Naszym zadaniem jest tak naprawdę policzenie ceny brutto tego towaru. Aby tego dokonać musimy do ceny netto (czyli \(60zł\)) dodać wartość podatku VAT (czyli \(22\%\) z \(60zł\)). Zatem:
$$C_{brutto}=60+22\%\cdot60 \           ,\
C_{brutto}=60+0,22\cdot60 \           ,\
C_{brutto}=60+13,20 \           ,\
C_{brutto}=73,20[zł]$$

Z zaprezentowanych odpowiedzi wynika, że musimy zarówno \(81\) jak i \(9\) zapisać w postaci potęgi liczby \(3\), a następnie wykonać poprawnie działania na potęgach. Skoro \(81=3^4\) oraz \(9=3^2\), to:
$$81^2\cdot9^4=(3^4)^2\cdot(3^2)^4=3^{4\cdot2}\cdot3^{2\cdot4}= \           ,\
=3^8\cdot3^8=3^{8+8}=3^{16}$$

Spróbujmy obliczyć każdy z logarytmów oddzielnie:
$$\log_{3}9=2\text{, bo }3^2=9 \           ,\
\log_{3}1=0\text{, bo }3^0=1$$

Zatem:
$$\log_{3}9-\log_{3}1=2-0=2$$

Moglibyśmy też zastosować tutaj wzór na różnicę logarytmów o tej samej podstawie:
$$\log_{a}x-\log_{a}y=\log_{a}\frac{x}{y} \           ,\
\log_{3}9-\log_{3}1=\log_{3}\frac{9}{1}=\log_{3}9=2$$

Możemy rozwiązać każdą z nierówności oddzielnie i sprawdzić która z nich da rozwiązanie wskazane na rysunku. Chcąc obliczyć to nieco bardziej matematycznie musimy najpierw wyznaczyć środek pomiędzy wartościami krańcowymi tego przedziału:
$$a=\frac{-4+2}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$

Zgodnie ze wzorami po lewej stronie nierówności będziemy mieć \(|x-a|\). W naszym przypadku będzie to \(|x-(-1)|\), czyli \(|x+1|\).

Musimy jeszcze ustalić znak nierówności. Widzimy, że nasze punkty krańcowe przedziałów są oddalone od środka tego przedziału o \(3\) jednostki, a wszystkie inne wartości znajdujące się w tym przedziale są oddalone o mniej niż \(3\) jednostki. Stąd też ostatecznym rozwiązaniem będzie:
$$|x+1|\lt3$$

Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że:
$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$

W związku z tym:
$$x(x-1)(x+1)=x(x^2-1^2)=x^3-x$$

Zgodnie z treścią zadania musimy podnieść liczbę do kwadratu, zatem wykorzystując wzory skróconego mnożenia otrzymamy:
$$(2-\sqrt{3})^2=2^2-2\cdot2\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2= \           ,\
=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3}$$

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Wielomian mamy podany w bardzo wygodnej postaci iloczynowej. Aby więc jego wartość była równa zero, to:
$$x=0 \quad\lor\quad x+5=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x=-5$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo przed wartościami \(x\) nie stoi znak ujemny. Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsca zerowe. Kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\), tak więc parabola będzie wyglądać następująco:



Interesują nas wartości znajdujące się nad osią, czyli rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział:
$$(-\infty;-5)\cup(0;+\infty)$$

Krok 1. Wypisanie założeń do równania.
To dość ważny krok, bo może się zdarzyć sytuacja, w której niektóre rozwiązania będziemy musieli odrzucić ze względu na założenia. W tym przypadku konieczność wprowadzenia założeń wynika z tego, że wartość w mianowniku nie może być równa zero, bo w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero. Zatem:
$$(x-4)(x+4)\neq0 \           ,\
x-4\neq0 \quad\land\quad x+4\neq0 \           ,\
x\neq4 \quad\land\quad x\neq-4$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
W tego typu równaniach wymiernych aby wartość ich była równa zero to licznik musi być równy zero, zatem:
$$x^2-4=0 \           ,\
x=2 \quad\lor\quad x=-2$$

Otrzymane rozwiązania nie wykluczają się z założeniami, tak więc to równanie ma dokładnie dwa rozwiązania.

Kiedy parabola jest określona wzorem ogólnym typu \(ax^2+bx+c\) (a tak jest w naszym przypadku) to współrzędne wierzchołka \(W=(p;q)\) tej paraboli możemy określić za pomocą wzorów:
$$p=\frac{-b}{2a} \           ,\
q=\frac{-Δ}{4a}$$

Jeśli przyjrzymy się odpowiedziom to zauważymy, że musimy wyznaczyć tylko współrzędną \(p\), bo tylko taka się pojawia w tych odpowiedziach, zatem:
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=-13\)
$$p=\frac{-4}{2\cdot1} \           ,\
p=\frac{-4}{2} \           ,\
p=-2$$

Otrzymany wynik oznacza, że nasz wierzchołek leży na prostej o równaniu \(x=-2\).

Aby funkcja określona wzorem \(y=ax+b\) była rosnąca to współczynnik \(a\) musi być większy od zera. W naszym przykładzie \(a=m-1\), zatem aby funkcja była rosnąca to:
$$m-1\gt0 \           ,\
m\gt1$$

Spośród czterech odpowiedzi większa od jedynki jest jedynie czwarta odpowiedź, czyli \(m=2\).

Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi \(y\). Nasza funkcja przyjmuje najwyższą wartość równą \(3\), a taka sytuacja jest zawarta jedynie na wykresie z drugiej odpowiedzi.

Skoro \(a\gt0\) to funkcja musi być rosnąca.
Skoro \(b\lt0\) to funkcja musi przecinać oś \(Oy\) w ujemnym punkcie (pod osią \(Ox\)).

Obydwa warunki spełnia jedynie wykres zaprezentowany w trzeciej odpowiedzi.

Skoro funkcja przechodzi przez punkt \(A=(2,6)\), to znaczy że \(f(2)=6\). Musimy więc podstawić \(x=2\) oraz \(f(x)=6\) i w ten sposób wyznaczymy wartość poszukiwanej niewiadomej:
$$6=\frac{a}{2} \           ,\
a=12$$

Zanim zaczniemy obliczanie, to już na samym wstępie warto zauważyć, że możemy odrzucić odpowiedzi \(A\) oraz \(D\). Dlaczego? Widać wyraźnie, że jest to ciąg arytmetyczny rosnący, więc piąty wyraz nie może być mniejszy niż czwarty. Tak prawdę mówiąc można byłoby to zadanie obliczyć nawet na logikę, bo mamy dość proste liczby, ale obliczmy to sobie wszystko dokładnie, bo nie zawsze będzie można tak łatwo dojść do rozwiązania:

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Każdy wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać jako:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

To oznacza, że:
$$a_{2}=a_{1}+(2-1)r\           ,\
a_{2}=a_{1}+r \           ,\
\text{oraz} \           ,\
a_{4}=a_{1}+(4-1)r \           ,\
a_{4}=a_{1}+3r$$

Z racji tego, że znamy wartości drugiego i czwartego wyrazu to możemy stworzyć prosty układ równań z którego wyznaczymy wartość różnicy ciągu.
\begin{cases}
a_{1}+r=5 \           ,\
a_{1}+3r=11
\end{cases}

Odejmując to równanie stronami otrzymamy:
$$-2r=-6 \           ,\
r=3$$

Krok 2. Obliczenie wartości piątego wyrazu tego ciągu.
Skoro czwarty wyraz ciągu jest równy \(11\), a każdy kolejny jest o \(3\) większy (bo \(r=3\)), to piąty wyraz tego ciągu będzie równy \(11+3=14\).

Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \           ,\
a_{3}=a_{1}\cdot q^{3-1} \           ,\
-4=(-2)\cdot q^{2} \           ,\
q^2=2 \           ,\
q=\sqrt{2} \quad\lor\quad q=-\sqrt{2}$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z treści zadania wiemy, że nasz ciąg geometryczny jest malejący, ale to nie oznacza, że iloraz tego ciągu jest ujemny!

Gdyby iloraz \(q\) był liczbą ujemną, to ciąg ten ciąg miałby naprzemiennie wyrazy dodatnie i ujemne. Możemy to sobie nawet sprawdzić na naszych rozwiązaniach, które przed chwilą otrzymaliśmy. Jeśli \(q=-\sqrt{2}\) oraz \(a_{1}=-2\), to mamy ciąg:
$$-2,\quad2\sqrt{2},\quad-4,\quad4\sqrt{2}\quad\text{itd.}$$

Wartość ilorazu musi być więc w naszym przypadku dodatnia. Jeśli \(q=\sqrt{2}\), wtedy kolejnymi wyrazami tego ciągu będą:
$$-2,\quad-2\sqrt{2},\quad-4,\quad-4\sqrt{2}\quad\text{itd.}$$

Skorzystamy tutaj z tzw. "jedynki trygonometrycznej", podstawiając do wzoru wartość cosinusa:
$$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\
sin^2α+\left(\frac{3}{4}\right)^2=1 \           ,\
sin^2α+\frac{9}{16}=1 \           ,\
sin^2α=\frac{7}{16} \           ,\
sinα=\sqrt{\frac{7}{16}} \quad\lor\quad sinα=-\sqrt{\frac{7}{16}} \           ,\
sinα=\frac{\sqrt{7}}{4} \quad\lor\quad sinα=-\frac{\sqrt{7}}{4}$$

Z racji tego iż kąt \(α\) jest ostry, to sinus musi przyjąć wartość dodatnią, stąd też prawidłowa jest odpowiedź \(sinα=\frac{\sqrt{7}}{4}\).