Do zadania można podejść na różne sposoby, nawet moglibyśmy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Jednak najprościej byłoby zauważyć, że \(\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}\). Tym samym nasze obliczenia wyglądałyby następująco:
$$(\sqrt{32}-\sqrt{2})^2=(4\sqrt{2}-\sqrt{2})^2= \\
=(3\sqrt{2})^2=9\cdot2=18$$

Z własności działań na potęgach wynika, że \(5^{13}\) oraz \(5^{14}\) możemy rozpisać w następujący sposób:
\(5^{13}=5^{12}\cdot5 \\
5^{14}=5^{12}\cdot5^2=5^{12}\cdot25\)

W takim razie naszą liczbę możemy rozpisać w następujący sposób:
$$\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}=\frac{5^{12}+5^{12}\cdot5+5^{12}\cdot25}{5^{12}}= \\
=\frac{5^{12}}{5^{12}}+\frac{5^{12}\cdot5}{5^{12}}+\frac{5^{12}\cdot25}{5^{12}}= \\
=1+5+25=31$$

Korzystając z działań na logarytmach, możemy zapisać, że:
$$log_{3}108-2log_{3}2=log_{3}108-log_{3}2^2= \\
=log_{3}108-log_{3}4=log_{3}\left(\frac{108}{4}\right)=log_{3}27=3$$

W tym zadaniu musimy skorzystać z dwóch wzorów skróconego mnożenia, czyli \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) oraz \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Całe wyrażenie możemy więc rozpisać w następujący sposób:
$$(3x+2)^2-(2x-3)^2=9x^2+12x+4-(4x^2-12x+9)= \\
=9x^2+12x+4-4x^2+12x-9=5x^2+24x-5$$

Krok 1. Rozpisanie podanej liczby.
W algebrze liczby parzyste możemy zapisać jako \(2k\), a liczby nieparzyste jako \(2k+1\) (gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą). Podstawiając zatem wyrażenie \(2k+1\) do naszej liczby, otrzymamy:
$$3\cdot(2k+1)^2+2\cdot(2k+1)+7= \\
=3\cdot(4k^2+4k+1)+4k+2+7= \\
=12k^2+12k+3+4k+2+7= \\
=12k^2+16k+12= \\
=4\cdot(3k^2+4k+3)$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Wartość wyrażenia \(3k^2+4k+3\) jest dodatnia, a tym samym wyłączona czwórka przed nawias oznacza, że liczba jest jak najbardziej podzielna przez \(4\), co należało udowodnić.

Rozpisując naszą nierówność, otrzymamy:
$$3-2(1-2x)\ge2x-17 \\
3-(2-4x)\ge2x-17 \\
3-2+4x\ge2x-17 \\
4x+1\ge2x-17 \\
2x\ge-18 \\
x\ge-9$$

Zbiór rozwiązań tej nierówności znalazł się na rysunku z ostatniej odpowiedzi.

Aby wyrażenie po lewej stronie było równe \(0\), to albo to co jest przed nawiasami jest równe \(0\), albo to co w nawiasach musi być równe \(0\). Moglibyśmy więc zapisać, że:
$$2x=0 \quad\lor\quad x+3=0 \quad\lor\quad x^2+25=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x^2=-25$$

Równanie \(x^2=-25\) nie ma rozwiązań, bo nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu dałaby wynik ujemny. Stąd też jedynymi rozwiązaniami całego równania będą \(-3\) oraz \(0\).

Chcąc uprościć nasze wyrażenie dobrze byłoby zauważyć, że zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia, da się "zwinąć" wyrażenie \(x^2+4x+4\) do postaci \((x+2)^2\), a wartość \(x^2+x\) da się rozpisać jako \(x(x+1)\). Całość obliczeń wyglądałaby więc następująco:
$$\frac{x^2+x}{x^2+4x+4}\cdot\frac{x+2}{x}= \\
=\frac{x(x+1)}{(x+2)^2}\cdot\frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+2}$$

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Aby się nie pogubić podczas rozwiązywania, rozpiszmy sobie wszystko bardzo dokładnie:
\(x\) - kwota przyznana zespołowi \(A\)
\(0,13x\) - tyle pieniędzy wydał zespół \(A\)

\(1200000-x\) - kwota przyznana zespołowi \(B\)
\(0,11\cdot(1200000-x)=132000-0,11x\) - tyle pieniędzy wydał zespół \(B\)

Krok 2. Obliczenie kwoty przyznanej zespołowej \(A\).
Z treści zadania wynika, że suma dotychczasowych wydatków zespołu \(A\) i \(B\) wynosi \(146\;700\) złotych. Na podstawie zapisanych wcześniej oznaczeń możemy zapisać, że w takim razie:
$$0,13x+132000-0,11x=146700 \\
0,02x+132000=146700 \\
0,02x=14700 \\
x=735000$$

To oznacza, że zespół \(A\) otrzymał na projekt badawczy kwotę \(735\;000\) złotych.

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, musimy uporządokować cały zapis, doprowadzając nierówność do postaci ogólnej, zatem:
$$3(2x^2+1)\lt11x \\
6x^2+3\lt11x \\
6x^2-11x+3\lt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=6,\;b=-11,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-11)^2-4\cdot6\cdot3=121-72=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-11)-7}{2\cdot6}=\frac{11-7}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-11)+7}{2\cdot6}=\frac{11+7}{12}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=\frac{1}{3}\) oraz \(x=\frac{3}{2}\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki mniejsze od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się pod osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in\left(\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right)$$

Krok 1. Wyznaczenie dziedziny funkcji \(f\).
Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(Ox\). Z wykresu wynika, że nasza funkcja przyjmuje wartości od argumentu \(x=-4\) aż do argumentu \(x=4\) (ale bez czwórki, bo kropka jest niezamalowana). Stąd też zapisalibyśmy, że dziedziną funkcji jest przedział \(\langle-4,4)\)

Krok 2. Wyznaczenie zbioru wartości funkcji \(f\).
Zbiór wartości odczytujemy z osi \(Oy\). Z wykresu wynika, że nasza funkcja przyjmuje wartości od \(y=-3\) (ale bez minus trójki, bo kropka jest niezamalowana), aż do \(y=3\). W takim razie zbiorem wartości będzie przedział \((-3,3\rangle\)

Krok 3. Wyznaczenie zbioru argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości dodatnie.
Wartości dodatnie są przyjmowane dla argumentów od \(-4\) aż do \(x=3\) (ale bez trójki, bo dla \(x=3\) mamy wartość równą \(0\)). Stąd też poszukiwanym przedziałem będzie \(\langle-4,3)\).

Krok 4. Wyznaczenie rozwiązań równania \(f(x)=3\).
Musimy ustalić dla jakich argumentów \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą \(3\). Tu bardzo dużą pułapką jest fakt, że teoretycznie ze wzoru wynika, że ta wartość jest przyjmowana dla \(x\in(-2,2\rangle\) i to jest prawda, ale ta wartość jest także przyjmowana dla \(x=-2\), co też należałoby uwzględnić. Stąd też moglibyśmy zapisać, że zbiorem rozwiązań naszego równania będzie przedział \(\langle-2,2\rangle\).

Funkcja nie będzie mieć miejsc zerowych wtedy, gdy współczynnik \(a\) będzie równy 0. To oznacza, że stanie się tak dla \(m\) równego:
$$3-m=0 \\
m=3$$

Krok 1. Zapisanie równania.
Z własności ciągów arytmetycznych wynika, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następująca równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Ten ciąg będzie więc arytmetyczny wtedy, gdy spełni powyższą równość. Podstawiając zatem znane nam wyrazy, otrzymamy:
$$m^2+3=\frac{2m+11+5-m}{2} \\
m^2+3=\frac{m+16}{2} \\
2m^2+6=m+16 \\
2m^2-m-10=0$$

Krok 2.