LekcjeRazem

Kąt prosty jest przy $B$, więc przyjmijmy $B=(0,0)$, $A=(0,a)$ na osi $OY$ oraz $C=(c,0)$ na osi $OX$. Z $|\angle CAB|=60^{\circ}$ wynika, że kąt przy $C$ ma $30^{\circ}$, a $\tan 60^{\circ}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{c}{a}=\sqrt{3}$, więc $c=a\sqrt{3}$.

W trójkącie prostokątnym rzut przyprostokątnej $AB$ na przeciwprostokątną spełnia $|AD|=\dfrac{|AB|^{2}}{|AC|}$. Ponieważ $|AC|=\sqrt{a^{2}+c^{2}}=\sqrt{a^{2}+3a^{2}}=2a$, mamy

Zatem $A=(0,4)$, $C=(4\sqrt{3},0)$, $|AC|=8$.

Prosta $AC$: $\dfrac{x}{4\sqrt{3}}+\dfrac{y}{4}=1$, czyli $x+\sqrt{3}\,y=4\sqrt{3}$. Rzutując $B=(0,0)$ prostopadle na $AC$ otrzymujemy $D=(\sqrt{3},\,3)$ (sprawdzenie: $|AD|=\sqrt{(\sqrt3-0)^2+(3-4)^2}=\sqrt{3+1}=2$).

Punkty: $K=(0,1)$ (na $AB$, $|BK|=1$) oraz $L=(1,0)$ (na $BC$, $|BL|=1$). Prosta $KL$: $x+y=1$.

Prosta $BD$ przechodzi przez $B=(0,0)$ i $D=(\sqrt3,3)$, więc ma równanie $y=\sqrt{3}\,x$. Podstawiając do $x+y=1$:

Cała wysokość $|BD|=\sqrt{(\sqrt3)^2+3^2}=\sqrt{12}=2\sqrt3$. Odległość $|BN|$:

Ponieważ $N$ leży między $B$ i $D$: