x^2=(5+2\sqrt{3})^2 \           ,\
x^2=5^2+2\cdot5\cdot2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2 \           ,\
x^2=25+20\sqrt{3}+4\cdot3 \           ,\
x^2=25+20\sqrt{3}+12 \           ,\
x^2=37+20\sqrt{3}$$

Krok 1. Obliczenie wartości poszczególnych logarytmów.
$$\log_{5}5=1\text{, bo }5^1=5 \           ,\
\log_{5}125=3\text{, bo }5^3=125$$

Krok 2. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
$$\log_{5}5-\log_{5}125=1-3=-2$$

Musimy sprawdzić współrzędną \(y\) dla dwóch punktów: najniżej i najwyżej położonego. Współrzędna \(y\) najniżej położonego punktu jest równa \(-2\), a najwyżej położonego punktu jest równa \(5\). W związku z tym zbiorem wartości jest przedział \(\langle-2;5\rangle\).

Przykładowo zapis \(f(-1)\) oznacza, że musimy odczytać wartość funkcji dla argumentu \(x=-1\). W naszym przypadku \(f(-1)\) jest równe niespełna \(3\). Musimy sprawdzić tak po kolei każdą z par i zweryfikować która nierówność jest prawdziwa:

Odp. A. \(f(-1)\lt f(1)\)
Komentarz: Ta nierówność jest nieprawdziwa, bo \(f(-1)\) to niespełna \(3\), natomiast \(f(1)=-2\).
Odp. B. \(f(1)\lt f(3)\)
Komentarz: Ta nierówność jest prawdziwa, bo \(f(1)=-2\), natomiast \(f(3)=1\), a więc to \(f(1)\) jest mniejsze od \(f(3)\).
Odp. C. \(f(-1)\lt f(3)\)
Komentarz: Ta nierówność jest nieprawdziwa, bo \(f(-1)\) to niespełna \(3\), natomiast \(f(3)=1\).
Odp. D. \(f(3)\lt f(0)\)
Komentarz: Ta nierówność jest nieprawdziwa, bo \(f(3)=1\), natomiast \(f(1)=-2\).

Aby otrzymać wykres funkcji \(g(x)\) musimy zgodnie z zapisem równości \(g(x)=f(x)+2\) przesunąć wykres \(f(x)\) o dwie jednostki do góry. To oznacza, że prawidłowego przesunięcia dokonano w odpowiedzi \(B\).

Skoro mamy przedstawione równanie kwadratowe w postaci ogólnej, to bez problemu możemy wyznaczyć pierwiastki tego równania korzystając z metody delty.

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=10,\;c=-24\)
$$Δ=b^2-4ac=10^2-4\cdot1\cdot(-24)=100+96=196 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{196}=14$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-10-14}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-10+14}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$

\(x_{1}\lt x_{2}\) - czyli zależność zapisana w treści zadania jest spełniona.

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(2x_{1}+x_{2}\).
$$2x_{1}+x_{2}=2\cdot(-12)+2=-24+2=-22$$

Jeśli dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu to znaczy, że po jej podstawieniu do wzoru powinniśmy otrzymać wartość równą \(0\). W naszym przypadku prawdziwa powinna być więc równość \(W(2)=0\).

Krok 1. Obliczenie wartości wielomianu dla \(x=2\).
$$W(x)=x^3+ax^2+6x-4 \           ,\
W(x)=2^3+a\cdot2^2+6\cdot2-4 \           ,\
W(x)=8+4a+12-4 \           ,\
W(x)=16+4a$$

Krok 2. Obliczenie wartości parametru \(a\).
Skoro wartość wielomianu dla \(x=2\) powinna nam wyjść równa \(0\), a wyszło nam \(16+4a\), to znaczy że \(16+4a=0\). Za pomocą tej równości obliczamy wartość parametru \(a\).
$$16+4a=0 \           ,\
4a=-16 \           ,\
a=-4$$

Funkcję liniową wyrażamy wzorem w postaci \(f(x)=ax+b\). Aby funkcja liniowa była stała, to współczynnik \(a\) musi być równy \(0\). W naszym przypadku \(a=m-1\), stąd też aby funkcja była stała, to \(m-1\) musi być równe \(0\). Zatem:
$$m-1=0 \           ,\
m=1$$

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych nierówności.
Nierówność jest zapisana w postaci iloczynowej, więc aby odnaleźć jej miejsca zerowe (które przydadzą nam się do naszkicowania wykresu) wystarczy przyrównać wartości w jednym i drugim nawiasie do zera.
$$x-2=0 \quad\lor\quad x+3=0 \           ,\
x=2 \quad\lor\quad x=-3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest na pewno dodatni, bo przed wartościami \(x\) nie stoją żadne znaki ujemne, więc ramiona paraboli będę skierowane ku górze i będą przechodzić przez wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe. Pamiętaj, że kropki przy \(x=2\) oraz \(x=-3\) będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\).



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Odczytujemy z wykresu dla jakich argumentów \(x\) funkcja przyjmuje wartości większe lub równe \(0\). Pamiętaj, że skoro mamy znak \(\ge\) to wartości \(x=2\) oraz \(x=-3\) będą także należeć do zbioru rozwiązań (czyli nawiasy będą domknięte).
$$x\in(-\infty;-3\rangle \cup \langle2;+\infty)$$

Krok 1. Wyznaczenie wartości ilorazu \(q\).
Znając wartości dwóch kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego (czyli \(a_{1}\) oraz \(a_{2}\)) możemy wyznaczyć wartość \(q\) z następującego wzoru:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \           ,\
q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \           ,\
q=\frac{12}{2}=6$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości czwartego wyrazu ciągu geometrycznego.
Znając wartosć \(a_{1}\) oraz \(q\) możemy obliczyć wartość czwartego wyrazu ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \           ,\
a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \           ,\
a_{4}=a_{1}\cdot 6^{4-1} \           ,\
a_{4}=2\cdot6^3 \           ,\
a_{4}=2\cdot216 \           ,\
a_{4}=432$$

Aby obliczyć sumę dwudziestu pierwszych wyrazów tego ciągu arytmetycznego musimy posłużyć się wzorem:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$

Obliczamy sumę dwudziestu pierwszy wyrazów ciągu arytmetycznego (czyli \(n=20\)) podstawiając do powyższego wzoru informacje z treści zadania: \(a_{1}=3\) oraz \(a_{20}=7\).
$$S_{20}=\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot n \           ,\
S_{n}=\frac{3+7}{2}\cdot20 \           ,\
S_{20}=\frac{10}{2}\cdot20 \           ,\
S_{20}=5\cdot20=100$$

Musimy obliczyć wartości \(cosα\) oraz \(tgα\), by sprawdzić która równość podana w odpowiedziach jest prawidłowa. Cosinus to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie \(α\) do długości przeciwprostokątnej, natomiast tangens to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(α\) do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie \(α\). Zatem:
$$cosα=\frac{12}{13} \           ,\
tga=\frac{5}{12}$$

Porównujemy teraz otrzymane wyniki z tymi które występują w odpowiedziach i stwierdzamy, że prawdziwa równość jest zapisana tylko w punkcie \(C\).