Wykonując działania na logarytmach otrzymamy:
$$2log_{3}6-log_{3}4=log_{3}6^2-log_{3}4=log_{3}36-log_{3}4=log_{3}\frac{36}{4}=log_{3}9=2$$

Wykonując działania na pierwiastkach otrzymamy:
$$\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot\sqrt[3]{\frac{81}{56}}=\sqrt[3]{\frac{7}{3}\cdot\frac{81}{56}}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\sqrt[3]{\frac{3^3}{2^3}}=\frac{3}{2}$$

Wykonując działania na potęgach otrzymamy:
$$\frac{a}{b}=\frac{3,6\cdot10^{-12}}{2,4\cdot10^{-20}}=\frac{3,6}{2,4}\cdot\frac{10^{-12}}{10^{-20}}= \           ,\
=1,5\cdot10^{-12-(-20)}=1,5\cdot10^{-12+20}=1,5\cdot10^{8}$$

Przyjmijmy następujące oznaczenia:
\(x\) - cena roweru przed obniżką
\(x-0,15x=0,85x\) - cena roweru po obniżce

Z treści zadania wynika, że:
$$0,85x=850zł \           ,\
x=1000zł$$

W tego typu zadaniach najlepiej jest na początku pozbyć się wszystkich ułamków, a zrobimy to mnożąc całość przez \(6\).
$$\frac{1-2x}{2}\gt\frac{1}{3} \quad\bigg/\cdot6 \           ,\
3-6x\gt2 \           ,\
-6x\gt-1 \quad\bigg/:(-6) \           ,\
x\lt\frac{1}{6} \           ,\
x\in\left(-\infty;\frac{1}{6}\right)$$

Pamiętaj, że dzieląc lub mnożąc obustronnie nierówność przez liczbę ujemną należy zmienić znak nierówności (tak jak to miało miejsce przy dzieleniu przez \(-6)\).

Miejscem zerowym są takie argumenty (czyli iksy), dla których funkcja przyjmuje wartość równą zero. Musimy więc sprawdzić kiedy zajdzie równość:
$$-2(x+3)(x-5)=0$$

Równanie jest zapisane w postaci iloczynowej, czyli takiej z której bardzo wygodnie wyznaczymy rozwiązania. Aby całe powyższe równanie było równe zero, to któryś z nawiasów musi nam to równanie wyzerować. W związku z tym:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x-5=0 \           ,\
x=-3 \quad\lor\quad x=5$$

Obliczyliśmy w ten sposób, że \(x_{1}=-3\) oraz \(x_{2}=5\). To oznacza, że:
$$x_{1}+x_{2}=-3+5=2$$

Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość znajdująca się w mianowniku musi być różna od zera. Sprawdźmy zatem kiedy mianownik będzie równy zero, rozwiązując następujące równanie:
$$x^2-4=0 \           ,\
x^2=4 \           ,\
x=2 \quad\lor\quad x=-2$$

To oznacza, że do naszego równania musimy wprowadzić założenie, że \(x\neq2\) oraz \(x\neq-2\).

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Musimy teraz rozwiązać równanie z treści zadania, a najlepiej będzie zacząć od pozbycia się mianownika:
$$\frac{x^2+2x}{x^2-4}=0 \quad\bigg/\cdot(x^2-4) \           ,\
x^2+2x=0 \           ,\
x(x+2)=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x+2=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x=-2$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania naszego równania, ale jedno z tych rozwiązań (a konkretnie \(x=-2\)) wyklucza się z naszymi założeniami z pierwszego kroku. To oznacza, że całe równanie ma tylko jedno dobre rozwiązanie i jest to \(x=0\).

Krok 1. Ustalenie czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca.
O tym czy funkcja jest rosnąca, czy też malejąca, decyduje współczynnik kierunkowy \(a\), czyli liczba stojąca przed iksem. W naszym przypadku ten współczynnik jest dodatni, bo \(a=\frac{1}{3}\), co oznacza że funkcja jest rosnąca.

Krok 2. Ustalenie miejsca przecięcia się funkcji z osią \(Oy\).
O tym w którym miejscu funkcja przecina oś igreków decyduje współczynnik \(b\). W tym przypadku \(b=-1\), a to oznacza, że prosta przetnie oś igreków dla \(y=-1\). W związku z tym poszukiwanym przez nas punktem przecięcia z osią igreków będzie \(P=(0,-1)\).

Łącząc informacje z obydwu kroków wynika, że prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź D.

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnej iksowej (czyli \(p\)) wierzchołka paraboli.
Współrzędną iksową wierzchołka paraboli oznaczamy symbolem \(p\) i możemy ją obliczyć korzystając ze wzoru:
$$p=\frac{-b}{2a}$$

Współczynniki \(a\) oraz \(b\) odczytamy bezpośrednio ze wzoru funkcji, bo jest ona zapisana w postaci ogólnej, zatem: \(a=1\) oraz \(b=-6\). Podstawiając to do wzoru na współrzędną \(p\) otrzymamy:
$$p=\frac{-(-6)}{2\cdot1} \           ,\
p=\frac{6}{2} \           ,\
p=3$$

I tutaj tak naprawdę moglibyśmy zakończyć już rozwiązywanie tego zadania, bowiem tylko w trzeciej odpowiedzi mamy współrzędną iksową równą \(3\). Gdyby jednak okazało się, że pasowałaby nam jeszcze jakaś inna odpowiedź, to trzeba byłoby obliczyć współrzędną igrekową.

Krok 2. Obliczenie współrzędnej igrekowej (czyli \(q\)) wierzchołka paraboli.
Standardowo współrzędną igrekową moglibyśmy obliczyć korzystając ze wzoru:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$

Nie mniej jednak możemy tę współrzędną obliczyć nieco szybciej, bez liczenia delty. Wystarczy, że do wzoru funkcji \(f(x)=x^2-6x-3\) podstawimy obliczoną w pierwszym kroku współrzędną iksową wierzchołka. Podstawiając \(x=3\) do wzoru funkcji otrzymamy:
$$f(3)=3^2-6\cdot3-3 \           ,\
f(3)=9-18-3 \           ,\
f(3)=-12$$

To oznacza, że współrzędne wierzchołka są równe \(W=(3;-12)\).

Krok 1. Ustalenie współrzędnych punktów przez które przechodzi funkcja.
Z zadania wynika, że funkcja przyjmuje miejsce zerowe dla \(x=1\), zatem pierwszym punktem przez który przechodzi wykres tej funkcji będzie punkt \(A=(1,0)\). Drugi punkt jest podany wprost i jest to \(M=(3,-2)\).

Krok 2. Obliczenie współczynnika \(a\).
Kiedy znamy współrzędne dwóch punktów przez które przechodzi dana prosta, to współczynnik kierunkowy możemy obliczyć w następujący sposób:
$$a=\frac{y_{M}-y_{A}}{x_{M}-x_{A}} \           ,\
a=\frac{-2-0}{3-1} \           ,\
a=\frac{-2}{2} \           ,\
a=-1$$

Jeżeli nie pamiętamy o tym, że taki wzór istnieje, to możemy zbudować odpowiedni układ równań z którego wyznaczymy poszukiwany współczynnik \(a\). Do wzoru funkcji \(f(x)=ax+b\) musimy podstawić raz współrzędne punktu \(A\) i drugi raz współrzędne punktu \(M\), otrzymując taką oto sytuację:
$$\begin{cases}
0=1a+b \           ,\
-2=3a+b
\end{cases}$$

Najprościej rozwiążemy ten układ odejmując te równania stronami:
$$2=-2a \           ,\
a=-1$$

Krok 1. Obliczenie wartości trzech kolejnych wyrazów ciągu.
Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie obliczyć wartości trzech kolejnych wyrazów tego ciągu i na tej podstawie wyciągniemy potem wnioski na temat tego ciągu. Podstawiając do wzoru \(n=1\), \(n=2\) oraz \(n=3\) otrzymamy:
$$a_{1}=\frac{5-2\cdot1}{6}=\frac{5-2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \           ,\
a_{2}=\frac{5-2\cdot2}{6}=\frac{5-4}{6}=\frac{1}{6} \           ,\
a_{3}=\frac{5-2\cdot3}{6}=\frac{5-6}{6}=-\frac{1}{6}$$

Krok 2. Ustalenie czy ciąg jest arytmetyczny, czy geometryczny.
Ustalmy najpierw jaki jest to ciąg. Już na pierwszy rzut oka widać, że musi być to ciąg arytmetyczny, bo ciąg geometryczny nie miałby po dwóch wyrazach dodatnich nagle wyrazu ujemnego (mógłby mieć co najwyżej na przemian wyrazy dodatnie i ujemne). Jeżeli tego nie dostrzegamy, to możemy sprawdzić czy dla trzech sąsiednich wyrazów zachodzi charakterystyczna dla ciągów arytmetycznych równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2} \           ,\
\frac{1}{6}=\frac{\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{6}\right)}{2} \quad\bigg/\cdot2 \           ,\
\frac{2}{6}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6} \quad\bigg/+\frac{1}{6} \           ,\
\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \           ,\
\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \           ,\
L=P$$

Skoro lewa strona jest równa prawej, to znaczy że ciąg jest arytmetyczny.

Krok 3. Ustalenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Na koniec musimy jeszcze ustalić różnicę ciągu arytmetycznego, a dokonamy tego odejmując np. od wartości drugiego wyrazu wartość wyrazu pierwszego:
$$r=a_{2}-a_{1} \           ,\
r=\frac{1}{6}-\frac{1}{2} \           ,\
r=\frac{1}{6}-\frac{3}{6} \           ,\
r=-\frac{2}{6} \           ,\
r=-\frac{1}{3}$$

Korzystając z własności ciągów arytmetycznych możemy zapisać, że:
$$a_{4}=a_{5}-r \           ,\
a_{6}=a_{5}+r$$

W związku z tym:
$$a_{4}+a_{5}+a_{6}=12 \           ,\
a_{5}-r+a_{5}+a_{5}+r=12 \           ,\
3a_{5}=12 \           ,\
a_{5}=4$$

Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Iloraz ciągu geometrycznego obliczymy dzieląc np. wartość drugiego wyrazu przez wartość pierwszego wyrazu:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \           ,\
q=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \           ,\
q=2$$

Krok 2. Zapisanie wzoru ciągu geometrycznego.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\) możemy zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \           ,\
a_{n}=\sqrt{2}\cdot2^{n-1} \           ,\
a_{n}=\sqrt{2}\cdot2^{n}\cdot2^{-1} \           ,\
a_{n}=\sqrt{2}\cdot2^{n}\cdot\frac{1}{2} \           ,\
a_{n}=\frac{\sqrt{2}\cdot2^{n}}{2}$$

Niestety takiego wzoru w odpowiedziach nie mamy, dlatego musimy doprowadzić ten zapis do innej postaci. Widzimy, że w liczniku powinniśmy mieć \(2^n\) i taka sytuacja jest tylko w odpowiedzi B. Aby osiągnąć taki zapis jak w tej odpowiedzi musimy wykonać dość nietypowe (bo prowadzące do pierwiastka w mianowniku) mnożenie licznika i mianownika przez \(\sqrt{2}\).
$$a_{n}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot2^{n}}{2\cdot\sqrt{2}} \           ,\
a_{n}=\frac{2\cdot2^{n}}{2\cdot\sqrt{2}} \           ,\
a_{n}=\frac{2^{n}}{\sqrt{2}}$$

Krok 1. Obliczenie wartości sinusa kąta \(α\).
Znamy długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \(α\) oraz długość przeciwprostokątnej. W związku z tym musimy skorzystać z sinusa:
$$sinα=\frac{|LM|}{|LK|} \           ,\
sinα=\frac{3}{8}$$

Krok 2. Odczytanie miary kąta z tablic.
Szukamy w tablicach matematycznych odpowiedzi na pytanie - dla jakiego kąta ostrego sinus przyjmuje wartość bliską lub równą \(\frac{3}{8}\) (czyli \(0,375\)). Z tablic odczytujemy, że najbliżej tej wartości jest kąt \(22°\), dla którego sinus przyjmuje wartość \(0,3746\), zatem prawidłową odpowiedzią jest \(21°\lt α\le 24°\).

Aby trójkąty były względem siebie podobne, to stosunek każdego z odpowiadających boków (czyli najmniejszego do najmniejszego, największego do największego, środkowego do środkowego) musi być taki sam. Musimy więc sprawdzić po kolei poszczególne pary boków.

Odp. A.
$$\frac{2\sqrt{5}}{10}=\frac{\sqrt{5}}{5} \           ,\
\frac{3\sqrt{5}}{15}=\frac{\sqrt{5}}{5} \           ,\
\frac{4\sqrt{5}}{20}=\frac{\sqrt{5}}{5}$$

I już w pierwszej odpowiedzi widzimy, że stosunek długości boków jest zawsze taki sam, więc to będzie nasza prawidłowa odpowiedź. Dalej już sprawdzać nie musimy.