Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Potęga potęgi (klasa 7 SP)
Reguła
$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$ — podstawa pozostaje bez zmian, a wykładniki mnożymy.
Przykład
$(2^3)^2=2^6=64$.
Powiązane wzory
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ oraz $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.
Na co uważać
Nie myl mnożenia wykładników (potęga potęgi) z ich dodawaniem (iloczyn potęg).
Redukcja wyrazów podobnych (klasa 7 SP)
Wyrazy podobne
Wyrazy podobne mają tę samą część literową, np. $2x$ i $5x$.
Redukcja
Dodajemy współczynniki wyrazów podobnych, a część literową zostawiamy: $2x+5x=7x$.
Przykład
$3a+2b-a+4b=2a+6b$.
Na co uważać
Wyrazów o różnej części literowej ($x$ i $x^2$) nie łączymy.
Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias (klasa 7 SP)
Reguła
$ab+ac=a(b+c)$ — wspólny czynnik wynosimy przed nawias.
Przykłady
$6x+9=3(2x+3)$, a $2x^2+4x=2x(x+2)$.
Zastosowanie
Upraszcza wyrażenia i pomaga rozwiązywać równania.
Sprawdzenie
Wymnażamy nawias z powrotem, aby potwierdzić poprawność rozkładu.
Równania równoważne (klasa 7 SP)
Co to znaczy
Dwa równania są równoważne, gdy mają dokładnie ten sam zbiór rozwiązań.
Przekształcenia
Równanie pozostaje równoważne, gdy do obu stron dodamy tę samą liczbę lub obie strony pomnożymy przez tę samą liczbę różną od zera.
Przykład
$x+3=7$ jest równoważne równaniu $x=4$.
Na co uważać
Pomnożenie obu stron przez zero niszczy równoważność.
Równania sprzeczne i tożsamościowe (klasa 7 SP)
Równanie sprzeczne
Nie ma rozwiązań, bo prowadzi do fałszywej równości, np. $0\cdot x=5$.
Równanie tożsamościowe
Spełnia je każda liczba, bo sprowadza się do prawdziwej równości, np. $0\cdot x=0$ lub $2x=2x$.
Przykład
$x+1=x+2$ jest sprzeczne — po redukcji otrzymujemy fałsz $1=2$.
Jak rozpoznać
Po redukcji: fałszywa równość oznacza równanie sprzeczne, prawdziwa — tożsamościowe.
Zadania tekstowe prowadzące do równań (klasa 7 SP)
Metoda
Szukaną wielkość oznaczamy literą, zapisujemy warunki zadania równaniem, rozwiązujemy je i sprawdzamy wynik.
Przykład
„Liczba powiększona o swoją połowę daje $9$": $x+\frac{1}{2}x=9$, czyli $\frac{3}{2}x=9$, więc $x=6$.
Kroki
1. Wprowadź niewiadomą. 2. Ułóż równanie z treści. 3. Rozwiąż. 4. Sprawdź i zapisz odpowiedź.
Na co uważać
Odpowiedź musi mieć sens — liczba osób czy przedmiotów jest liczbą naturalną.
Średnia arytmetyczna (klasa 7 SP)
Definicja
Średnia arytmetyczna to suma liczb podzielona przez ich liczbę: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$.
Przykład
Średnia liczb $2,4,6$ to $\frac{2+4+6}{3}=4$.
Suma ze średniej
Jeśli średnia $n$ liczb wynosi $\bar{x}$, to ich suma równa się $n\cdot\bar{x}$.
Zastosowanie
Średnią liczymy np. dla ocen, temperatur czy wyników pomiarów.
Odczytywanie danych statystycznych (klasa 7 SP)
Źródła danych
Dane odczytujemy z tabel oraz diagramów słupkowych, kołowych i wykresów liniowych.
Diagram kołowy
Cały okrąg odpowiada $100\%$ (czyli $360^\circ$); część danych to odpowiedni wycinek.
Przykład
Jeśli jeden słupek pokazuje $12$, a drugi $8$, to łącznie mamy $20$.
Na co uważać
Zwracaj uwagę na jednostki i skalę osi — może zaczynać się od wartości innej niż zero.
Czworokąty i ich własności (klasa 7 SP)
Podział
Do czworokątów należą m.in. kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i trapez. Każdy ma cztery boki i cztery kąty.
Suma kątów
Suma miar kątów wewnętrznych każdego czworokąta wynosi $360^\circ$.
Własności
W równoległoboku przeciwległe boki są równe i równoległe, a przekątne dzielą się na połowy. W prostokącie przekątne mają równą długość.
Trapez
Trapez ma dokładnie jedną parę boków równoległych, zwanych podstawami.
Diagramy i wykresy (klasa 7 SP)
Rodzaje
Dane przedstawiamy na diagramach słupkowych, kołowych oraz wykresach liniowych.
Diagram słupkowy
Wysokość słupka odpowiada wartości — ułatwia porównywanie kategorii.
Diagram kołowy
Cały okrąg to $100\%$ (czyli $360^\circ$); wielkość wycinka odpowiada udziałowi danej części.
Wykres liniowy
Najlepiej pokazuje zmiany wielkości w czasie.
Pola figur płaskich (klasa 7 SP)
Prostokąt i kwadrat
Pole prostokąta o bokach $a$ i $b$: $a\cdot b$. Pole kwadratu o boku $a$: $a^2$.
Trójkąt
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$ gdzie $a$ to podstawa, a $h$ wysokość.
Równoległobok i romb
Pole równoległoboku: $a\cdot h$. Pole rombu: $\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2$.
Trapez
$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$ gdzie $a,b$ to podstawy.
Trójkąty — rodzaje i własności (klasa 7 SP)
Podział ze względu na boki
Równoboczny (trzy równe boki), równoramienny (dwa równe boki) i różnoboczny.
Podział ze względu na kąty
Ostrokątny, prostokątny (jeden kąt $90^\circ$) i rozwartokątny.
Suma kątów
Kąty wewnętrzne trójkąta sumują się do $180^\circ$.
Pole
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$
Zastosowania twierdzenia Pitagorasa (klasa 7 SP)
Twierdzenie
W trójkącie prostokątnym $a^2+b^2=c^2$, gdzie $c$ to przeciwprostokątna.
Wyznaczanie boku
Znając dwa boki, obliczamy trzeci: $c=\sqrt{a^2+b^2}$ albo $a=\sqrt{c^2-b^2}$.
Przykład
Dla $a=6$ i $b=8$: $c=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.
Zastosowania
Przekątna prostokąta, wysokość, odległości — wszędzie, gdzie pojawia się kąt prosty.
Liczby wymierne (klasa 8 SP)
Definicja
Liczba wymierna to liczba, którą można zapisać jako ułamek $\frac{p}{q}$ liczb całkowitych, gdzie $q\neq0$.
Przykłady
$\frac{1}{2}$, $-3$, $0{,}25$ oraz $\frac{7}{3}$ — wszystkie są wymierne.
Rozwinięcie dziesiętne
Liczby wymierne mają rozwinięcie skończone lub nieskończone okresowe.
Działania
Działania wykonujemy jak na ułamkach, pamiętając o regule znaków.
Liczby na osi liczbowej (klasa 8 SP)
Oś liczbowa
To prosta z punktem $0$, jednostką i zwrotem. Liczby dodatnie leżą na prawo, a ujemne na lewo od zera.
Porównywanie
Liczba położona bardziej na prawo jest większa: $-2\lt 1$ oraz $-5\lt -3$.
Wartość bezwzględna
$|a|$ to odległość liczby $a$ od zera, np. $|-4|=4$.
Liczby przeciwne
Liczby przeciwne, np. $3$ i $-3$, leżą symetrycznie względem zera.
Cechy przystawania trójkątów (klasa 8 SP)
Przystawanie
Trójkąty przystające mają równe odpowiednie boki i kąty — są identyczne co do kształtu i wielkości.
Trzy cechy
bok-bok-bok (bbb), bok-kąt-bok (bkb), kąt-bok-kąt (kbk).
Zastosowanie
Wystarczy sprawdzić jeden z trzech zestawów danych, aby wykazać przystawanie w dowodzie.
Oznaczenie
Przystawanie zapisujemy symbolem $\cong$.
Nierówność trójkąta (klasa 8 SP)
Zasada
W każdym trójkącie suma długości dwóch boków jest większa od trzeciego boku.
Zapis
Dla boków $a,b,c$ zachodzi $a+b>c$, $a+c>b$ oraz $b+c>a$.
Kiedy trójkąt istnieje
Trójkąt o danych bokach istnieje tylko wtedy, gdy każdy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych.
Przykład
Z odcinków $2,3,10$ nie zbudujemy trójkąta, bo $2+3\lt 10$.
Figury przystające (klasa 8 SP)
Co to znaczy
Figury przystające mają ten sam kształt i te same wymiary — można je nałożyć na siebie tak, by się pokryły.
Własności
Odpowiednie boki i kąty figur przystających są równe.
Przystawanie a podobieństwo
Przystawanie to szczególny przypadek podobieństwa — w skali $1$.
Przykład
Dwa kwadraty o boku $5$ są przystające.
Bryły — rodzaje i elementy (klasa 8 SP)
Rodzaje brył
Wyróżniamy graniastosłupy, ostrosłupy oraz bryły obrotowe (walec, stożek, kula).
Elementy
Bryły mają ściany, krawędzie i wierzchołki. Sześcian ma $6$ ścian, $12$ krawędzi i $8$ wierzchołków.
Objętość i pole
Objętość mierzymy w jednostkach sześciennych (np. $cm^3$), a pole powierzchni w kwadratowych (np. $cm^2$).
Siatka
Siatka to płaska figura, z której po zagięciu powstaje bryła.
Graniastosłupy — własności (klasa 8 SP)
Budowa
Graniastosłup ma dwie przystające podstawy połączone ścianami bocznymi. W graniastosłupie prostym ściany boczne to prostokąty.
Rodzaje
Prawidłowy — podstawą jest wielokąt foremny; prostopadłościan i sześcian to szczególne przypadki.
Objętość
$V=P_p\cdot H$, gdzie $P_p$ to pole podstawy, a $H$ wysokość.
Pole powierzchni
$P_c=2P_p+P_b$, gdzie $P_b$ to pole powierzchni bocznej.
Ostrosłupy — własności (klasa 8 SP)
Budowa
Ostrosłup ma jedną podstawę i wierzchołek. Ściany boczne to trójkąty.
Rodzaje
Prawidłowy — podstawą jest wielokąt foremny; czworościan to ostrosłup trójkątny.
Objętość
$V=\frac{1}{3}P_p\cdot H$ — trzy razy mniejsza niż graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości.
Pole powierzchni
$P_c=P_p+P_b$.
Objętość graniastosłupa — obliczenia (klasa 8 SP)
Wzór
$V=P_p\cdot H$ — pole podstawy razy wysokość.
Sześcian i prostopadłościan
Sześcian: $V=a^3$. Prostopadłościan: $V=a\cdot b\cdot c$.
Przykład
Prostopadłościan $2\times3\times4$ ma objętość $24$.
Jednostki
Objętość podajemy w $cm^3$, $dm^3$, $m^3$; $1\,dm^3=1$ litr.
Pole koła — obliczenia (klasa 8 SP)
Wzór
$P=\pi r^2$, gdzie $r$ to promień koła.
Ze średnicy
Jeśli dana jest średnica $d$, to $r=\frac{d}{2}$.
Przykład
Dla $r=5$ pole wynosi $25\pi$.
Liczba pi
$\pi$ to liczba niewymierna, w przybliżeniu $\pi\approx3{,}14$.
Pierwiastek kwadratowy i sześcienny (klasa 8 SP)
Pierwiastek kwadratowy
$\sqrt{a}=b$ oznacza $b^2=a$ dla $a\ge0$ oraz $b\ge0$.
Pierwiastek sześcienny
$\sqrt[3]{a}=b$ oznacza $b^3=a$; istnieje także dla liczb ujemnych.
Własności
$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ oraz $\sqrt{a^2}=|a|$.
Przykłady
$\sqrt{49}=7$, $\sqrt[3]{27}=3$, $\sqrt[3]{-8}=-2$.
Strona 8 z 9 · 212 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.