Do zadania można podejść na różne sposoby, nawet moglibyśmy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Jednak najprościej byłoby zauważyć, że \(\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}\). Tym samym nasze obliczenia wyglądałyby następująco:
$$(\sqrt{32}-\sqrt{2})^2=(4\sqrt{2}-\sqrt{2})^2=$$ $$=(3\sqrt{2})^2=9\cdot2=18$$

Z własności działań na potęgach wynika, że \(5^{13}\) oraz \(5^{14}\) możemy rozpisać w następujący sposób:
\(5^{13}=5^{12}\cdot5\)
\(5^{14}=5^{12}\cdot5^2=5^{12}\cdot25\)

W takim razie naszą liczbę możemy rozpisać w następujący sposób:
$$\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}=\frac{5^{12}+5^{12}\cdot5+5^{12}\cdot25}{5^{12}}=$$ $$=\frac{5^{12}}{5^{12}}+\frac{5^{12}\cdot5}{5^{12}}+\frac{5^{12}\cdot25}{5^{12}}=$$ $$=1+5+25=31$$

Korzystając z działań na logarytmach, możemy zapisać, że:
$$log_{3}108-2log_{3}2=log_{3}108-log_{3}2^2=$$ $$=log_{3}108-log_{3}4=log_{3}\left(\frac{108}{4}\right)=log_{3}27=3$$

W tym zadaniu musimy skorzystać z dwóch wzorów skróconego mnożenia, czyli \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) oraz \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Całe wyrażenie możemy więc rozpisać w następujący sposób:
$$(3x+2)^2-(2x-3)^2=9x^2+12x+4-(4x^2-12x+9)=$$ $$=9x^2+12x+4-4x^2+12x-9=5x^2+24x-5$$

Krok 1. Rozpisanie podanej liczby.
W algebrze liczby parzyste możemy zapisać jako \(2k\), a liczby nieparzyste jako \(2k+1\) (gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą). Podstawiając zatem wyrażenie \(2k+1\) do naszej liczby, otrzymamy:
$$3\cdot(2k+1)^2+2\cdot(2k+1)+7=$$ $$=3\cdot(4k^2+4k+1)+4k+2+7=$$ $$=12k^2+12k+3+4k+2+7=$$ $$=12k^2+16k+12=$$ $$=4\cdot(3k^2+4k+3)$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Wartość wyrażenia \(3k^2+4k+3\) jest dodatnia, a tym samym wyłączona czwórka przed nawias oznacza, że liczba jest jak najbardziej podzielna przez \(4\), co należało udowodnić.

Rozpisując naszą nierówność, otrzymamy:
$$3-2(1-2x)\ge2x-17$$ $$3-(2-4x)\ge2x-17$$ $$3-2+4x\ge2x-17$$ $$4x+1\ge2x-17$$ $$2x\ge-18$$ $$x\ge-9$$

Zbiór rozwiązań tej nierówności znalazł się na rysunku z ostatniej odpowiedzi.

Aby wyrażenie po lewej stronie było równe \(0\), to albo to co jest przed nawiasami jest równe \(0\), albo to co w nawiasach musi być równe \(0\). Moglibyśmy więc zapisać, że:
$$2x=0 \quad\lor\quad x+3=0 \quad\lor\quad x^2+25=0$$ $$x=0 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x^2=-25$$

Równanie \(x^2=-25\) nie ma rozwiązań, bo nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu dałaby wynik ujemny. Stąd też jedynymi rozwiązaniami całego równania będą \(-3\) oraz \(0\).

Chcąc uprościć nasze wyrażenie dobrze byłoby zauważyć, że zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia, da się "zwinąć" wyrażenie \(x^2+4x+4\) do postaci \((x+2)^2\), a wartość \(x^2+x\) da się rozpisać jako \(x(x+1)\). Całość obliczeń wyglądałaby więc następująco:
$$\frac{x^2+x}{x^2+4x+4}\cdot\frac{x+2}{x}=$$ $$=\frac{x(x+1)}{(x+2)^2}\cdot\frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+2}$$

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Aby się nie pogubić podczas rozwiązywania, rozpiszmy sobie wszystko bardzo dokładnie:
\(x\) - kwota przyznana zespołowi \(A\)
\(0,13x\) - tyle pieniędzy wydał zespół \(A\)

\(1200000-x\) - kwota przyznana zespołowi \(B\)
\(0,11\cdot(1200000-x)=132000-0,11x\) - tyle pieniędzy wydał zespół \(B\)

Krok 2. Obliczenie kwoty przyznanej zespołowej \(A\).
Z treści zadania wynika, że suma dotychczasowych wydatków zespołu \(A\) i \(B\) wynosi \(146\;700\) złotych. Na podstawie zapisanych wcześniej oznaczeń możemy zapisać, że w takim razie:
$$0,13x+132000-0,11x=146700$$ $$0,02x+132000=146700$$ $$0,02x=14700$$ $$x=735000$$

To oznacza, że zespół \(A\) otrzymał na projekt badawczy kwotę \(735\;000\) złotych.

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, musimy uporządokować cały zapis, doprowadzając nierówność do postaci ogólnej, zatem:
$$3(2x^2+1)\lt11x$$ $$6x^2+3\lt11x$$ $$6x^2-11x+3\lt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=6,\;b=-11,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-11)^2-4\cdot6\cdot3=121-72=49$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-11)-7}{2\cdot6}=\frac{11-7}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$ $$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-11)+7}{2\cdot6}=\frac{11+7}{12}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=\frac{1}{3}\) oraz \(x=\frac{3}{2}\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki mniejsze od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się pod osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in\left(\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right)$$

Krok 1. Wyznaczenie dziedziny funkcji \(f\).
Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(Ox\). Z wykresu wynika, że nasza funkcja przyjmuje wartości od argumentu \(x=-4\) aż do argumentu \(x=4\) (ale bez czwórki, bo kropka jest niezamalowana). Stąd też zapisalibyśmy, że dziedziną funkcji jest przedział \(\langle-4,4)\)

Krok 2. Wyznaczenie zbioru wartości funkcji \(f\).
Zbiór wartości odczytujemy z osi \(Oy\). Z wykresu wynika, że nasza funkcja przyjmuje wartości od \(y=-3\) (ale bez minus trójki, bo kropka jest niezamalowana), aż do \(y=3\). W takim razie zbiorem wartości będzie przedział \((-3,3\rangle\)

Krok 3. Wyznaczenie zbioru argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości dodatnie.
Wartości dodatnie są przyjmowane dla argumentów od \(-4\) aż do \(x=3\) (ale bez trójki, bo dla \(x=3\) mamy wartość równą \(0\)). Stąd też poszukiwanym przedziałem będzie \(\langle-4,3)\).

Krok 4. Wyznaczenie rozwiązań równania \(f(x)=3\).
Musimy ustalić dla jakich argumentów \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą \(3\). Tu bardzo dużą pułapką jest fakt, że teoretycznie ze wzoru wynika, że ta wartość jest przyjmowana dla \(x\in(-2,2\rangle\) i to jest prawda, ale ta wartość jest także przyjmowana dla \(x=-2\), co też należałoby uwzględnić. Stąd też moglibyśmy zapisać, że zbiorem rozwiązań naszego równania będzie przedział \(\langle-2,2\rangle\).

Funkcja nie będzie mieć miejsc zerowych wtedy, gdy współczynnik \(a\) będzie równy 0. To oznacza, że stanie się tak dla \(m\) równego:
$$3-m=0$$ $$m=3$$

Krok 1. Zapisanie równania.
Z własności ciągów arytmetycznych wynika, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następująca równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Ten ciąg będzie więc arytmetyczny wtedy, gdy spełni powyższą równość. Podstawiając zatem znane nam wyrazy, otrzymamy:
$$m^2+3=\frac{2m+11+5-m}{2}$$ $$m^2+3=\frac{m+16}{2}$$ $$2m^2+6=m+16$$ $$2m^2-m-10=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Jest to równanie w postaci ogólnej, więc z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=2,\;b=-1,\;c=-10\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-10)=1-(-80)=1+80=81$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{81}=9$$

$$m_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-9}{2\cdot2}=\frac{1-9}{4}=\frac{-8}{4}=-2$$ $$m_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+9}{2\cdot2}=\frac{1+9}{4}=\frac{10}{4}=2,5$$

Krok 3. Ustalenie, kiedy ciąg będzie malejący.
Wiemy już, że ciąg będzie arytmetyczny, gdy \(m=-2\) oraz gdy \(m=2,5\). Musimy jeszcze ustalić, dla którego z tych przypadków, ciąg ten będzie malejący. Podstawmy zatem wyznaczone \(m\) do wyrażeń z treści zadania i zobaczmy co otrzymamy:
Gdy \(m=-2\):
\(a_{1}=2\cdot(-2)+11=-4+11=7\)
\(a_{2}=(-2)^2+3=4+3=7\)
\(a_{3}=5-(-2)=5+2=7\)

Gdy \(m=2,5\):
\(a_{1}=2\cdot2,5+11=5+11=16\)
\(a_{2}=2,5^2+3=6,25+3=9,25\)
\(a_{3}=5-2,5=2,5\)

Widzimy więc, że dla \(m=-2\) ciąg jest stały, a dla \(m=2,5\) ciąg jest rzeczywiście malejący (różnica tego ciągu będzie równa \(r=-6,75\)). Stąd też jedyną poprawną odpowiedzią do tego zadania będzie \(m=2,5\).

Krok 1. Obliczenie ilorazu \(q\).
Znając wartości dwóch pierwszych wyrazów naszego ciągu, możemy bez problemu obliczyć iloraz \(q\), zatem:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$ $$q=\frac{9}{27}$$ $$q=\frac{1}{3}$$

Krok 2. Obliczenie wartości czwartego wyrazu ciągu.
Do wartości czwartego wyrazu możemy dojść na różne sposoby. Przykładowo korzystając z własności ciągów geometrycznych moglibyśmy zapisać, że:
$$a_{4}=a_{2}\cdot q^2$$ $$a_{4}=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2$$ $$a_{4}=9\cdot\frac{1}{9}$$ $$a_{4}=1$$

Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\). Moglibyśmy zatem zapisać, że:
$$\sqrt{3}tg\alpha=2sin\alpha$$ $$\sqrt{3}\cdot\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=2sin\alpha$$ $$\sqrt{3}sin\alpha=2sin\alpha\cdot cos\alpha$$ $$cos\alpha=\frac{\sqrt{3}sin\alpha}{2sin\alpha}$$ $$cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(AOB\).
Kąt \(AOB\) jest kątem środkowym, opartym na tym samym łuku co kąt wpisany \(ACB\). Z własności kątów środkowych i wpisanych wynika, że miara tego kąta środkowego będzie dwa razy większa od miary kąta wpisanego \(ACB\), zatem:
$$|\sphericalangle AOB|=2\cdot50°=100°$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(ABO\).
Spójrzmy na trójkąt \(AOB\). Jest to trójkąt równoramienny. Skąd to wiemy? Ramiona \(AO\) oraz \(BO\) mają długość taką jak promień okręgu, stąd też mamy pewność, że są one równej długości. Zwłasności kątów równoramiennych wiemy, że kąty przy podstawie muszą mieć jednakową miarę. Skoro więc kąt między ramionami na \(100°\), to na dwa kąty przy podstawie zostaje nam \(180°-100°=80°\).

Tym samym kąt \(ABO\) będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle ABO|=80°:2=40°$$

Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa.
Z treści zadania wiemy, że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne. Ważne jest teraz to, aby dobrze ustalić które boki są sobie odpowiadające. W małym trójkącie \(BDA\) ramiona mają długość równa \(3\), natomiast w dużym trójkącie \(ABC\) ramiona mają długość \(4\). Jeżeli przyjmiemy, że duży trójkąt jest umownym trójkątem podstawowym, a mały trójkąt jest trójkątem podobnym, to skala podobieństwa tych trójkątów będzie równa:
$$k=\frac{3}{4}$$



Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(BD\).
Odcinek \(BD\) jest podstawą trójkąta równoramiennego \(BDA\). Skoro w dużym trójkącie \(ABC\) podstawa miała długość \(3\), to tym samym:
$$|BD|=k\cdot |AB|$$ $$|BD|=\frac{3}{4}\cdot3$$ $$|BD|=2,25$$

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Chcąc poznać długość trzeciego boku trójkąta, możemy skorzystać z twierdzenia cosinusów:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos\gamma$$

Podstawiając miary z treści zadania, otrzymamy:
$$c^2=11^2+12^2-2\cdot11\cdot12\cdot cos60°$$ $$c^2=121+144-264\cdot\frac{1}{2}$$ $$c^2=265-132$$ $$c^2=133$$ $$c=\sqrt{133} \quad\lor\quad c=-\sqrt{133}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy (bo długość boku musi być dodatnia), zatem zostaje nam \(c=\sqrt{133}\). Otrzymany wynik jest więc różny od pozostałych miar tego trójkąta, co prowadzi nas do wniosku, że ten trójkąt ma wszystkie boki różnej długości. Zdanie jest więc fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Chcąc obliczyć pole tego trójkąta, możemy skorzystać z następującego wzoru:
$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sin\alpha$$

Podstawiając znane miary do tego wzoru, otrzymamy:
$$P=\frac{1}{2}\cdot11\cdot12\cdot sin60°$$ $$P=66\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$P=33\sqrt{3}$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AS\).
Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, ponieważ znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(S\).
$$|AS|=\sqrt{(x_{S}-x_{A})^2+(y_{S}-y_{A})^2}$$ $$|AS|=\sqrt{(1-4)^2+(3-(-1))^2}$$ $$|AS|=\sqrt{(-3)^2+4^2}$$ $$|AS|=\sqrt{9+16}$$ $$|AS|=\sqrt{25}$$ $$|AS|=5$$

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej kwadratu.
Przekątne kwadratu przecinają się w połowie swojej długości, więc odcinek \(AS\) jest połową naszej przekątnej. To oznacza, że przekątna tego kwadratu ma długość:
$$d=2\cdot5$$ $$d=10$$

Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Pierwsza prosta ma ten współczynnik równy \(m-2\), a druga ma równy \(-4\). Skoro te współczynniki muszą być równe to:
$$m-2=-4$$ $$m=-2$$

Krok 1. Obliczenie długości promienia okręgu.
Promień okręgu będzie równy długości odcinka \(PS\), który łączy punkt \(P\) ze środkiem okręgu \(S\).
Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, ponieważ znamy współrzędne punktów \(S\) oraz \(P\).
$$|PS|=\sqrt{(x_{S}-x_{P})^2+(y_{S}-y_{P})^2}$$ $$|PS|=\sqrt{(2-0)^2+(4-0)^2}$$ $$|PS|=\sqrt{2^2+4^2}$$ $$|PS|=\sqrt{4+16}$$ $$|PS|=\sqrt{20}$$

Teoretycznie moglibyśmy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka, ale tutaj nie jest to konieczne, zwłaszcza że za chwilę do równania okręgu będziemy potrzebować wartości \(r^2\). Możemy więc zapisać, że \(r=\sqrt{20}\).

Krok 2. Zapisanie równania okręgu.
Równanie okręgu zapisujemy jako \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), gdzie \(a\) oraz \(b\) to współrzędne środka okręgu \(S=(a;b)\), natomiast \(r\) to promień okręgu. W naszym przypadku \(a=2\) oraz \(b=4\), natomiast \(r^2=20\). Skoro tak, to poszukiwanym równaniem okręgu będzie:
$$(x-2)^2+(y-4)^2=20$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120°\) to dorysowując wysokość stożka powstanie nam trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\) w którym tworząca stożka jest przeciwprostokątną. Całość będzie wyglądać następująco:


Krok 2. Obliczenie wysokości i promienia podstawy stożka.
Korzystając z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\) wiemy, że wysokość stożka będzie dwa razy krótsza od tworzącej, zatem:
$$H=8:2$$ $$H=4$$

I ponownie korzystając z własności tego trójkąta możemy stwierdzić, że promień podstawy stożka będzie \(\sqrt{3}\) razy większy od jego wysokości, zatem:
$$r=4\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie objętości stożka.
Korzystając ze wzoru na objętość stożka, możemy zapisać, że:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot(4\sqrt{3})^2\cdot 4$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot3\cdot4\cdot\pi$$ $$V=64\pi$$

Krok 1. Obliczenie długości boku sześcianu.
Korzystając ze wzoru na objętość sześcianu, możemy zapisać, że:
$$V=a^3$$ $$729=a^3$$ $$a=9$$

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej sześcianu.
Sześcian o boku \(a\) ma zawsze przekątną o długości \(a\sqrt{3}\). Stąd też przekątna naszego sześcianu ma długość \(d=9\sqrt{3}\).

Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie to sobie zobrazować w ten oto sposób:
· W rzędzie setek może znaleźć się dowolna z cyfr od \(1\) do \(9\), zatem mamy \(9\) możliwości uzupełnienia tej cyfry.
· W rzędzie dziesiątek musi pojawić się \(0\) (bo nie pojawi się ani w rzędzie setek, bo nie ma takiej liczby jak np. \(013\), ani w rzędzie jedności, bo liczba ma być nieparzysta). Mamy zatem tutaj \(1\) możliwość uzupełnienia tej cyfry.
· W rzędzie jedności musimy mieć cyfrę nieparzystą, czyli \(1, 3, 5, 7\) albo \(9\). Mamy zatem \(5\) możliwości uzupełnienia tej cyfry.

Zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas liczb będziemy mieć:
$$9\cdot1\cdot5=45$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Rzucamy dwukrotnie kostką do gry, zatem zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie pary liczb, których suma oczek da wynik równy \(11\). Takimi parami są:
$$(5;6), (6;5)$$

Są to więc \(2\) pary, czyli \(|A|=2\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{2}{36}$$

$$\frac{1+2+3+4+5+x+y}{7}=3$$ $$1+2+3+4+5+x+y=21$$ $$15+x+y=21$$ $$x+y=6$$

Krok 1. Obliczenie mediany.
Skoro jest parzysta liczba uczniów, to mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych ocen. W naszym przypadku oznacza to, że kiedy ułożymy oceny uczniów od najsłabszej do najlepszej, to medianą będzie średnia arytmetyczna wyniku dwunastego i trzynastego ucznia.

Z diagramu możemy wywnioskować, że wypisując po kolei oceny, dwunasty uczeń otrzymał czwórkę, a trzynasty otrzymał piątkę. Stąd też mediana będzie równa:
$$m=\frac{4+5}{2}$$ $$m=\frac{9}{2}=4,5$$

Krok 2. Wyznaczenie dominanty.
Dominanta to wynik, który był najczęściej otrzymywany. W naszym przypadku najczęściej otrzymywaną oceną była szóstka, więc dominanta jest tutaj równa \(6\).

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wiemy, że \(|BC|=4\). Dodatkowo przyjmijmy, że druga krawędź podstawy ma długość \(x\), a wysokość oznaczmy jako \(h\). Z treści zadania wynika, że suma trzech długości krawędzi jest równa \(15\), zatem:
$$4+x+h=15$$ $$x+h=11$$ $$h=11-x$$

Pole powierzchni całkowitej moglibyśmy obliczyć jako:
$$P=2\cdot(4\cdot x+4\cdot h+x\cdot h)$$ $$P=2\cdot(4x+4h+xh)$$ $$P=8x+8h+2xh$$ $$P=8x+2xh+8h$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Aby tego dokonać, podstawmy wartość \(h\) z równania \(h=11-x\) do równania \(P=8x+2xh+8h\), zatem:
$$P=8x+2x\cdot(11-x)+8\cdot(11-x)$$ $$P=8x+22x-2x^2+88-8x$$ $$P=-2x^2+22x+88$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni całkowitej można opisać wyrażeniem \(-2x^2+22x+88\). Całość możemy potraktować tak jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretną wartość \(P\)). Tym samym moglibyśmy zapisać, że \(P(x)=-2x^2+22x+88\).

Krok 3. Zapisanie założeń.
Wszystkie długości krawędzi muszą być większe od zera, zatem:
$$x\gt0 \quad\land\quad 11-x\gt0$$ $$x\gt0 \quad\land\quad 11\gt x$$ $$x\gt0 \quad\land\quad x\lt11$$

Otrzymane wyniki oznaczają, że nasz \(x\) musi być większy od zera i mniejszy od \(11\), zatem dziedziną tej funkcji będzie \(x\in(0,11)\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-2\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a}$$ $$x_{W}=\frac{-22}{2\cdot(-2)}$$ $$x_{W}=\frac{-22}{-4}$$ $$x_{W}=5,5$$

Otrzymany wynik mieści się w wyznaczonej wcześniej dziedzinie funkcji, a to oznacza, że pole powierzchni całkowitej graniastosłupa będzie największe, gdy \(x=5,5\).