Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Dodawanie i odejmowanie pisemne (klasa 4 SP)
Jak podpisujemy liczby
Zapisujemy liczby jedną pod drugą: jedności pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami. Działanie wykonujemy od prawej strony.
Przeniesienie
Gdy suma cyfr w kolumnie jest równa co najmniej $10$, przenosimy jedną dziesiątkę do następnej kolumny w lewo.
Pożyczka
Przy odejmowaniu, gdy cyfra u góry jest za mała, pożyczamy dziesiątkę z sąsiedniej kolumny.
Sprawdzenie
Odejmowanie sprawdzamy dodawaniem: jeśli $a-b=c$, to $c+b=a$.
Pojęcie ułamka zwykłego (klasa 4 SP)
Czym jest ułamek
Ułamek $\frac{a}{b}$ opisuje część całości. Licznik $a$ mówi, ile części bierzemy, a mianownik $b$ — na ile równych części podzielono całość.
Przykład
$\frac{3}{4}$ to trzy z czterech równych części — tort pokrojony na $4$ kawałki, z których bierzemy $3$.
Mianownik
Mianownik nie może być zerem. Im większy mianownik, tym drobniejsze części.
Cała całość
Ułamek $\frac{b}{b}=1$, na przykład $\frac{4}{4}$ to jedna cała.
Zapis ułamka dziesiętnego (klasa 4 SP)
Co to jest ułamek dziesiętny
Ułamek dziesiętny zapisujemy z przecinkiem, np. $0{,}7$ lub $3{,}25$. Cyfry po przecinku oznaczają części dziesiąte, setne, tysięczne.
Związek z ułamkiem zwykłym
$$0{,}7=\frac{7}{10},\qquad 0{,}25=\frac{25}{100}$$
Pozycje po przecinku
Pierwsza cyfra po przecinku to części dziesiąte, druga — setne. W liczbie $3{,}25$ są $2$ dziesiąte i $5$ setnych.
Zastosowanie
Ułamki dziesiętne spotykamy w cenach i pomiarach, np. $2{,}50$ zł.
Porównywanie ułamków zwykłych (klasa 4 SP)
Ten sam mianownik
Gdy mianowniki są równe, większy jest ułamek o większym liczniku: $\frac{3}{5}>\frac{2}{5}$.
Ten sam licznik
Gdy liczniki są równe, większy jest ułamek o mniejszym mianowniku, bo części są większe: $\frac{1}{3}>\frac{1}{4}$.
Różne mianowniki
Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, a potem porównujemy liczniki.
Odniesienie do całości
$\frac{b}{b}=1$. Ułamek mniejszy od $1$ ma licznik mniejszy od mianownika.
Punkt, prosta, półprosta i odcinek (klasa 4 SP)
Punkt i prosta
Punkt oznaczamy wielką literą, np. $A$. Prosta jest nieograniczona w obie strony i nie ma końców.
Półprosta
Półprosta ma początek (jeden koniec) i biegnie nieskończenie w jedną stronę.
Odcinek
Odcinek $AB$ ma dwa końce i określoną długość, którą można zmierzyć linijką.
Wzajemne położenie prostych
Dwie proste mogą być równoległe (nie przecinają się) albo przecinać się w jednym punkcie.
Prostokąt i kwadrat (klasa 4 SP)
Prostokąt
Prostokąt ma cztery kąty proste. Przeciwległe boki są równe i równoległe.
Kwadrat
Kwadrat to prostokąt, którego wszystkie boki są równe — ma $4$ równe boki i $4$ kąty proste.
Obwód
Obwód prostokąta o bokach $a$ i $b$: $2\cdot(a+b)$. Obwód kwadratu o boku $a$: $4\cdot a$.
Pole
Pole prostokąta: $P=a\cdot b$. Pole kwadratu: $P=a\cdot a=a^2$.
Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych (klasa 4 SP)
Zasada
Ułamki dziesiętne dodajemy i odejmujemy pisemnie, podpisując przecinek pod przecinkiem. Wtedy jedności stoją pod jednościami, a części dziesiąte pod dziesiątymi.
Wyrównanie miejsc
Gdy liczby mają różną liczbę cyfr po przecinku, dopisujemy zera na końcu, np. $3{,}5=3{,}50$.
Przykład
$$3{,}50+1{,}25=4{,}75$$
Na co uważać
Przecinek w wyniku stawiamy dokładnie pod przecinkami składników.
Koło i okrąg (klasa 4 SP)
Okrąg
Okrąg to linia zamknięta — zbiór punktów jednakowo odległych od środka. Ta odległość to promień $r$.
Koło
Koło to okrąg wraz z jego wnętrzem. Brzegiem koła jest okrąg.
Promień i średnica
Promień $r$ łączy środek z okręgiem, a średnica $d$ przechodzi przez środek. Zachodzi $d=2r$.
Cięciwa
Cięciwa to odcinek łączący dwa punkty okręgu; najdłuższą cięciwą jest średnica.
Mierzenie kątów (klasa 4 SP)
Miara kąta
Kąty mierzymy w stopniach. Pełny obrót to $360^\circ$, kąt półpełny $180^\circ$, a kąt prosty $90^\circ$.
Kątomierz
Do mierzenia używamy kątomierza: środek przykładamy do wierzchołka kąta, a podstawę do jednego z ramion.
Rodzaje kątów
Kąt ostry ma mniej niż $90^\circ$, prosty równo $90^\circ$, a rozwarty od $90^\circ$ do $180^\circ$.
Przykład
Kąt $45^\circ$ to połowa kąta prostego.
Porównywanie ułamków dziesiętnych (klasa 4 SP)
Jak porównywać
Porównujemy cyfry na tych samych miejscach, zaczynając od najważniejszego: części całkowite, potem dziesiąte, setne.
Wyrównanie
Możemy dopisać zera, aby ułamki miały tyle samo cyfr po przecinku: $0{,}5$ i $0{,}50$ to ta sama liczba.
Przykład
$$0{,}7>0{,}65$$ bo wśród części dziesiątych $7>6$.
Uwaga
Więcej cyfr po przecinku nie oznacza większej liczby: $0{,}5>0{,}45$.
Potęgowanie liczb naturalnych (klasa 4 SP)
Czym jest potęga
Potęga to skrócony zapis mnożenia jednakowych czynników: $a^n=a\cdot a\cdot\ldots\cdot a$ ($n$ czynników).
Nazwy
W zapisie $a^n$ liczba $a$ to podstawa, a $n$ to wykładnik. $a^2$ czytamy „a do kwadratu", $a^3$ „a do sześcianu".
Przykłady
$$2^3=2\cdot2\cdot2=8,\qquad 5^2=25$$
Przypadki szczególne
Każda liczba do potęgi pierwszej równa się sobie: $a^1=a$.
Zamiana jednostek długości i masy (klasa 4 SP)
Jednostki długości
$1\,\text{cm}=10\,\text{mm}$, $1\,\text{m}=100\,\text{cm}$, $1\,\text{km}=1000\,\text{m}$.
Jednostki masy
$1\,\text{dag}=10\,\text{g}$, $1\,\text{kg}=1000\,\text{g}$, $1\,\text{t}=1000\,\text{kg}$.
Jak zamieniać
Na jednostki mniejsze mnożymy, a na większe dzielimy. Np. $3\,\text{m}=300\,\text{cm}$.
Przykłady
$2\,\text{kg}=2000\,\text{g}$, a $500\,\text{cm}=5\,\text{m}$.
Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach (klasa 5 SP)
Wspólny mianownik
Aby dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, sprowadzamy je najpierw do wspólnego mianownika.
Rozszerzanie
Rozszerzamy ułamki tak, by miały ten sam mianownik, np. $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$ oraz $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$.
Przykład
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$$
Skracanie wyniku
Otrzymany ułamek w razie potrzeby skracamy do postaci nieskracalnej.
Dzielenie ułamków zwykłych (klasa 5 SP)
Reguła
Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność.
Odwrotność
Odwrotność ułamka $\frac{a}{b}$ to $\frac{b}{a}$ — zamieniamy licznik z mianownikiem.
Przykład
$$\frac{2}{3}:\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$$
Na co uważać
Odwracamy tylko dzielnik (drugi ułamek), a nie dzielną.
Kolejność wykonywania działań z potęgami (klasa 5 SP)
Kolejność działań
Najpierw nawiasy, potem potęgi, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie.
Przykład
$$2+3\cdot2^2=2+3\cdot4=2+12=14$$
Nawiasy
Nawiasy zmieniają kolejność: $(2+3)^2=5^2=25$.
Na co uważać
Potęgę obliczamy przed mnożeniem: w $3\cdot2^2$ najpierw $2^2=4$.
Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych (klasa 5 SP)
Reguła znaków
Iloczyn i iloraz liczb o tych samych znakach są dodatnie, a o różnych znakach — ujemne.
Przykłady mnożenia
$$(-3)\cdot(-4)=12,\qquad (-3)\cdot4=-12$$
Przykłady dzielenia
$$(-12):(-3)=4,\qquad 12:(-3)=-4$$
Zero
Iloczyn z zerem jest zerem, a przez zero nie dzielimy.
Działania łączne na ułamkach dziesiętnych (klasa 5 SP)
Kolejność działań
Stosujemy tę samą kolejność co dla liczb naturalnych: nawiasy, potęgi, mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.
Przykład
$$2{,}5+0{,}5\cdot4=2{,}5+2=4{,}5$$
Nawiasy
Działania w nawiasach wykonujemy najpierw: $(1{,}2+0{,}8)\cdot3=2\cdot3=6$.
Na co uważać
Pilnuj przecinka i kolejności — mnożenie wykonujemy przed dodawaniem.
Działania łączne na ułamkach zwykłych (klasa 5 SP)
Kolejność działań
Nawiasy, potem mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie — także dla ułamków zwykłych.
Wspólny mianownik
Do dodawania i odejmowania sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.
Przykład
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$
Skracanie
Wynik przedstawiamy w postaci nieskracalnej.
Działania pisemne — powtórzenie (klasa 5 SP)
Cztery działania
Pisemnie wykonujemy dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, podpisując liczby zgodnie z pozycjami cyfr.
Mnożenie pisemne
Mnożymy przez kolejne cyfry drugiego czynnika i sumujemy odpowiednio przesunięte wyniki częściowe.
Dzielenie pisemne
Dzielimy od najwyższego rzędu, zapisując kolejne cyfry ilorazu oraz reszty.
Sprawdzenie
Dzielenie sprawdzamy mnożeniem: iloraz razy dzielnik plus reszta daje dzielną.
Dzielenie ułamków dziesiętnych (klasa 5 SP)
Reguła
Aby podzielić przez ułamek dziesiętny, przesuwamy przecinek w dzielniku tak, by stał się liczbą całkowitą, i o tyle samo miejsc w dzielnej.
Przykład
$$4{,}5:0{,}5=45:5=9$$
Dzielenie przez 10, 100
Dzieląc przez $10$, przesuwamy przecinek o jedno miejsce w lewo: $3{,}5:10=0{,}35$.
Na co uważać
Przecinek przesuwamy o tyle samo miejsc w obu liczbach.
Mnożenie ułamków dziesiętnych (klasa 5 SP)
Reguła
Mnożymy jak liczby naturalne (pomijając przecinki), a w wyniku odliczamy tyle miejsc po przecinku, ile mają łącznie oba czynniki.
Przykład
$$0{,}3\cdot0{,}2=0{,}06$$ — razem dwa miejsca po przecinku.
Mnożenie przez 10, 100
Mnożąc przez $10$, przesuwamy przecinek o jedno miejsce w prawo: $2{,}5\cdot10=25$.
Na co uważać
Policz miejsca po przecinku w obu czynnikach i tyle odlicz w wyniku.
Potęgi liczb naturalnych (klasa 5 SP)
Zapis potęgi
$a^n$ to iloczyn $n$ jednakowych czynników $a$. Liczbę $a$ nazywamy podstawą, a $n$ wykładnikiem.
Przykłady
$$3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81,\qquad 10^3=1000$$
Potęgi dziesiątki
$10^n$ to jedynka z $n$ zerami: $10^2=100$, $10^4=10000$.
Kwadrat i sześcian
$a^2$ nazywamy kwadratem, a $a^3$ sześcianem liczby.
Szacowanie wyników działań (klasa 5 SP)
Po co szacujemy
Szacowanie daje przybliżony wynik, którym sprawdzamy sensowność dokładnych obliczeń.
Zaokrąglanie składników
Zaokrąglamy liczby do wygodnych wartości, np. $198+403\approx200+400=600$.
Przykład
$$49\cdot21\approx50\cdot20=1000$$
Zastosowanie
Gdy dokładny wynik mocno różni się od oszacowania, warto sprawdzić rachunki.
Ułamek liczby (klasa 5 SP)
Co to znaczy
Ułamek liczby to jej część. Aby obliczyć $\frac{a}{b}$ z liczby, dzielimy ją przez $b$ i mnożymy przez $a$.
Przykład
$$\frac{2}{3}\ \text{z}\ 12 = 12:3\cdot2 = 8$$
Ułamek jako mnożenie
Obliczenie ułamka liczby to mnożenie: $\frac{2}{3}\cdot12=8$.
Zastosowanie
Tak liczymy część kwoty, długości czy liczby przedmiotów.
Strona 6 z 9 · 212 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.