Aby rozwiązać to zadanie wystarczy podstawić pod wartość \(x\) przybliżoną wartość \(π=3,14\) i sprawdzić w ten sposób która nierówność jest prawdziwa.

Odp. A.
\(|3,14+1|=|4,14|=4,14\)
Odrzucamy tę odpowiedź, bo \(4,14\lt5\)

Odp. B.
\(|3,14-1|=|2,14|=2,14\)
Odrzucamy tę odpowiedź, bo \(2,14\gt2\)

Odp. C.
\(|3,14+\frac{2}{3}|\approx|3,14+0,67|=|3,81|=3,81\)
To prawidłowa odpowiedź, bo \(3,81\le4\)

Odp. D.
\(|3,14-\frac{1}{3}|\approx|3,14-0,33|=|2,81|=2,81\)
Odrzucamy tę odpowiedź, bo \(2,81\le3\)

Sposób I - wykorzystując proporcję:
Skoro \(9\%\) to \(189zł\)
To \(1\%\) to \(21zł\)
Więc \(100\%\) to \(2100zł\).

Sposób II - wykorzystując równania z jedną niewiadomą:
\(x\) - cena roweru
\(9\%\) z \(x\) to \(189zł\)
Zatem:
$$0,09x=189zł \quad\bigg/:0,09 \           ,\
x=2100zł$$

Musimy wyłączyć wspólny czynnik przed nawias. W naszym przypadku tym wspólnym czynnikiem jest \(5a\), tak więc otrzymamy iloczyn:
$$5a^2-10ab+15a= \           ,\
=5a\cdot a-5a\cdot2b+5a\cdot3= \           ,\
=5a(a-2b+3)$$

Aby układ równań miał nieskończenie wiele rozwiązań to pierwsze i drugie równanie musimy doprowadzić do identycznej postaci, dzięki czemu bez problemu wyznaczymy parametr \(a\):
\begin{cases}
4x+2y=10 \quad\bigg/\cdot1,5 \           ,\
6x+ay=15
\end{cases}\begin{cases}
6x+\color{blue}{3y}=15 \           ,\
6x+\color{blue}{ay}=15
\end{cases}

Skoro w pierwszym równaniu pojawiła nam się wartość \(3y\), to parametr \(a\) w drugim równaniu także musi być równy \(3\).

Krok 1. Rozwiązanie równania.
Najpierw musimy wymnożyć wartości stojące przed nawiasami, a następnie obliczyć wartość \(x\):
$$x(x+3)-49=x(x-4) \           ,\
x^2+3x-49=x^2-4x \           ,\
7x=49 \           ,\
x=7$$

Krok 2. Sprawdzanie do którego przedziału pasuje nasze rozwiązanie.
\(x=7\) należy jedynie do przedziału \((2;+\infty)\) i taka też jest nasza ostateczna odpowiedź w tym zadaniu.

Krok 1. Pozbycie się ułamków i rozwiązanie nierówności.
Przy równościach i nierównościach w których dominują ułamki dobrze jest na samym początku pomnożyć obie strony przez taką liczbę, aby pozbyć się wszystkich ułamków. W naszym przypadku taką liczbą będzie \(24\), bo jest to najmniejsza wspólna wielokrotność \(6,8,12\). Jak już to zrobimy, to bez przeszkód obliczymy naszą nierówność:

$$\frac{3}{8}+\frac{x}{6}\lt\frac{5x}{12} \quad\bigg/\cdot24 \           ,\
9+4x\lt10x \           ,\
9\lt6x \           ,\
x\gt\frac{9}{6} \           ,\
x\gt\frac{3}{2}$$

Krok 2. Wybór prawidłowej odpowiedzi.
Rozwiązaniem naszej nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych większych od \(\frac{3}{2}\). To oznacza, że najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność jest \(2\).

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Nasza nierówność jest podana w postaci iloczynowej, więc w bardzo łatwy sposób możemy obliczyć jej miejsca zerowe, bo wystarczy przyrównać poszczególne wartości w nawiasach do zera:
$$3(x-1)(x-5)=0 \           ,\
x-1=0 \quad\lor\quad x-5=0 \           ,\
x=1 \quad\lor\quad x=5$$

Krok 2. Szkicowanie paraboli przechodzącej przez wyznaczone miejsca zerowe.
Ramiona funkcji muszą być skierowane ku górze, bo współczynnik \(a\) stojący przed \(x^2\) po wykonaniu mnożenia wartości w nawiasach byłby na pewno dodatni. Pamiętajmy także o tym, by w tym przypadku punkty \(x=1\) oraz \(x=5\) były z zamalowaną kropką (bo w nierówności mieliśmy znak \(\le\)).



Krok 3. Odczytujemy przedział dla jakiego funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero.
Zgodnie z wykresem nasza funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero dla \(x\in\langle1;5\rangle\).

Krok 4. Interpretacja wyników i wybór właściwej odpowiedzi.
Wiemy już, że interesującym nas zbiorem liczbowym jest \(x\in\langle1;5\rangle\), ale wbrew pozorom to nie koniec rozwiązywania, bo musimy jeszcze uwzględnić informację z treści zadania, która mówi o tym, że \(x\gt1\). To oznacza, że "jedynka" z naszego zbioru nie spełnia już warunków zadania, tak więc interesującym nas zbiorem będzie \(x\in(1;5\rangle\). To oznacza, że prawidłowy jest wykres z trzeciej odpowiedzi.

Zgodnie z definicją logarytmów \(\log_{a}(b)\) musi mieć współczynnik \(b\gt0\). To oznacza, że w naszym przypadku musimy ułożyć i rozwiązać następującą nierówność:
$$2x-1\gt0 \           ,\
2x\gt1 \           ,\
x\gt\frac{1}{2}$$

Krok 1. Ustalenie wzoru funkcji \(h(x)\).
Zgodnie z treścią zadania nasza funkcja \(h(x)\) jest iloczynem funkcji \(f(x)\) oraz \(g(x)\), zatem:
$$h(x)=f(x)\cdot g(x)=(x-2)\cdot(x+4)$$

Powyższy zapis jest już tak naprawdę wzorem naszej funkcji \(h(x)\) w postaci iloczynowej. Możemy też wymnożyć te wyrazy i zapisać wzór w postaci ogólnej, choć nie jest to konieczne:
$$h(x)=f(x)\cdot g(x)=(x-2)\cdot(x+4)=x^2+2x-8$$

Dzięki postaci ogólnej wiemy już, że funkcja \(h(x)\) jest na pewno parabolą, której ramiona są skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) stojący przed \(x^2\) jest dodatni.

Krok 2. Ustalenie miejsc zerowych funkcji.
Choć w pierwszym kroku zapisaliśmy wzór funkcji \(h(x)\) w postaci ogólnej i śmiało moglibyśmy z niej obliczyć miejsca zerowe za pomocą delty, to jednak łatwiej będzie skorzystać z postaci iloczynowej, czyli ze wzoru \(h(x)=(x-2)(x+4)\). Wystarczy teraz przyrównać wartości w nawiasach do zera, a więc:
$$x-2=0 \quad\lor\quad x+4=0 \           ,\
x=2 \quad\lor\quad x=-4$$

Krok 3. Wybór właściwego wykresu.
Wiemy, że nasza parabola ma ramiona skierowane ku górze, że jej miejscami zerowymi są \(x=2\) oraz \(x=-4\), a więc bez żadnych wątpliwości jesteśmy w stanie stwierdzić, że poszukiwanym wykresem jest ten z pierwszej odpowiedzi.

Miejscem zerowym funkcji jest taki argument \(x\) dla którego cała funkcja przyjmuje wartość równą zero. To oznacza, że miejsce zerowe wyliczymy w następujący sposób:
$$-\sqrt{2}x+4=0 \           ,\
-\sqrt{2}x=-4 \           ,\
\sqrt{2}x=4 \quad\bigg/:\sqrt{2} \           ,\
x=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$$

Krok 1. Obliczenie parametru \(q\).
Znamy trzeci i czwarty wyraz ciągu geometrycznego, więc bez problemu obliczymy wartość \(q\):
$$q=\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{\frac{2}{3}}{1}=\frac{2}{3}$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu.
Wartość pierwszego wyrazu ciągu obliczymy za pomocą wzoru:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$

Wartość \(q\) już znamy, więc teraz podstawmy do tego wzoru np. trzeci wyraz tego ciągu (wtedy \(n=3\)) i w ten sposób obliczymy wartość \(a_{1}\). Równie dobrze możemy podstawić wartość czwartego wyrazu, wtedy \(n=4\).

Tak więc:
$$a_{3}=a_{1}\cdot q^{3-1} \           ,\
1=a_{1}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \           ,\
1=a_{1}\cdot\frac{4}{9} \quad\bigg/\cdot\frac{9}{4} \           ,\
a_{1}=\frac{9}{4}$$

Jest kilka możliwości rozwiązania tego zadania. W zadaniu zamkniętym (takim jak to) możemy teoretycznie nawet napisać sobie przykładowy ciąg typu \(1,2,3,4...\) i sprawdzić która równość będzie prawdziwa. My rozwiążemy sobie to zadanie chyba najprostszą i najbardziej uniwersalną metodą wykorzystując wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\).

Sprawdźmy teraz każdą z odpowiedzi porównując lewą i prawą stronę danego równania:
Odp. A.
\(L=a_{4}+a_{7}=a_{1}+3r+a_{1}+6r=2a_{1}+9r \           ,\
P=a_{10}=a_{1}+9r \           ,\
L\neq P\)

Odp. B.
\(L=a_{4}+a_{6}=a_{1}+3r+a_{1}+5r=2a_{1}+8r \           ,\
P=a_{3}+a_{8}=a_{1}+2r+a_{1}+7r=2a_{1}+9r \           ,\
L\neq P\)

Odp. C.
\(L=a_{2}+a_{9}=a_{1}+1r+a_{1}+8r=2a_{1}+9r \           ,\
P=a_{3}+a_{8}=a_{1}+2r+a_{1}+7r=2a_{1}+9r \           ,\
L=P\)

Odp. D.
\(L=a_{5}+a_{7}=a_{1}+4r+a_{1}+6r=2a_{1}+10r \           ,\
P=2a_{8}=2\cdot(a_{1}+7r)=2a_{1}+14r \           ,\
L\neq P\)

Prawidłową zależność otrzymaliśmy jedynie w trzeciej odpowiedzi.

Krok 1. Obliczenie wartości \(sinα\).
Wartość sinusa obliczymy korzystając z tzw. "jedynki trygonometrycznej".
$$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\
sin^2α+\left(\frac{5}{13}\right)^2=1 \           ,\
sin^2α+\frac{25}{169}=1 \           ,\
sin^2α=1-\frac{25}{169} \           ,\
sin^2α=\frac{144}{169} \           ,\
sinα=\sqrt{\frac{144}{169}} \           ,\
sinα=\frac{12}{13} \quad\lor\quad sinα=-\frac{12}{13}$$

Wartość ujemną sinusa odrzucamy, bo w treści zadania mamy informację o tym, że jest to kąt ostry, a dla kątów ostrych sinus jest dodatni. W związku z tym \(sinα=\frac{12}{13}\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(tgα\).
Znamy już \(sinα\) oraz \(cosα\) bez problemu obliczymy wartość \(tgα\), korzystając z zależności \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\).
$$tgα=\frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} \           ,\
tgα=\frac{12}{13}:\frac{5}{13} \           ,\
tgα=\frac{12}{13}\cdot\frac{13}{5} \           ,\
tgα=\frac{12}{5}$$

W tym zadaniu musimy skorzystać z tzw. "jedynki trygonometrycznej" \(sin^2α+cos^2α=1\). Widzimy wyraźnie, że zgodnie z tym wzorem \(sin^2 38°+cos^2 38°=1\) oraz \(sin^2 52°+cos^2 52°=1\). To oznacza, że:
$$\frac{sin^2 38°+cos^2 38°-1}{sin^2 52°+cos^2 52°+1}=\frac{1-1}{1+1}=\frac{0}{2}=0$$

Wiemy, że \(|AB|=5\). Pozostałe długości boków musimy obliczyć korzystając z Twierdzenia Pitagorasa \(a^2+b^2=c^2\) oraz z długości odcinków podanych w zadaniu.

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(BG\).
$$|BG|^2=|FB|^2+|FG|^2 \           ,\
|BG|^2=3^2+4^2 \           ,\
|BG|^2=9+16 \           ,\
|BG|^2=25 \           ,\
|BG|=5$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(GE\).
$$|GE|^2=|FE|^2+|FG|^2 \           ,\
|GE|^2=5^2+4^2 \           ,\
|GE|^2=25+16 \           ,\
|GE|^2=41 \           ,\
|GE|=\sqrt{41}$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(EB\).
$$|EB|^2=|AB|^2+|AE|^2 \           ,\
|EB|^2=5^2+3^2 \           ,\
|EB|^2=25+9 \           ,\
|EB|^2=34 \           ,\
|EB|=\sqrt{34}$$

Krok 4. Wskazanie najdłuższego odcinka.
Sprowadźmy wszystkie odpowiedzi do jakiejś wspólnej postaci, np. pierwiastka:
$$|AB|=5=\sqrt{25} \           ,\
|BG|=5=\sqrt{25} \           ,\
|GE|=\sqrt{41} \           ,\
|EB|=\sqrt{34}$$

W związku z tym widzimy, że najdłuższy jest odcinek \(GE\).