Polityka prywatności
§ 1. Postanowienia ogólne i rola DPA
Polityka opisuje zasady przetwarzania danych osobowych w serwisie LekcjeRazem.pl.
Należy rozróżnić dwie sytuacje przetwarzania danych:
- Dane Użytkownika (Ciebie): Gdy zakładasz konto lub korzystasz z Serwisu, my jesteśmy Administratorem Twoich danych. Zasady te opisuje niniejsza Polityka Prywatności.
- Dane uczniów (wprowadzane przez Ciebie): Jeśli jesteś Nauczycielem i wprowadzasz dane osób trzecich (uczniów), działasz jako ich Administrator. My przetwarzamy te dane wyłącznie w Twoim imieniu. Zasady tego powierzenia reguluje Umowa Powierzenia Przetwarzania Danych (DPA), stanowiąca integralną część Regulaminu.
Przetwarzamy dane zgodnie z RODO oraz właściwymi przepisami prawa krajowego.
↑ Wróć na górę§ 2. Administrator danych i kontakt
Administrator: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów.
Kontakt w sprawach prywatności: tel. +48 455 405 228, e-mail: firma@amkbit.pl.
W sprawach ochrony danych możesz kontaktować się ww. kanałami. Odpowiemy bez zbędnej zwłoki.
↑ Wróć na górę§ 3. Zakres przetwarzanych danych
- Dane konta (jeśli zakładasz Konto): imię, nazwisko (lub nick), adres e-mail, hasło (zahashowane), opcjonalnie telefon/awatar.
- Dane powierzone (uczniów): przetwarzane wyłącznie w celu realizacji usługi zgodnie z DPA zawartym w Regulaminie (nie są wykorzystywane do celów własnych Administratora).
- Dane sesji tablicy: ID pokoju/sesji, rola (właściciel/uczestnik), pseudonim, czas rozpoczęcia i zakończenia, zaproszenia, ustawienia.
- Treści tworzone na tablicy: pociągnięcia pióra, kształty, wklejone obrazy/plik(i), adnotacje, załączniki, historia zmian; czat tekstowy związany z sesją.
- Audio/Wideo (jeśli używasz): strumienie z kamery/mikrofonu przesyłane w czasie rzeczywistym (WebRTC). Nie utrwalamy ich, chyba że wyraźnie włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę lub wymaga tego funkcja.
- Dane techniczne i logi: adres IP, znacznik czasu, identyfikatory sesji/urządzenia, typ i wersja przeglądarki, system operacyjny, ustawienia języka, parametry wydajnościowe, zdarzenia błędów.
- Kontakt i wsparcie: treść zapytań, e-maile, zrzuty ekranu przesłane do pomocy technicznej.
- Rozliczenia (wyłącznie gdy korzystasz z płatnych funkcji): dane płatności przekazywane operatorowi płatności, identyfikatory transakcji, faktury (zakres zgodny z przepisami podatkowymi).
§ 4. Cele i podstawy prawne
- Świadczenie usług serwisu i tablicy (utworzenie/obsługa konta, prowadzenie sesji, udostępnienie funkcji, wsparcie) — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Bezpieczeństwo i nadużycia (zapewnienie integralności usług, wykrywanie nieprawidłowości, ochrona przed spamem i atakami) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Analityka i rozwój (statystyki użycia, poprawa wydajności i UX, diagnostyka błędów) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Komunikacja (odpowiedzi na zgłoszenia, powiadomienia o zmianach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Rozliczenia i księgowość (gdy używasz funkcji płatnych) — art. 6 ust. 1 lit. c RODO.
- Marketing własny (np. informacje o nowych funkcjach) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO; gdy wymagane, na podstawie art. 6 ust. 1 lit. a RODO (zgoda).
- Zgody (np. na nagrywanie sesji A/V, cookies marketingowe) — art. 6 ust. 1 lit. a RODO; zgoda może być cofnięta w każdym czasie.
- Roszczenia i obrona praw — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
§ 5. Cookies i podobne technologie
- Niezbędne — działanie i bezpieczeństwo serwisu (sesja, autoryzacja, preferencje). Bez nich korzystanie z kluczowych funkcji może być niemożliwe.
- Funkcjonalne — zapamiętywanie ustawień (np. kamera/mikrofon, układ tablicy).
- Statystyczne/wydajnościowe — anonimowe metryki użycia i diagnostyka.
- Marketingowe/personalizacyjne — wyłącznie za Twoją zgodą.
Możesz zarządzać zgodami w banerze cookies i ustawieniach przeglądarki. Szczegóły zawiera Polityka cookies.
↑ Wróć na górę§ 6. Odbiorcy danych i transfery
Możemy powierzać dane podmiotom przetwarzającym je w naszym imieniu: dostawcom hostingu i chmury, usług czasu rzeczywistego (np. infrastruktura WebRTC, STUN/TURN), systemom analitycznym, wsparciu IT, dostawcom komunikacji e-mail/push, operatorom płatności (dla funkcji płatnych). Takie podmioty przetwarzają dane na podstawie umów powierzenia i zgodnie z naszymi instrukcjami.
W przypadku przekazywania danych poza EOG stosujemy odpowiednie zabezpieczenia, takie jak standardowe klauzule umowne (SCC). Informacje o stosowanych zabezpieczeniach udostępnimy na żądanie.
↑ Wróć na górę§ 7. Okres przechowywania danych
- Konto i podstawowe dane: przez czas trwania umowy (posiadania konta) — do usunięcia konta lub skutecznego sprzeciwu, jeśli ma zastosowanie.
- Treści z tablicy i czat: przez czas utrzymania pokoju/sesji przez jego właściciela lub do ręcznego usunięcia; kopie zapasowe — przez okres niezbędny do zapewnienia ciągłości działania.
- Logi techniczne i bezpieczeństwa: przez okres niezbędny do bezpieczeństwa i dochodzenia roszczeń, zgodnie z uzasadnionym interesem.
- Rozliczenia/księgowość: przez czas wymagany przepisami prawa.
§ 8. Prawa osób, których dane dotyczą
- Dostęp do danych i uzyskanie kopii, w tym informacji o przetwarzaniu.
- Sprostowanie lub uzupełnienie danych.
- Usunięcie danych („prawo do bycia zapomnianym") w przypadkach przewidzianych prawem.
- Ograniczenie przetwarzania w przypadkach z art. 18 RODO.
- Przenoszenie danych (gdy podstawą jest umowa lub zgoda i przetwarzanie jest zautomatyzowane).
- Sprzeciw wobec przetwarzania opartego na uzasadnionym interesie (w tym wobec marketingu bezpośredniego — w dowolnym momencie).
- Cofnięcie zgody w każdym czasie (bez wpływu na zgodność z prawem przetwarzania sprzed cofnięcia).
- Skarga do organu nadzorczego: Prezes UODO (uodo.gov.pl).
Realizację praw ułatwiamy także w ustawieniach konta (jeśli dostępne) lub poprzez kontakt wskazany w § 13.
↑ Wróć na górę§ 9. Bezpieczeństwo informacji
- Stosujemy środki techniczne i organizacyjne odpowiednie do ryzyka (m.in. szyfrowanie transmisji, kontrola dostępu, logowanie zdarzeń, kopie zapasowe).
- Dbaj o bezpieczeństwo po swojej stronie: silne hasło, wylogowanie po sesji, aktualne oprogramowanie, ostrożność na współdzielonych urządzeniach.
- Incydenty bezpieczeństwa zgłaszaj kanałami kontaktu wskazanymi w Serwisie.
§ 10. Wideopołączenia i treści z tablicy
- Transmisja A/V: połączenia audio/wideo realizujemy w oparciu o technologię czasu rzeczywistego (np. WebRTC). Strumienie są przetwarzane ulotnie i co do zasady nie są utrwalane przez nas, chyba że włączysz nagrywanie i wyrazisz zgodę.
- Nagrywanie: jeśli funkcja jest dostępna i włączona, poinformujemy uczestników o nagraniu. Podstawą przetwarzania jest zgoda lub inna właściwa podstawa prawna.
- Udostępnione pliki i rysunki: treści na tablicy widzą uprawnieni uczestnicy pokoju. Możesz je usuwać lub eksportować, o ile pozwalają na to funkcje serwisu.
§ 11. Zautomatyzowane decyzje i profilowanie
Możemy stosować ograniczone profilowanie (np. segmentację według sposobu korzystania), aby dopasować komunikaty o nowych funkcjach lub usprawnić onboarding. Profilowanie nie wywołuje skutków prawnych ani w podobny sposób istotnie Cię nie dotyka. Możesz wnieść sprzeciw wobec marketingu bezpośredniego lub wycofać zgodę, jeśli jest podstawą przetwarzania.
↑ Wróć na górę§ 12. Zmiany Polityki
- Treść Polityki może ulegać zmianom z ważnych przyczyn (m.in. zmiany prawa, bezpieczeństwo, rozwój serwisu).
- O zmianach poinformujemy z wyprzedzeniem, nie później niż 7 dni przed wejściem w życie, poprzez publikację nowej wersji w Serwisie (a w razie potrzeby także komunikatem e-mail).
§ 13. Kontakt
AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl)ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330 · REGON: 021 344 565
tel.: +48 455 405 228
e-mail: firma@amkbit.pl ↑ Wróć na górę
§ 14. Integracja z Facebook / Messenger
Sekcja dotyczy Nauczycieli (korepetytorów), którzy w panelu LekcjeRazem łączą swoją stronę Facebook (fanpage) z naszym Serwisem w celu odbierania wiadomości od uczniów przez Messenger.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Meta Platforms Ireland Ltd. — administrator pierwotny danych użytkowników Facebook/Messenger (w zakresie kont, profili, wiadomości na platformie Meta).
- Nauczyciel — administrator danych swoich uczniów w zakresie korespondencji prowadzonej przez Messengera w jego panelu w LekcjeRazem.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor (podmiot przetwarzający) działający na zlecenie Nauczyciela. Powierzenie reguluje DPA będące częścią Regulaminu.
2. Zakres pobieranych danych z Messengera
W ramach integracji pobieramy z API Facebooka / Messengera następujące dane uczniów piszących do strony Nauczyciela:
- Identyfikator PSID (Page-Scoped ID) — unikalny numer w obrębie strony Nauczyciela, nie pozwala na identyfikację profilu poza Messengerem.
- Imię i nazwisko oraz zdjęcie profilowe — o ile uczeń ma je publiczne lub udostępnione stronie.
- Treść wiadomości tekstowych wysłanych do strony Nauczyciela.
- Załączniki (zdjęcia, pliki, naklejki, GIF-y, lokalizacja, wiadomości głosowe) wysyłane do strony.
- Metadane wiadomości: znacznik czasu, kierunek (od ucznia / od Nauczyciela), status doręczenia i odczytu, identyfikator wątku rozmowy.
- Reakcje i postbacks (kliknięcia w przyciski w wiadomościach), jeśli wystąpią.
Nie pobieramy danych ucznia spoza wątku rozmowy z Nauczycielem (nie czytamy listy znajomych, postów, prywatnych konwersacji z innymi osobami itp.).
3. Cele i podstawy prawne
- Umożliwienie prowadzenia komunikacji edukacyjnej (uczeń ↔ Nauczyciel) w panelu LekcjeRazem — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (wykonanie umowy z Nauczycielem) oraz art. 6 ust. 1 lit. f RODO (uzasadniony interes ucznia w kontakcie z korepetytorem).
- Archiwizacja historii rozmów i materiałów dydaktycznych (zdjęcia zadań przesyłane przez ucznia) na potrzeby procesu nauczania — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Wyświetlanie zdjęć z Messengera w innych modułach Serwisu (np. na tablicy interaktywnej) jako materiałów do omówienia podczas lekcji — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
- Bezpieczeństwo i zgodność z Platform Terms Mety (weryfikacja podpisu webhooka, logowanie zdarzeń) — art. 6 ust. 1 lit. f RODO.
4. Sposób pobierania danych
Dane trafiają do Serwisu na dwa sposoby:
- Webhook Messenger Platform — Meta wysyła do naszego endpointu (
https://tablica.lekcjerazem.pl/moduly/facebook_messenger/webhook.php) zdarzenia w czasie rzeczywistym, gdy uczeń napisze do strony Nauczyciela. - Graph API Mety — okresowa synchronizacja (cron) pobiera listę rozmów i wiadomości aby uzupełnić ewentualne braki spowodowane czasowymi błędami webhooka.
5. Okres przechowywania
- Wiadomości, załączniki i informacje o uczniu przechowujemy tak długo, jak długo Nauczyciel zachowuje powiązanie strony FB ze swoim kontem w LekcjeRazem.
- Po odłączeniu strony FB przez Nauczyciela lub po usunięciu jego konta — dane zostają usunięte z naszych systemów w ciągu 30 dni (z wyłączeniem kopii zapasowych, których cykl rotacji może być dłuższy).
- Uczeń może w każdej chwili zażądać usunięcia swoich danych — patrz pkt 7 poniżej.
6. Odbiorcy danych
Dane z Messengera nie są udostępniane osobom trzecim poza:
- Meta Platforms — w zakresie wynikającym z obsługi platformy Messenger (komunikacja zwrotna, doręczenie odpowiedzi);
- dostawcami hostingu i infrastruktury, na których pracuje Serwis (w zakresie technicznym niezbędnym do działania);
- Nauczycielem, do którego uczeń pisze (jest naturalnym adresatem wiadomości).
7. Prawa ucznia i sposób usunięcia danych
Uczniowi przysługują wszystkie prawa z § 8 niniejszej Polityki. W szczególności, w celu usunięcia danych zgromadzonych przez integrację Messenger, uczeń może:
- Napisać do swojego Nauczyciela bezpośrednio przez Messengera z prośbą o usunięcie konwersacji — Nauczyciel ma narzędzie do usunięcia rozmowy w panelu.
- Wysłać żądanie usunięcia danych na adres firma@amkbit.pl z podaniem imienia, nazwiska i nazwy strony Nauczyciela, do której pisał. Dane zostaną usunięte w ciągu 30 dni.
- Skorzystać z formularza usunięcia danych Meta: facebook.com/help/contact/507739850846588.
8. Zgodność z politykami Mety
Integracja działa w zgodzie z Meta Platform Terms oraz Facebook Data Processing Terms. Nie wykorzystujemy danych z Messengera do celów marketingowych, sprzedaży, profilowania reklamowego ani odsprzedaży podmiotom trzecim.
↑ Wróć na górę§ 15. Integracja z Google (Drive, Calendar, People)
Sekcja dotyczy Nauczycieli, którzy w panelu LekcjeRazem.pl opcjonalnie łączą swoje konto Google w celu korzystania z funkcji tablicy interaktywnej i synchronizacji kalendarza.
1. Role w przetwarzaniu danych
- Google LLC — administrator danych użytkowników Google (konta, pliki Drive, zdarzenia Calendar).
- Nauczyciel — decyduje o połączeniu konta Google z Serwisem oraz o zakresie udostępnianych danych.
- AMKBIT Grzegorz Klekiel (Serwis LekcjeRazem.pl) — procesor działający na zlecenie Nauczyciela w zakresie danych pobieranych z Google API.
2. Zakres pobieranych danych z konta Google
W ramach integracji, wyłącznie po udzieleniu zgody przez Nauczyciela, Serwis uzyskuje dostęp do:
- Google Drive API (
drive.file) — lista plików i folderów na Dysku Google Nauczyciela, treść wybranych plików (dokumenty, zdjęcia, PDF-y) w celu wyświetlenia ich na tablicy interaktywnej lub wstawienia jako elementu lekcji. Serwis odczytuje i tworzy wyłącznie pliki, do których Nauczyciel wyraźnie przyznał dostęp. - Google Calendar API (
calendar) — zdarzenia z kalendarza Google Nauczyciela (tytuł, data, godzina, opis) w celu dwukierunkowej synchronizacji z harmonogramem zajęć w Serwisie. - Google People API (
userinfo.profile,userinfo.email) — podstawowe dane profilu: imię, nazwisko, adres e-mail, zdjęcie profilowe — wyłącznie w celu identyfikacji konta i wyświetlenia danych w panelu Nauczyciela.
3. Cele i podstawy prawne
- Wyświetlanie plików z Dysku Google na tablicy interaktywnej — art. 6 ust. 1 lit. b RODO (realizacja usługi).
- Synchronizacja harmonogramu zajęć z Google Calendar — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
- Identyfikacja użytkownika poprzez konto Google — art. 6 ust. 1 lit. b RODO.
4. Przechowywanie tokenów OAuth
Po wyrażeniu zgody przez Nauczyciela Serwis przechowuje token dostępu i token odświeżania OAuth 2.0 wyłącznie na serwerze, w zaszyfrowanej bazie danych. Tokeny nie są nigdy udostępniane osobom trzecim i służą jedynie do komunikacji z Google API w imieniu Nauczyciela. Serwis stosuje zasadę minimalnego zakresu danych — dostęp jest ograniczony do zasobów niezbędnych do świadczenia usług opisanych powyżej.
5. Udostępnianie danych podmiotom trzecim
Dane pobrane z konta Google Nauczyciela (pliki, zdarzenia kalendarza, dane profilu) nie są udostępniane żadnym podmiotom trzecim poza dostawcami infrastruktury serwerowej działającymi na podstawie umów powierzenia i zobowiązanymi do zachowania poufności.
6. Cofnięcie dostępu i usunięcie danych
Nauczyciel może w dowolnym momencie cofnąć dostęp Serwisu do swojego konta Google:
- W panelu Serwisu — zakładka „Integracje" → przycisk „Rozłącz konto Google".
- Bezpośrednio w ustawieniach konta Google: myaccount.google.com/permissions → znajdź „LekcjeRazem.pl" i kliknij „Usuń dostęp".
Po cofnięciu dostępu tokeny OAuth są niezwłocznie usuwane z naszych serwerów. Dane wcześniej pobrane z Google (np. nazwy plików wyświetlone na tablicy) mogą być przechowywane do czasu usunięcia konta przez Nauczyciela lub do upływu okresu wskazanego w § 7.
7. Zgodność z zasadami Google API
Korzystanie z Google API odbywa się zgodnie z Google API Services User Data Policy, w tym z zasadą ograniczonego wykorzystania danych. Dane uzyskane z Google API nie są wykorzystywane do celów marketingowych, profilowania reklamowego ani odsprzedaży.
↑ Wróć na góręDefinicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Ciąg arytmetyczny — definicja i własności
- Suma liczb $1+2+3+\ldots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ (Gauss)
- Prognozowanie liniowe (np. cena rośnie o stałą kwotę rocznie)
- Harmonogram spłat stałej kwoty rat kredytu
- Każdy wielomian liniowy generuje ciąg arytmetyczny
- $r = 9 - 5 = 4$, $a_1 = 5$
- $a_{20} = 5 + (20-1)\cdot 4 = 5 + 76 = 81$
- $S_{20} = \dfrac{20(5+81)}{2} = \dfrac{20 \cdot 86}{2} = 860$
Funkcja liniowa — własności i zastosowania
Wykres: linia prosta o nachyleniu $a$ i przecięciu z $OY$ w punkcie $(0, b)$.
Własności: dziedzina $\mathbb{R}$, zbiór wartości $\mathbb{R}$, różnowartościowa, ciągła.
- $a > 0$: rosnąca na całej dziedzinie
- $a < 0$: malejąca na całej dziedzinie
Kąt nachylenia prostej: $\tan\alpha = a$ (dla $a > 0$: kąt ostry; $a < 0$: rozwarty).
- MZ: $-2x+6=0 \Rightarrow x=3$, punkt $(3,0)$
- Przecięcie z $OY$: $(0,6)$
- $f(4) = -2\cdot4+6 = -2$, punkt $(4,-2)$
- Funkcja malejąca ($a=-2 < 0$)
Funkcje cyklometryczne — arcsin, arccos, arctg, arccotg
- $\arcsin x$: dziedzina $[-1,1]$, wartości $\left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$; $\arcsin x = \alpha \Leftrightarrow \sin\alpha = x$
- $\arccos x$: dziedzina $[-1,1]$, wartości $[0, \pi]$; $\arccos x = \alpha \Leftrightarrow \cos\alpha = x$
- $\text{arctg}\, x$: dziedzina $\mathbb{R}$, wartości $\left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)$; $\text{arctg}\, x = \alpha \Leftrightarrow \text{tg}\,\alpha = x$
- $\text{arccotg}\, x$: dziedzina $\mathbb{R}$, wartości $(0, \pi)$
- $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$ dla $x \in [-1,1]$
- $\text{arctg}\, x + \text{arccotg}\, x = \dfrac{\pi}{2}$ dla $x \in \mathbb{R}$
- $\arcsin(-x) = -\arcsin x$ (nieparzysta); $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$
- $\arcsin\!\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \tfrac{\pi}{4} = 45°$
- $\arccos(-1) = \pi = 180°$
- $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \tfrac{\pi}{3} = 60°$
- Równanie: $\sin x = 0{,}6 \Rightarrow x = \arcsin(0{,}6) \approx 36{,}87°$ (plus okresy)
Pochodna — pojęcie i interpretacja
- $(c)'= 0$ (stała)
- $(x^n)' = nx^{n-1}$
- $(\sin x)' = \cos x$; $(\cos x)' = -\sin x$
- $(e^x)' = e^x$; $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$
- Reguła łańcuchowa: $[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
- $(fg)' = f'g + fg'$; $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$
- $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2-2x-3) = 3(x-3)(x+1)$
- $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 3$ lub $x = -1$
- $f''(x) = 6x - 6$; $f''(-1) = -12 < 0$ → maksimum; $f''(3) = 12 > 0$ → minimum
Wzory trygonometryczne — jedynka i redukcyjne
- $\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha$; $\cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha$
- $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$; $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ (parzystość/nieparzystość)
- $\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \cos\alpha$; $\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \sin\alpha$ (kofunkcje)
- $\sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$
- $\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$
- $\cos\alpha = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$ (I ćwiartka: $\cos > 0$)
- $\tan\alpha = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$
- $\sin 2\alpha = 2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5} = \frac{24}{25}$
Ciąg geometryczny — definicja i własności
- Procent składany (kapitalizacja): $K_n = K_0 \cdot (1+p)^n$
- Wzrost/zanik wykładniczy (populacja, promieniotwórczość)
- Skale muzyczne: każda oktawa podwaja częstotliwość
- Ułamek dziesiętny okresowy jako suma nieskończona
- $q = 1{,}05$, $b_1 = 1000$
- $b_4 = 1000 \cdot 1{,}05^3 = 1000 \cdot 1{,}157625 \approx 1157{,}63$ zł
Funkcja kwadratowa — postacie i wierzchołek
- Ogólna: $f(x) = ax^2 + bx + c$
- Kanoniczna (wierzchołkowa): $f(x) = a(x-p)^2 + q$, gdzie $W(p,q)$ — wierzchołek
- Iloczynowa (gdy $\Delta > 0$): $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$
- $\Delta > 0$: dwa miejsca zerowe
- $\Delta = 0$: jedno MZ (wierzchołek na osi OX)
- $\Delta < 0$: brak MZ (parabola nie przecina OX)
- $\Delta = 64 - 48 = 16$; $\sqrt{\Delta}=4$
- $x_{1,2} = \dfrac{8 \pm 4}{4}$: $x_1=1$, $x_2=3$
- $p = \dfrac{1+3}{2} = 2$; $q = f(2) = 8-16+6 = -2$
- Postać kanoniczna: $f(x)=2(x-2)^2-2$
Układy równań — metody rozwiązywania (LO)
- Podstawiania: z jednego równania wyraź $x$ (lub $y$) i podstaw do drugiego
- Eliminacji (przeciwnych wsp.): pomnóż równania i dodaj stronami
- Wyznacznikowa (Cramera): $x=\dfrac{W_x}{W}$, $y=\dfrac{W_y}{W}$ — dla układów 2×2 i 3×3
- $W = 3\cdot(-1)-1\cdot2 = -5$
- $W_x = 8\cdot(-1)-1\cdot2 = -10$; $x = \frac{-10}{-5} = 2$
- $W_y = 3\cdot1-1\cdot8 = -5$; $y = \frac{-5}{-5} = 1$
Całka oznaczona — twierdzenie zasadnicze rachunku
Twierdzenie zasadnicze RR (Newton-Leibniz): Jeśli $F$ jest funkcją pierwotną $f$ na $[a,b]$, to:
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b$$Własności: liniowość ($\int af+bg = a\int f + b\int g$), addytywność ($\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c$).
$\int_a^b f\,dx = -\int_b^a f\,dx$; $\int_a^a f\,dx = 0$.
Zastosowania: pole obszaru, droga z prędkości, ładunek elektryczny.
$\int_0^2 (3x^2-2x)\,dx = \Big[x^3-x^2\Big]_0^2 = (8-4)-(0-0) = 4$.
Pole między krzywą a osią $Ox$: rozbij na przedziały stałości znaku $f$; $P = \int |f(x)|\,dx$.
Całki krzywoliniowe — praca i cyrkulacja
Całka krzywoliniowa pola wektorowego $\vec{F}$ wzdłuż krzywej $C$:
$$\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_a^b \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t)\,dt$$Praca: $W=\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}$; dla pola zachowawczego: $W=\phi(B)-\phi(A)$ (niezależna od drogi).
Pole zachowawcze ↔ $\nabla\times\vec{F}=\vec{0}$ ↔ $\vec{F}=\nabla\phi$ (gradient potencjału).
Twierdzenie Greena (2D): $\oint_C Pdx+Qdy = \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$
$\vec{F}=(-y,x)$, okrąg $r=1$: $\oint Pdx+Qdy=\iint_D(1-(-1))dA=2\pi$ — cyrkulacja.
Twierdzenie Greena = dwuwymiarowy specjalny przypadek twierdzenia Stokesa.
Granica funkcji — definicja i techniki obliczania
Definicja Heinego: $\lim_{x\to a}f(x)=L\Leftrightarrow$ dla każdego ciągu $x_n\to a$ (z $x_n\neq a$) mamy $f(x_n)\to L$.
Definicja Cauchy'ego: $\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0$: $0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon$.
Techniki dla $\frac{0}{0}$: upraszczaj algebrycznie (faktoryzacja, wzory WSM), mnóż przez sprzężenie.
Dla $\frac{\infty}{\infty}$: dziel przez najwyższą potęgę $x$.
Ważne granice: $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$; $\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$; $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$.
$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=4$.
$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-5}=\lim_{x\to\infty}\frac{3+1/x^2}{1-5/x^2}=3$.
Forma $\frac{0}{0}$ to niedookreślona — NIE wynika z niej wartość. Zawsze próbuj uprościć. $\frac{k}{0}$ ($k\neq0$) → $\pm\infty$ lub brak granicy.
Całkowanie przez podstawienie — metoda i zastosowania
Podstawienie $t = g(x)$, $dt = g'(x)\,dx$:
$$\int f(g(x))\cdot g'(x)\,dx = \int f(t)\,dt$$Schemat: (1) wybierz $t = g(x)$, (2) oblicz $dt$, (3) przelicz całkę na $t$, (4) scałkuj, (5) wróć do $x$.
Dla całki oznaczonej — zmień też granice: jeśli $x\in[a,b]$, to $t\in[g(a),g(b)]$.
$\int \sin(3x)\,dx$: $t=3x$, $dt=3\,dx$, $dx=\frac{dt}{3}$: $\int\frac{\sin t}{3}\,dt = -\frac{\cos t}{3}+C = -\frac{\cos 3x}{3}+C$.
$\int_0^1 x e^{x^2}\,dx$: $t=x^2$, $dt=2x\,dx$: $\frac{1}{2}\int_0^1 e^t\,dt = \frac{e-1}{2}$.
Wzorzec: jeśli widzisz pochodną czegoś pod całką — to sygnał do podstawienia.
Ciągłość funkcji — punkty i rodzaje nieciągłości
$f$ ciągła w $a$ gdy: (1) $f(a)$ istnieje, (2) $\lim_{x\to a}f(x)$ istnieje, (3) $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
Rodzaje nieciągłości:
- Usuwalna: $\lim_{x\to a}f(x)=L$, ale $f(a)\neq L$ lub nie istnieje → można „naprawić" przez definicję $f(a)=L$.
- Skokowa: lewostronna $\neq$ prawostronna granica. Skok = różnica granic.
- Istotna (nieokreślona): przynajmniej jedna granica jednostronna $=\pm\infty$ lub nie istnieje.
$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$: nieciągłość usuwalna w $x=1$ (granica $=2$, $f(1)$ nie istnieje).
$f(x)=\text{sgn}(x)$: skok w $x=0$ (lewa granica $-1$, prawa $+1$).
$f(x)=\frac{1}{x}$: nieciągłość istotna w $x=0$.
Funkcje: wielomian, trygonometryczne, exp, log — ciągłe na całej dziedzinie. Złożenie funkcji ciągłych — ciągłe.
Gradient, dywergencja i rotacja — operatory wektorowe
Gradient skalara: $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)$ — kierunek najszybszego wzrostu.
Dywergencja wektora: $\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$ — "źródłowość" pola.
Rotacja: $\nabla\times\vec{F}$ — "wirkowość" pola.
Tw. dywergencji (Gaussa-Ostrogradskiego): $\oiint_S\vec{F}\cdot d\vec{A}=\iiint_V\nabla\cdot\vec{F}\,dV$
Tw. Stokesa: $\oint_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_S(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{A}$
Równania Maxwella zapisane przez $\nabla\cdot$ i $\nabla\times$ — kompaktowa notacja wektorowa ukrywa złożoność.
Całkowanie przez części — wzór i strategia
Pochodzi z reguły pochodnej iloczynu: $(uv)' = u'v + uv'$.
Wybór $u$ wg reguły LIATE (priorytety): Logarytm → Odwrotne trygonometryczne → Algebraiczne (wielomiany) → Trygonometryczne → Eksponencjalne.
Wybierz $u$ z wyższego priorytetu (będzie różniczkowane), $dv$ — z niższego (będzie całkowane).
$\int x e^x\,dx$: $u=x$, $dv=e^x dx$ → $du=dx$, $v=e^x$: $xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$.
$\int \ln x\,dx$: $u=\ln x$, $dv=dx$: $x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\ln x - x + C$.
Niekiedy trzeba zastosować całkowanie przez części dwukrotnie (np. $\int x^2 e^x\,dx$).
Przekształcenie Laplace'a — rozwiązywanie ODE
Kluczowe pary: $\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}$; $\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}$; $\mathcal{L}\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}}$; $\mathcal{L}\{\sin\omega t\}=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$.
Pochodna: $\mathcal{L}\{f'\}=sF(s)-f(0)$ — ODE → algebraiczne równanie w $s$.
Metoda: zastos. Laplace'a → rozwiąż alg. → odwrotna transf. (przez rozwinięcie ułamkowe).
$y''-y=0$, $y(0)=1$, $y'(0)=0$: $(s^2-1)Y=s$ → $Y=\frac{s}{s^2-1}=\frac{1/2}{s-1}+\frac{1/2}{s+1}$ → $y=\frac{e^t+e^{-t}}{2}=\cosh t$.
Laplace to "alfabet" inżynierów sterowania — transmitancja, zera, bieguny, stabilność układów.
Reguła de l'Hôpitala
Jeśli $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ daje formę $\frac{0}{0}$ lub $\frac{\infty}{\infty}$, to:
$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$
pod warunkiem, że ta ostatnia granica istnieje (lub jest $\pm\infty$).
Formy sprowadzalne: $0\cdot\infty=\frac{0}{1/\infty}=\frac{0}{0}$; $\infty-\infty$ — wspólny mianownik; $0^0,\,1^\infty,\,\infty^0$ — logarytmuj.
Można stosować wielokrotnie — jeśli po zastosowaniu nadal $\frac{0}{0}$, stosuj dalej.
$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}\overset{H}{=}\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}\overset{H}{=}\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}=\frac{1}{2}$.
$\lim_{x\to\infty}xe^{-x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}\overset{H}{=}\lim_{x\to\infty}\frac{1}{e^x}=0$.
Różniczkuj LICZNIK i MIANOWNIK oddzielnie — NIE stosuj reguły ilorazu! Zawsze sprawdź formę nieoznaczoną przed zastosowaniem.
Całkowanie przez rozkład na ułamki proste
Cel: $\int\frac{P(x)}{Q(x)}dx$, gdy $\deg P<\deg Q$. Rozkładamy $\frac{P}{Q}$ na sumę prostszych ułamków.
Przypadki:
- Proste pierwiastki rzeczywiste: $\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}$.
- Wielokrotny pierwiastek: $\frac{1}{(x-a)^2}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^2}$.
- Para zespolona: $\frac{1}{x^2+px+q}=\frac{Ax+B}{x^2+px+q}$ → dopełnienie do kwadratu.
Gdy $\deg P\geq\deg Q$: najpierw dzielenie z resztą.
$\int\frac{2x+1}{x^2-x-2}dx$: $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$; $\frac{2x+1}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}$; $A=\frac{5}{3}$, $B=\frac{1}{3}$; wynik: $\frac{5}{3}\ln|x-2|+\frac{1}{3}\ln|x+1|+C$.
Wyznaczanie $A,B$: podstaw $x=a$ (zerowanie mianownika). Alternatywa: porównaj współczynniki wielomianów.
Przekształcenie Fouriera — widmo i zastosowania
Odwrotna: $f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)e^{2\pi i\xi t}\,d\xi$
Twierdzenie splotowe: $\widehat{f*g}=\hat{f}\cdot\hat{g}$ — splot w dziedzinie czasu = iloczyn w widmowej.
DFT/FFT: dyskretna wersja, algorytm FFT $O(N\log N)$ — podstawa cyfrowego przetwarzania sygnałów.
Zastosowania: kompresja JPEG, MP3, filtrowanie sygnałów, MRI, spektroskopia NMR.
Zasada nieoznaczoności Heisenberga to matematyczna konsekwencja TF: $\Delta t\cdot\Delta\xi\ge\frac{1}{4\pi}$.
Reguła de l'Hôpitala — granice nieokreślone
Jeśli $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0$ lub $\pm\infty$, to (pod warunkiem istnienia prawej strony):
$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$Postacie nieokreślone: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$, $0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$.
Dla $0\cdot\infty$: przekształć do $\frac{f}{1/g}$ lub $\frac{g}{1/f}$, potem stosuj regułę.
$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1} = 1$.
$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} = 0$ (logarytm rośnie wolniej niż liniowo).
Regułę można stosować wielokrotnie, ale sprawdź za każdym razem, czy wciąż mamy postać $\frac{0}{0}$ lub $\frac{\infty}{\infty}$.
Długość łuku krzywej
Postać jawna $y=f(x)$, $x\in[a,b]$: $L=\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$.
Postać parametryczna $(x(t),y(t))$, $t\in[\alpha,\beta]$: $L=\displaystyle\int_\alpha^\beta\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt$.
Postać biegunowa $r=r(\varphi)$: $L=\displaystyle\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{r^2+(r')^2}\,d\varphi$.
Idea: łuk ≈ suma małych ciotek $ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+(y')^2}\,dx$.
$y=\frac{2}{3}x^{3/2}$, $x\in[0,4]$: $y'=x^{1/2}$; $L=\int_0^4\sqrt{1+x}\,dx=\bigl[\frac{2}{3}(1+x)^{3/2}\bigr]_0^4=\frac{2}{3}(5^{3/2}-1)=\frac{2}{3}(5\sqrt{5}-1)\approx7{,}09$.
Całka najczęściej nieelementarna — stosuj podstawienie lub numerykę. Sprawdź: obwód koła: $x=r\cos t$, $y=r\sin t$ → $L=2\pi r$. ✓
Elipsa — równanie kanoniczne i własności
Ogniska: $F_1(-c,0)$, $F_2(c,0)$, gdzie $c^2=a^2-b^2$. Dla każdego punktu $P$ na elipsie: $|PF_1|+|PF_2|=2a$.
Półoś wielka $a$ (na osi $Ox$), półoś mała $b$ (na osi $Oy$).
Mimośród: $e = \frac{c}{a} \in (0,1)$. Dla $e\to0$ → okrąg; $e\to1$ → bardzo wydłużona.
Pole elipsy: $P = \pi ab$. Obwód: nie ma prostego wzoru (całka eliptyczna).
$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$: $a=5$, $b=3$, $c=4$, $e=\frac{4}{5}$, ogniska $(\pm4,0)$, $P=15\pi$.
Orbity planet to elipsy (I prawo Keplera) — Słońce w jednym ognisku.
Całki niewłaściwe — zbieżność
$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\,dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,dx$ — całka niewłaściwa I rodzaju.
Jeśli $f$ nieograniczona w $a$: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx$ — II rodzaju.
Kryterium porównawcze: jeśli $0\leq f\leq g$ i $\int g$ zbiega, to $\int f$ też zbiega.
Całka $\int_1^\infty x^{-p}dx$: zbiega dla $p>1$; rozbieżna dla $p\leq1$.
Całka $\int_0^1 x^{-p}dx$: zbiega dla $p<1$; rozbieżna dla $p\geq1$.
$\int_1^\infty\frac{1}{x^2}dx=\lim_{b\to\infty}\bigl[-\frac{1}{x}\bigr]_1^b=0+1=1$ ✓ (zbieżna).
$\int_1^\infty\frac{1}{x}dx=\lim_{b\to\infty}\ln b=+\infty$ (rozbieżna).
$\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}[2\sqrt{x}]_\varepsilon^1=2$ ✓.
Całka $\int_1^\infty$ od $1/x^p$: „$p>1$ → zbieżna". Całka $e^{-x}$ na $[0,\infty)$ zawsze zbiega (eksponenta bije potęgi).
Hiperbola i parabola — równania i własności
Hiperbola: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$; $c^2=a^2+b^2$; $|PF_1|-|PF_2|=\pm2a$.
Asymptoty: $y=\pm\frac{b}{a}x$; mimośród $e=\frac{c}{a}>1$.
Parabola: $y^2=2px$ (otwarta w prawo); ognisko $F(\frac{p}{2},0)$; kierownica $x=-\frac{p}{2}$.
Definicja paraboli: $|PF|=d(P, \text{kierownica})$.
Parabola $y=ax^2+bx+c$: wierzchołek $(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})$; ognisko w $\frac{1}{4a}$ od wierzchołka.
$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$: $a=2$, $b=3$, asymptoty $y=\pm\frac{3}{2}x$.
Krzywe stożkowe to przekroje stożka: okrąg ($e=0$), elipsa, parabola ($e=1$), hiperbola ($e>1$).
Strona 1 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.