Matura Matematyka Rozszerzona 2026 (maj) — arkusz CKE z rozwiązaniami krok po kroku | Matematix.pl
Matura·PR·Matematyka·2026 Maj·13 zadań
Matura Matematyka Rozszerzona 2026 (maj) — arkusz CKE z rozwiązaniami krok po kroku | Matematix.pl
Arkusz maturalny z matematyki, poziom rozszerzony, maj 2026 (Formuła 2023). Wszystkie 12 zadań z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku, klucz odpowiedzi (zasady oceniania CKE) oraz arkusz w PDF.
Ze zbioru ośmiu liczb $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że wylosowane liczby utworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną przez $3$. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Kiedy iloczyn jest podzielny przez 3.
W zbiorze tylko $3$ i $6$ są podzielne przez $3$. Iloczyn trzech kolejnych wyrazów jest podzielny przez $3$ dokładnie wtedy, gdy wśród nich jest $3$ lub $6$. Warunek: w każdej trójce kolejnych pozycji znajduje się co najmniej jedna z liczb $3,6$.
Krok 2. Rozmieszczenie liczb 3 i 6.
Mamy $8$ pozycji i tylko dwie „dobre” liczby. Pozostałe sześć liczb tworzy trzy przerwy (przed, między, po), których suma długości to $6$; żadna przerwa nie może mieć $\ge 3$ (inaczej powstanie trójka bez liczby podzielnej przez 3). Trzy przerwy o sumie $6$, każda $\le 2$, muszą mieć długości $2,2,2$. Stąd $3$ i $6$ muszą stać na pozycjach $3$ i $6$ (w dowolnej kolejności).
Krok 3. Prawdopodobieństwo.
Wszystkich ustawień: $8!$. Sprzyjających: liczby $3,6$ na pozycjach $3,6$ ($2!$ sposobów) i pozostałe $6$ liczb na pozostałych miejscach ($6!$):
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{x^{2}}.$$
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Przeniesienie i grupowanie.
Rozpatrujemy różnicę prawej i lewej strony i grupujemy odpowiednie składniki:
Punkty $K$ i $L$ są środkami — odpowiednio — boków $AB$ i $BC$ kwadratu $ABCD$ o boku długości $a$. Punkt $M$ jest takim punktem na boku $BC$, że odcinki $DK$ i $KM$ są prostopadłe. Odcinek $AL$ przecina odcinki $DK$ oraz $DM$ w punktach — odpowiednio — $P$ oraz $Q$. Wykaż, że $|PQ|=\dfrac{\sqrt5}{5}\,a$.
$\vec{KD}=\left(-\tfrac{a}{2},a\right)$. Niech $M=(a,m)$, wtedy $\vec{KM}=\left(\tfrac{a}{2},m\right)$. Z $\vec{KD}\cdot\vec{KM}=0$: $-\tfrac{a^{2}}{4}+am=0\Rightarrow m=\tfrac{a}{4}$, więc $M=\left(a,\tfrac{a}{4}\right)$.
Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ o skończonej liczbie wyrazów (większej od $6$). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy $1$, a ostatni wyraz jest równy $(-2025)$. Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą — w podanej kolejności — ciąg geometryczny. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(a_{n})$.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Warunek geometryczny.
$a_{2}=1+d$, $a_{3}=1+2d$, $a_{6}=1+5d$. Z warunku $a_{3}^{2}=a_{2}\cdot a_{6}$:
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym $ABCS$ podstawa $ABC$ jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie $ABC$ jest równa $6\sqrt2\,\pi$, a cosinus kąta między krawędziami bocznymi $SB$ i $SC$ jest równy $\frac{5}{9}$. Oblicz długość krawędzi podstawy $ABC$ oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi $SAC$ i $SBC$ tego ostrosłupa.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Promień okręgu opisanego i krawędź podstawy.
Z długości okręgu $2\pi R=6\sqrt2\,\pi$ mamy $R=3\sqrt2$. Dla trójkąta równobocznego $R=\dfrac{a}{\sqrt3}$, więc
$$a=R\sqrt3=3\sqrt2\cdot\sqrt3=3\sqrt6.$$
Krok 2. Długość krawędzi bocznej.
W trójkącie $BSC$ ($SB=SC=b$, $BC=a=3\sqrt6$), z twierdzenia cosinusów:
W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty $A=(1,-1)$ oraz $B=(4,0)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$, w którym $|CA|=|CB|$. Jedno z ramion trójkąta $ABC$ zawiera się w prostej o równaniu $x+2y-4=0$. Na boku $AC$ tego trójkąta obrano taki punkt $M$, że $|AM|:|MC|=1:4$. Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie $M$ i przechodzi przez punkt $C$.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Wyznaczenie punktu $C$.
Punkt $A$ nie leży na prostej $x+2y-4=0$ ($1-2-4=-5\ne0$), a $B$ leży ($4+0-4=0$). Ramieniem zawartym w prostej jest więc $CB$, zatem $C$ leży na tej prostej: $x_{C}=4-2y_{C}$.
Z warunku $|CA|=|CB|$: $(x_{C}-1)^{2}+(y_{C}+1)^{2}=(x_{C}-4)^{2}+y_{C}^{2}$, co po uproszczeniu daje $3x_{C}+y_{C}=7$. Łącząc z $x_{C}=4-2y_{C}$: $3(4-2y_{C})+y_{C}=7\Rightarrow y_{C}=1,\ x_{C}=2$. Zatem $C=(2,1)$.
Krok 2. Punkt $M$ na $AC$, $|AM|:|MC|=1:4$.
$$M=A+\tfrac15(C-A)=(1,-1)+\tfrac15(1,2)=\left(\tfrac{6}{5},-\tfrac{3}{5}\right).$$
Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru $m$ (gdzie $m\neq 0$), dla których funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $$f(x)=m^{2}\cdot x^{2}-2mx-m+1$$ ma dwa różne miejsca zerowe $x_{1}$ oraz $x_{2}$ należące do przedziału $(-2,2)$.
W czworokącie $ABCD$ dane są: $|AB|=9$, $|AD|=10$ oraz $|\angle BAD|=60^{\circ}$. W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg. Oblicz długości boków $BC$ i $CD$ oraz pole czworokąta $ABCD$.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Własności czworokąta.
Czworokąt jest opisany na okręgu (wpisany okrąg), więc $|AB|+|CD|=|BC|+|AD|$, czyli $9+|CD|=|BC|+10\Rightarrow |CD|=|BC|+1$.
Czworokąt jest wpisany w okrąg (opisany okrąg), więc przeciwległe kąty sumują się do $180^{\circ}$: $|\angle BCD|=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.
W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości $x$ metrów (nieprzekraczającej $10$ m). Na kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy $4$ m, styczna do każdego z boków trójkąta (okrąg wpisany). Wykaż, że pole $P$ (w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem $P(x)=\dfrac{2x^{3}}{x^{2}-16}$.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Oznaczenia.
Trójkąt równoramienny o podstawie $x$ i wysokości $h$ (z wierzchołka na podstawę). Ramiona: $L=\sqrt{\left(\tfrac{x}{2}\right)^{2}+h^{2}}$. Promień okręgu wpisanego $r=\tfrac{4}{2}=2$.
Krok 2. Zależność między $h$ i $x$ (z promienia okręgu wpisanego).
Ze wzoru $r=\dfrac{P}{s}=\dfrac{\frac12 x h}{\frac{x+2L}{2}}=\dfrac{xh}{x+2L}=2$ otrzymujemy $xh=2x+4L$, czyli $x(h-2)=4L=2\sqrt{x^{2}+4h^{2}}$. Podnosząc do kwadratu:
Pole $P$ trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem $P(x)=\dfrac{2x^{3}}{x^{2}-16}$ dla każdego $x\in(4,10\rangle$. Wyznacz długość $x$ podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Pochodna (wzór na pochodną ilorazu).
$$P'(x)=\frac{6x^{2}(x^{2}-16)-2x^{3}\cdot 2x}{(x^{2}-16)^{2}}=\frac{2x^{4}-96x^{2}}{(x^{2}-16)^{2}}=\frac{2x^{2}(x^{2}-48)}{(x^{2}-16)^{2}}.$$
Krok 2. Miejsce zerowe pochodnej.
W dziedzinie $x>4$ znak zależy od $x^{2}-48$: $P'(x)=0\Rightarrow x^{2}=48\Rightarrow x=4\sqrt3\ (\approx6{,}93\in(4,10\rangle)$.
Krok 3. Charakter ekstremum.
Dla $44\sqrt3$: $P'(x)>0$ (rośnie). W $x=4\sqrt3$ jest więc minimum.
Krok 4. Najmniejsze pole.
$$P(4\sqrt3)=\frac{2\left(4\sqrt3\right)^{3}}{(4\sqrt3)^{2}-16}=\frac{2\cdot 192\sqrt3}{48-16}=\frac{384\sqrt3}{32}=12\sqrt3.$$
Odpowiedź. Podstawa $x=4\sqrt3$ m, najmniejsze pole $P=12\sqrt3\ \text{m}^{2}$.
Zacznij dziś
Pierwszy miesiąc za 0 zł. Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.