Matura Matematyka Rozszerzona 2023 (maj) — arkusz CKE z rozwiązaniami krok po kroku | Matematix.pl
Matura·PR·Matematyka·2023 Maj·14 zadań
Matura Matematyka Rozszerzona 2023 (maj) — arkusz CKE z rozwiązaniami krok po kroku | Matematix.pl
Arkusz maturalny z matematyki, poziom rozszerzony, maj 2023 (Formuła 2023). Wszystkie 13 zadań z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku, klucz odpowiedzi (zasady oceniania CKE) oraz arkusz w PDF.
W chwili początkowej $(t=0)$ masa substancji jest równa $4$ gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza — po każdej kolejnej dobie ubywa $19\%$ masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej $t\ge 0$ funkcja $m(t)$ określa masę substancji (w gramach) po $t$ pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji $m(t)$. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od $1{,}5$ grama.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Model — ubytek $19\%$ na dobę.
Jeśli w danej chwili masa wynosi $m$, to po kolejnej dobie pozostaje $100\%-19\%=81\%$ masy, czyli $0{,}81\cdot m$. Każda doba to mnożenie przez ten sam czynnik $q=0{,}81$ — mamy więc ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie $4$.
Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe $\frac{1}{4}$ (partie są niezależne). Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Schemat Bernoulliego.
Mamy $n=5$ niezależnych prób (partii), sukces = wygrana Tomka, $p=\frac{1}{4}$, porażka $q=1-p=\frac{3}{4}$. „Co najmniej cztery” oznacza dokładnie $4$ lub dokładnie $5$ sukcesów:
$$P=P(X=4)+P(X=5).$$
Krok 2. Dokładnie 4 sukcesy.
$$P(X=4)=\binom{5}{4}\left(\tfrac{1}{4}\right)^{4}\left(\tfrac{3}{4}\right)^{1}=5\cdot\frac{1}{256}\cdot\frac{3}{4}=\frac{15}{1024}.$$
Krok 3. Dokładnie 5 sukcesów.
$$P(X=5)=\binom{5}{5}\left(\tfrac{1}{4}\right)^{5}=\frac{1}{1024}.$$
Krok 4. Suma i skrócenie.
$$P=\frac{15}{1024}+\frac{1}{1024}=\frac{16}{1024}=\boxed{\frac{1}{64}}.$$
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\dfrac{3x^{2}-2x}{x^{2}+2x+8}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Punkt $P=(x_{0},\,3)$ należy do wykresu funkcji $f$. Oblicz $x_{0}$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Wyznaczenie $x_{0}$ z warunku $f(x_{0})=3$.
$$\frac{3x_{0}^{2}-2x_{0}}{x_{0}^{2}+2x_{0}+8}=3.$$
Mianownik $x^{2}+2x+8$ jest zawsze dodatni ($\Delta=4-32<0$), więc możemy mnożyć:
Liczby rzeczywiste $x$ oraz $y$ spełniają jednocześnie równanie $x+y=4$ i nierówność $x^{3}-x^{2}y\le xy^{2}-y^{3}$. Wykaż, że $x=2$ oraz $y=2$.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Przeniesienie na jedną stronę i grupowanie.
$$x^{3}-x^{2}y-xy^{2}+y^{3}\le 0.$$
$$x^{2}(x-y)-y^{2}(x-y)\le 0\ \Rightarrow\ (x-y)(x^{2}-y^{2})\le 0.$$
Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\angle ABC|=90^{\circ}$ oraz $|\angle CAB|=60^{\circ}$. Punkty $K$ i $L$ leżą na bokach — odpowiednio — $AB$ i $BC$ tak, że $|BK|=|BL|=1$. Odcinek $KL$ przecina wysokość $BD$ tego trójkąta (opuszczoną z $B$ na przeciwprostokątną $AC$) w punkcie $N$, a ponadto $|AD|=2$. Wykaż, że $|ND|=\sqrt{3}+1$.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Układ współrzędnych.
Kąt prosty jest przy $B$, więc przyjmijmy $B=(0,0)$, $A=(0,a)$ na osi $OY$ oraz $C=(c,0)$ na osi $OX$. Z $|\angle CAB|=60^{\circ}$ wynika, że kąt przy $C$ ma $30^{\circ}$, a $\tan 60^{\circ}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{c}{a}=\sqrt{3}$, więc $c=a\sqrt{3}$.
Krok 2. Wyznaczenie $a$ z warunku $|AD|=2$.
W trójkącie prostokątnym rzut przyprostokątnej $AB$ na przeciwprostokątną spełnia $|AD|=\dfrac{|AB|^{2}}{|AC|}$. Ponieważ $|AC|=\sqrt{a^{2}+c^{2}}=\sqrt{a^{2}+3a^{2}}=2a$, mamy
Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $6$ (podstawy $ABCD$ i $EFGH$, przy czym $E$ leży nad $A$, $F$ nad $B$, $G$ nad $C$, $H$ nad $D$). Punkt $S$ jest punktem przecięcia przekątnych $AH$ i $DE$ ściany bocznej $ADHE$ (czyli środkiem tej ściany). Oblicz wysokość trójkąta $SBH$ poprowadzoną z punktu $S$ na bok $BH$ tego trójkąta.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Układ współrzędnych.
Przyjmijmy $A=(0,0,0)$, $B=(6,0,0)$, $C=(6,6,0)$, $D=(0,6,0)$ oraz $E=(0,0,6)$, $F=(6,0,6)$, $G=(6,6,6)$, $H=(0,6,6)$.
$S$ to środek ściany $ADHE$ (przecięcie jej przekątnych): $S=\left(0,\,3,\,3\right)$.
Czworokąt $ABCD$, w którym $|BC|=4$ i $|CD|=5$, jest opisany na okręgu. Przekątna $AC$ tego czworokąta tworzy z bokiem $BC$ kąt o mierze $60^{\circ}$, natomiast z bokiem $AB$ — kąt ostry, którego sinus jest równy $\frac{1}{4}$. Oblicz obwód czworokąta $ABCD$.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu.
W czworokącie opisanym sumy przeciwległych boków są równe:
$$|AB|+|CD|=|BC|+|AD|.$$
Obwód $=|AB|+|BC|+|CD|+|AD|=2\big(|AB|+|CD|\big)$, więc wystarczy wyznaczyć $|AB|$.
Krok 2. Trójkąt $ABC$ i twierdzenie sinusów.
W trójkącie $ABC$: $\angle ACB=60^{\circ}$ (kąt między $AC$ i $BC$), $\angle BAC=\alpha$ (kąt między $AC$ i $AB$), $\sin\alpha=\tfrac14$, a bok $BC=4$ leży naprzeciw kąta $\alpha$. Z twierdzenia sinusów:
Rozwiąż nierówność $$\sqrt{x^{2}+4x+4}<\frac{25}{3}-\sqrt{x^{2}-6x+9}.$$ Wskazówka: skorzystaj z tego, że $\sqrt{a^{2}}=|a|$ dla każdej liczby rzeczywistej $a$.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Zwinięcie do kwadratów zupełnych.
$$x^{2}+4x+4=(x+2)^{2},\qquad x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}.$$
Zatem $\sqrt{x^{2}+4x+4}=|x+2|$ oraz $\sqrt{x^{2}-6x+9}=|x-3|$, a nierówność przyjmuje postać
$$|x+2|+|x-3|<\frac{25}{3}.$$
Krok 2. Rozpatrzenie przedziałów.
Dla $x<-2$: $-(x+2)-(x-3)=-2x+1<\tfrac{25}{3}\Rightarrow -2x<\tfrac{22}{3}\Rightarrow x>-\tfrac{11}{3}$. Stąd $-\tfrac{11}{3}
Dla $-2\le x\le 3$: $(x+2)+(3-x)=5<\tfrac{25}{3}$ — prawda dla wszystkich takich $x$. Stąd cały przedział $\langle -2,3\rangle$.
Dla $x>3$: $(x+2)+(x-3)=2x-1<\tfrac{25}{3}\Rightarrow 2x<\tfrac{28}{3}\Rightarrow x<\tfrac{14}{3}$. Stąd $3
Określamy kwadraty $K_{1},K_{2},K_{3},\dots$ następująco: $K_{1}$ jest kwadratem o boku długości $a$; dla każdego $n\ge 2$ kwadrat $K_{n}$ ma każdy wierzchołek na innym boku kwadratu $K_{n-1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$. Obwody wszystkich tych kwadratów tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Bok kolejnego kwadratu.
Wierzchołek $K_{n}$ dzieli bok $K_{n-1}$ o długości $s$ na części $\tfrac{s}{4}$ i $\tfrac{3s}{4}$. Bok kwadratu wpisanego jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $\tfrac{s}{4}$ i $\tfrac{3s}{4}$:
Wyznacz wszystkie wartości parametru $m\neq 2$, dla których równanie $$x^{2}+4x-\frac{m-3}{m-2}=0$$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1},x_{2}$ spełniające warunek $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28$.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Oznaczenie i wzory Viète’a.
Niech $c=\dfrac{m-3}{m-2}$. Równanie $x^{2}+4x-c=0$ daje $x_{1}+x_{2}=-4$ oraz $x_{1}x_{2}=-c$.
Krok 2. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
$$\Delta=16+4c>0\ \Rightarrow\ c>-4.$$
Krok 3. Warunek $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28$.
Korzystamy z tożsamości $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_{1}+x_{2})^{3}-3x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})$:
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=81^{\log_{3}x}+\dfrac{2\log_{2}\sqrt{27}\cdot\log_{3}2}{3}\cdot x^{2}-6x$ dla każdej liczby dodatniej $x$. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $x$ wyrażenie to można równoważnie przekształcić do postaci $x^{4}+x^{2}-6x$.
Oblicz najmniejszą wartość funkcji $f$ określonej dla każdej liczby dodatniej $x$.Przyjmij, że wzór funkcji można przedstawić w postaci $f(x)=x^{4}+x^{2}-6x$.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Pochodna.
$$f'(x)=4x^{3}+2x-6.$$
Krok 2. Miejsca zerowe pochodnej.
$4x^{3}+2x-6=0\ \Rightarrow\ 2x^{3}+x-3=0$. Zauważmy, że $x=1$ jest pierwiastkiem ($2+1-3=0$). Dzielimy:
$$2x^{3}+x-3=(x-1)(2x^{2}+2x+3).$$
Trójmian $2x^{2}+2x+3$ ma $\Delta=4-24<0$, więc nie ma innych pierwiastków rzeczywistych. W dziedzinie $x>0$ jedynym miejscem zerowym pochodnej jest $x=1$.
Krok 3. Badanie znaku pochodnej.
Dla $01$ — $f'(x)>0$ (np. $f'(2)=32+4-6>0$). Funkcja maleje, a potem rośnie, więc w $x=1$ jest minimum lokalne, a zarazem najmniejsza wartość na $(0,\infty)$.
Krok 4. Wartość najmniejsza.
$$f(1)=1^{4}+1^{2}-6\cdot 1=1+1-6=-4.$$
Odpowiedź: najmniejsza wartość funkcji wynosi $-4$ (dla $x=1$).
W kartezjańskim układzie współrzędnych prosta $l:\ x-y-2=0$ przecina parabolę $y=4x^{2}-7x+1$ w punktach $A$ oraz $B$. Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu $\mathcal{O}$. Punkt $C$ leży na okręgu $\mathcal{O}$ nad prostą $l$, a kąt $BAC$ jest ostry i ma miarę $\alpha$ taką, że $\operatorname{tg}\alpha=\frac{1}{3}$. Oblicz współrzędne punktu $C$.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Punkty $A$ i $B$.
Z prostej $y=x-2$. Podstawiamy do równania paraboli:
Stąd $A=\left(\tfrac12,-\tfrac32\right)$, $B=\left(\tfrac32,-\tfrac12\right)$ (z rysunku $A$ jest punktem niżej).
Krok 2. Środek i promień okręgu.
Środek $=$ środek $AB=\left(1,-1\right)$. $|AB|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt2$, więc $r=\tfrac{\sqrt2}{2}$, a $r^{2}=\tfrac12$. Równanie okręgu: $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=\tfrac12$.
Krok 3. Kierunek prostej $AC$.
Prosta $l$ ma współczynnik kierunkowy $1$ (kąt $45^{\circ}$ z osią $OX$). Punkt $C$ jest nad prostą $l$, więc prosta $AC$ jest nachylona pod kątem $45^{\circ}+\alpha$, a jej współczynnik kierunkowy:
Pierwszy miesiąc za 0 zł. Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.