Pierwiastek z kwadratu dowolnego wyrażenia jest równy wartości bezwzględnej z tego wyrażenia. Prawidłowa jest zatem odpowiedź \(D\). O tym, że pozostałe odpowiedzi są błędne możemy się przekonać podstawiając np. \(x=-3\).
Odp. A.
\(\sqrt{x^2}=x \           ,\
\sqrt{(-3)^2}=-3 \           ,\
\sqrt{9}=-3 \           ,\
3=-3 \           ,\
L\neq P\)

Odp. B.
\(|-x|=x \           ,\
|-(-3)|=-3 \           ,\
|3|=-3 \           ,\
3=-3 \           ,\
L\neq P\)

Odp. C.
\(|x-1|=x-1 \           ,\
|-3-1|=-3-1 \           ,\
|-4|=-4 \           ,\
4=-4 \           ,\
L\neq P\)

Odp. D.
\(\sqrt{(x+1)^2}=|x+1| \           ,\
\sqrt{(-3+1)^2}=|-3+1| \           ,\
\sqrt{(-2)^2}=|-2| \           ,\
\sqrt{4}=2 \           ,\
2=2 \           ,\
L=P\)

Oznaczmy sobie udziały poszczególnych wspólników jako: \(12x,8x,3x,2x\). Łącznie udziałów mamy:
$$12x+8x+3x+2x=25x$$

Musimy teraz obliczyć jaką część udziałów ma największy inwestor, a widzimy że ma on \(12x\) z \(25x\), czyli:
$$\frac{12x}{25x}\cdot100\%=48\%$$

$$ab+a-b-1=a(b+1)-(b+1)= \           ,\
a\cdot(b+1)-1\cdot(b+1)=(a-1)(b+1)$$

Krok 1. Określenie współczynnika \(a\).



Z rysunku wynika, że nasza funkcja jest malejąca, tak więc współczynnik \(a\) jest na pewno mniejszy od zera. To oznacza, że prawidłową odpowiedzią jest \(A\) lub \(C\).

Krok 2. Określenie współczynnika \(b\).
Tu z pomocą przyjdą nam współrzędne punktu \(L\). Miejsce przecięcia się prostej z osią \(Oy\) mówi nam o tym jaka jest wartość współczynnika \(b\). Skoro prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \(L=(0,1)\), to \(b=1\).

Prawidłowa jest więc odpowiedź \(A\).

Obliczmy wartość każdej z liczb:
\(a=\log_{3}\frac{1}{9}=-2 \text{, bo } 3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}\)
\(b=\log_{3}3=1 \text{, bo } 3^1=3\)
\(c=\log_{3}\frac{1}{27}=-3 \text{, bo } 3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}\)

$$-3\lt-2\lt1 \           ,\
c\lt a\lt b$$

Nasza funkcja jest funkcją liniową i to w dodatku rosnącą, bo ma dodatni współczynnik \(a=3\). To oznacza, że dla \(f(-2)\) funkcja przyjmie wartość najmniejszą, a dla \(f(2)\) największą, zatem:
$$f(-2)=3\cdot(-2)-4=-6-4=-10 \           ,\
f(2)=3\cdot2-4=6-4=2$$

Zbiorem wartości tej funkcji jest więc przedział \(\langle-10;2\rangle\).

Skoro \(\frac{-7}{3}\) jest miejscem zerowym, to znaczy że:
$$f\left(\frac{-7}{3}\right)=0 \           ,\
3\cdot\left(\frac{-7}{3}\right)^2+7\cdot\left(\frac{-7}{3}\right)+c=0 \           ,\
3\cdot\frac{49}{9}+\left(-\frac{49}{3}\right)+c=0 \           ,\
\frac{49}{3}-\frac{49}{3}+c=0 \           ,\
0+c=0 \           ,\
c=0$$

Z racji tego iż nie mamy żadnych wzorów na dodawanie potęg, to musimy wykazać się sprytem i wyłączyć wspólny czynnik przed nawias:
$$\require{cancel}
\frac{3^{27}+3^{26}}{3^{26}+3^{25}}=\frac{3^{26}\cdot\cancel{(3+1)}}{3^{25}\cdot\cancel{(3+1)}}= \           ,\
=\frac{3^{26}}{3^{25}}=3^{26-25}=3^1=3$$

Krok 1. Obliczenie stopnia wielomianu \(Q(x)\).
Stopień wielomianu to tak naprawdę jego najwyższa potęga jaka pojawia się w danym zapisie. W przypadku \(W(x)\) mamy drugi stopień wielomianu (bo pojawia się \(x^2\)), a \(P(x)\) jest wielomianem trzeciego stopnia (bo mamy \(x^3\)). Musimy poznać jeszcze stopień wielomianu \(Q(x)\):
$$Q(x)=(1-x)(x+1) \           ,\
Q(x)=x+1-x^2-x \           ,\
Q(x)=-x^2+1$$

Czyli \(Q(x)\) jest wielomianem drugiego stopnia.

Krok 2. Obliczenie stopnia iloczynu \(W(x)\cdot P(x)\cdot Q(x)\).
Nie musimy wymnażać przez siebie wszystkich wyrazów, aby poznać rozwiązanie tego zadania. Wystarczy wymnożyć przez siebie tylko te wyrazy z najwyższymi potęgami w każdym z wielomianów. Cała reszta nas nie interesuje. Zatem:
$$2x^2\cdot x^3\cdot(-x^2)=-2x^{2+3+2}=-2x^7$$

To oznacza, że powstanie nam wielomian siódmego stopnia.

Krok 1. Zapisanie równania w postaci ogólnej.
Zanim przejdziemy do wyznaczenia pierwszej współrzędnej wierzchołka musimy przekształcić to równanie z postaci iloczynowej do ogólnej, zatem:
$$y=(x+2)(x-4) \           ,\
y=x^2-4x+2x-8 \           ,\
y=x^2-2x-8$$

Krok 2. Obliczenie pierwszej współrzędnej.
Dla paraboli określonej wzorem ogolnym \(y=ax^2+bx+c\) współrzędna \(p\) jej wierzchołka \(W=(p;q)\) wyraża się wzorem:
$$p=\frac{-b}{2a} \           ,\
p=\frac{-(-2)}{2\cdot1} \           ,\
p=\frac{2}{2} \           ,\
p=1$$

Sumę dziesięciu początkowych wyrazów możemy obliczyć za pomocą wzoru:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \           ,\
S_{10}=5\cdot\frac{1-(-2)^{10}}{1-(-2)} \           ,\
S_{10}=5\cdot\frac{1-1024}{1+2} \           ,\
S_{10}=5\cdot\frac{-1023}{3} \           ,\
S_{10}=5\cdot(-341) \           ,\
S_{10}=-1705$$

Krok 1. Obliczenie wartości trzeciego wyrazu.
Znając wartość drugiego i czwartego wyrazu możemy obliczyć wartość trzeciego wyrazu:
$$a_{3}=\frac{a_{2}+a_{4}}{2} \           ,\
a_{3}=\frac{11+7}{2} \           ,\
a_{3}=\frac{18}{2} \           ,\
a_{3}=9$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego (\(r\)).
Wybieramy dwa kolejne wyrazy i obliczamy różnicę ciągu:
$$r=a_{3}-a_{2} \           ,\
r=9-11 \           ,\
r=-2$$

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
$$a_{1}=a_{2}-r \           ,\
a_{1}=11-(-2) \           ,\
a_{1}=11+2 \           ,\
a_{1}=13$$

Krok 4. Obliczenie wartości czterech pierwszych wyrazów.
Tak naprawdę obliczyliśmy wartości wszystkich czterech kolejnych wyrazów, więc możemy je po prostu do siebie dodać:
$$S_{4}=13+11+9+7=40$$

Ewentualnie moglibyśmy skorzystać z następującego wzoru:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \           ,\
S_{4}=\frac{a_{1}+a_{4}}{2}\cdot 4 \           ,\
S_{4}=\frac{13+7}{2}\cdot 4 \           ,\
S_{4}=\frac{20}{2}\cdot 4 \           ,\
S_{4}=10\cdot 4 \           ,\
S_{4}=40$$

Skorzystamy tutaj z "jedynki trygonometrycznej". Skoro \(sin^2α+cos^2α=1\) to:
$$\frac{cos^2α}{1-sin^2α}+\frac{1-cos^2α}{sin^2α}=\frac{cos^2α}{cos^2α}+\frac{sin^2α}{sin^2α}= \           ,\
=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=1+1=2$$

Krok 1. Obliczenie długości podstawy \(KL\).
Do obliczenia pola trapezu brakuje nam tylko znajomości długości dolnej podstawy. Sporządźmy sobie prosty rysunek:



Na podstawie tego szkicu widzimy, że: \(|NM|=|KO|=3\) oraz \(|NK|=|MO|=4\sqrt{3}\). Jeśli obliczymy długość odcinka \(|OL|\) (a możemy to zrobić korzystając z tangensa) to poznamy także długość dolnej podstawy trapezu.
$$tgα=\frac{|MO|}{|OL|} \           ,\
\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{|OL|} \           ,\
\sqrt{3}\cdot|OL|=4\sqrt{3} \           ,\
|OL|=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \           ,\
|OL|=4$$

Stąd też \(|KL|=|KO|+|OL|=3+4=7\).

Krok 2. Obliczenie pola trapezu.
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \           ,\
P=\frac{1}{2}(7+3)\cdot4\sqrt{3} \           ,\
P=5\cdot4\sqrt{3} \           ,\
P=20\sqrt{3}$$

Krok 1. Obliczenie sumy punktów uzyskanych przez I grupę.
Skoro było \(40\) studentów, a każdy uzyskał średnio \(30\) punktów, to łącznie uzyskali:
$$S_{1}=40\cdot30=1200$$

Krok 2. Obliczenie średniego wyniku z egzaminu.
Musimy dodać do siebie sumę punktów pierwszej i drugiej grupy i podzielić ją przez łączną liczbę studentów, zatem:
$$\overline{x}=\frac{1200+1800}{40+20} \           ,\
\overline{x}=\frac{3000}{60} \           ,\
\overline{x}=50$$

Gdybyśmy połączyli ze sobą punkt \(I\) oraz \(K\) to otrzymalibyśmy trójkąt \(IKF\), którego jednym z kątów jest n