Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Kąty i podstawowe figury płaskie
Rodzaje kątów
$$\text{ostry}\lt 90^\circ,\quad \text{prosty}=90^\circ,\quad 90^\circ\lt \text{rozwarty}\lt 180^\circ$$
$$\text{półpełny}=180^\circ,\qquad \text{pełny}=360^\circ$$
Kąt prosty nie jest ani ostry, ani rozwarty — to granica między nimi.
Trójkąty
Ze względu na boki: równoboczny, równoramienny, różnoboczny. Ze względu na kąty: ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny.
Suma kątów wewnętrznych każdego trójkąta wynosi $180^\circ$.
Prostokąt i kwadrat
$$P_{\square}=a\cdot b,\qquad Ob_{\square}=2(a+b)$$
$$P_{kw}=a^2,\qquad Ob_{kw}=4a$$
Kwadrat ma $4$ osie symetrii, prostokąt (niebędący kwadratem) — $2$.
Jednostki pola
$$1\ \text{m}^2=10\,000\ \text{cm}^2,\qquad 1\ \text{cm}^2=100\ \text{mm}^2$$
Przy zamianie jednostek pola przelicznik podnosimy do kwadratu.
Na co uważać
Przed obliczeniem pola sprowadź wszystkie boki do tej samej jednostki. Pole podajemy w jednostkach kwadratowych, obwód w zwykłych.
Podzielność liczb, NWD i NWW
Cechy podzielności
- przez 2 — ostatnia cyfra parzysta
- przez 3 — suma cyfr dzieli się przez $3$
- przez 4 — liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez $4$
- przez 5 — ostatnia cyfra to $0$ lub $5$
- przez 9 — suma cyfr dzieli się przez $9$
- przez 10 — ostatnia cyfra to $0$
Podzielność przez $6$ to podzielność przez $2$ i przez $3$ jednocześnie.
Liczby pierwsze i złożone
Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie samą. Liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona.
Pierwsze liczby pierwsze: $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$.
NWD i NWW
Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze, a następnie:
$$\mathrm{NWD}\ \text{— iloczyn wspólnych czynników w } \textbf{najniższych}\ \text{potęgach}$$
$$\mathrm{NWW}\ \text{— iloczyn wszystkich czynników w } \textbf{najwyższych}\ \text{potęgach}$$
Przykład: $24=2^3\cdot3$, $36=2^2\cdot3^2$, więc $\mathrm{NWD}=2^2\cdot3=12$, $\mathrm{NWW}=2^3\cdot3^2=72$.
Zawsze zachodzi: $\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b$.
Zastosowania
NWD służy do skracania ułamków, NWW — do sprowadzania do wspólnego mianownika.
Na co uważać
Do NWD wchodzą tylko czynniki wspólne. Dla $8=2^3$ i $9=3^2$ nie ma wspólnych czynników, więc $\mathrm{NWD}=1$ — liczby są względnie pierwsze.
Pola figur płaskich
Zestawienie wzorów
$$P_{\text{prostokąt}}=a\cdot b,\qquad P_{\text{kwadrat}}=a^2$$
$$P_{\text{równoległobok}}=a\cdot h,\qquad P_{\text{trójkąt}}=\frac{1}{2}a\cdot h$$
$$P_{\text{trapez}}=\frac{a+b}{2}\cdot h,\qquad P_{\text{romb}}=\frac{e\cdot f}{2}$$
Oznaczenia
- $a$, $b$ — boki (w trapezie: podstawy równoległe)
- $h$ — wysokość, czyli odcinek prostopadły do podstawy
- $e$, $f$ — przekątne rombu
Kluczowa zasada
Wysokość musi odpowiadać tej samej podstawie, którą wybraliśmy. W jednym trójkącie są trzy pary podstawa–wysokość i każda daje ten sam wynik pola.
Przykłady
Trójkąt o podstawie $8$ i wysokości $5$: $P=\frac12\cdot8\cdot5=20$.
Trapez o podstawach $10$ i $6$ oraz wysokości $4$: $P=\frac{16}{2}\cdot4=32$.
Romb o przekątnych $6$ i $8$: $P=\frac{48}{2}=24$.
Na co uważać
W równoległoboku $h$ to wysokość, a nie długość drugiego boku. W trójkącie rozwartokątnym wysokość może padać poza trójkąt — to nadal poprawna wysokość, opuszczamy ją wtedy na przedłużenie boku.
Równania z jedną niewiadomą
Przekształcenia równoważne
Równanie nie zmienia zbioru rozwiązań, gdy do obu stron dodamy (lub od obu odejmiemy) tę samą liczbę albo pomnożymy (podzielimy) obie strony przez tę samą liczbę różną od zera.
Schemat rozwiązywania
- Usuwamy nawiasy
- Przenosimy niewiadome na jedną stronę, liczby na drugą (zmieniając znak)
- Redukujemy wyrazy podobne
- Dzielimy przez współczynnik przy niewiadomej
- Sprawdzamy wynik przez podstawienie
Przykład: $2(x-3)=x+5 \Rightarrow 2x-6=x+5 \Rightarrow x=11$. Sprawdzenie: $2\cdot8=16$ i $11+5=16$. ✔
Trzy możliwe wyniki
- Jedno rozwiązanie — np. $3x=15$, czyli $x=5$
- Równanie sprzeczne — np. $2x+3=2x+5$ prowadzi do $3=5$; brak rozwiązań
- Równanie tożsamościowe — np. $2x+4=2(x+2)$; spełnia je każda liczba
Przekształcanie wzorów
Ten sam mechanizm stosujemy do wzorów. Z $P=a\cdot b$ otrzymujemy $b=\frac{P}{a}$ (przy $a\ne0$).
Na co uważać
Przenosząc wyraz na drugą stronę, zmieniamy jego znak. Mnożąc równanie przez nawias, mnóż każdy składnik: $3(2x-5)=6x-15$, a nie $6x-5$.
Kąty, przystawanie i wielokąty
Kąty przy przecinających się prostych
Przyległe — mają wspólne ramię i dopełniają się do $180^\circ$.
Wierzchołkowe — leżą naprzeciw siebie i są równe.
Kąty przy prostych równoległych
Gdy dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, kąty odpowiadające oraz naprzemianległe są równe, a kąty jednostronne dopełniają się do $180^\circ$.
Nierówność trójkąta
$$|b-c|\lt a\lt b+c$$
Trójkąt istnieje, gdy każdy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych. Wystarczy sprawdzić warunek dla najdłuższego boku.
Przystawanie trójkątów
Trójkąty przystające mają identyczny kształt i rozmiar. Cechy przystawania:
- bbb — trzy pary równych boków
- bkb — dwa boki i kąt między nimi
- kbk — dwa kąty i bok między nimi
Uwaga: trzy równe kąty (kkk) dają jedynie podobieństwo, nie przystawanie.
Wielokąty
$$\text{suma kątów}=(n-2)\cdot180^\circ$$
W wielokącie foremnym (wszystkie boki i kąty równe) jeden kąt wynosi:
$$\alpha=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$$
Przykład: sześciokąt foremny ma kąt $\frac{720^\circ}{6}=120^\circ$.
Na co uważać
Dzielenie sumy kątów przez $n$ wolno stosować tylko dla wielokąta foremnego. Równość kątów odpowiadających wymaga, by proste rzeczywiście były równoległe — musi to wynikać z treści zadania, a nie z wyglądu rysunku.
Ułamki zwykłe i dziesiętne
Budowa ułamka
W ułamku $\frac{a}{b}$ liczba $a$ to licznik (ile części bierzemy), a $b$ to mianownik (na ile części podzielono całość). Mianownik nigdy nie może być zerem.
Rodzaje ułamków
- Właściwy — licznik mniejszy od mianownika, np. $\frac38$ (wartość mniejsza od $1$)
- Niewłaściwy — licznik większy lub równy mianownikowi, np. $\frac74$
- Liczba mieszana — całość i ułamek, np. $2\frac35$
Zamiana liczby mieszanej na ułamek
$$a\frac{b}{c}=\frac{a\cdot c+b}{c}$$
Przykład: $2\frac35=\frac{2\cdot5+3}{5}=\frac{13}{5}$.
Skracanie i rozszerzanie
Dzieląc lub mnożąc licznik i mianownik przez tę samą liczbę, otrzymujemy ułamek równy wyjściowemu:
$$\frac{12}{18}=\frac{12:6}{18:6}=\frac{2}{3},\qquad \frac{2}{3}=\frac{2\cdot4}{3\cdot4}=\frac{8}{12}$$
Ułamek jest nieskracalny, gdy $\mathrm{NWD}$ licznika i mianownika wynosi $1$.
Porównywanie
Ułamki o różnych mianownikach sprowadzamy do wspólnego mianownika i porównujemy liczniki. Przykład: $\frac34=\frac68$, a $\frac68>\frac58$.
Ułamki dziesiętne
Mianownik $10$, $100$, $1000$ zapisujemy przecinkiem:
$$\frac{3}{10}=0{,}3,\qquad \frac{25}{100}=0{,}25=\frac14$$
Na co uważać
Skracać wolno tylko przez wspólny dzielnik licznika i mianownika — nie wolno skreślać pojedynczych cyfr. W $\frac{16}{64}$ przypadkowe skreślenie szóstek daje poprawny wynik $\frac14$, ale to zbieg okoliczności, a nie metoda.
Działania na ułamkach zwykłych
Dodawanie i odejmowanie
Przy jednakowych mianownikach działamy tylko na licznikach:
$$\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}$$
Przy różnych mianownikach najpierw sprowadzamy do wspólnego mianownika (najwygodniej do $\mathrm{NWW}$):
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$$
Mnożenie
$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$$
Warto skracać przed mnożeniem — rachunki są prostsze.
Dzielenie
Mnożymy przez odwrotność dzielnika:
$$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$$
Przykład: $\frac34:\frac25=\frac34\cdot\frac52=\frac{15}{8}=1\frac78$.
Potęgowanie
$$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$
Ułamek liczby
Zwrot „$\frac25$ z $45$” oznacza mnożenie: $\frac25\cdot45=18$.
Na co uważać
Przy dodawaniu nie sumujemy mianowników — $\frac12+\frac13\ne\frac25$. Liczby mieszane przed mnożeniem i dzieleniem zamieniamy na ułamki niewłaściwe. W wyrażeniach z kilkoma działaniami obowiązuje zwykła kolejność: najpierw mnożenie i dzielenie, potem dodawanie i odejmowanie.
Liczby całkowite
Czym są liczby całkowite
To liczby naturalne, ich liczby przeciwne oraz zero:
$$\ldots,-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots$$
Na osi liczbowej im dalej w prawo, tym liczba większa. Każda liczba ujemna jest mniejsza od zera.
Dodawanie i odejmowanie
Dodawanie liczby dodatniej przesuwa nas w prawo, ujemnej — w lewo:
$$-8+12=4,\qquad -5-3=-8$$
Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie liczby przeciwnej:
$$7-(-3)=7+3=10$$
Mnożenie i dzielenie — reguła znaków
$$(+)\cdot(+)=+,\qquad (-)\cdot(-)=+,\qquad (+)\cdot(-)=-$$
Przykłady: $-4\cdot(-6)=24$; $-20:4=-5$.
Potęgowanie liczb ujemnych
Potęga o wykładniku parzystym daje wynik dodatni, o nieparzystym — ujemny:
$$(-2)^2=4,\qquad (-2)^3=-8$$
Wartość bezwzględna
$|a|$ to odległość liczby od zera, zawsze nieujemna: $|-7|=7$, $|7|=7$.
Na co uważać
Rozróżniaj $-2^2$ i $(-2)^2$. W pierwszym przypadku potęgujemy tylko dwójkę, a minus zostaje: $-2^2=-4$. W drugim potęgujemy całą liczbę ujemną: $(-2)^2=4$.
Graniastosłupy — siatki, pole i objętość
Budowa graniastosłupa
Graniastosłup prosty ma dwie identyczne, równoległe podstawy i ściany boczne będące prostokątami. Nazwa pochodzi od kształtu podstawy: graniastosłup trójkątny, czworokątny, sześciokątny.
Liczba elementów
Dla podstawy o $n$ bokach: ścian $n+2$, krawędzi $3n$, wierzchołków $2n$. Prostopadłościan ($n=4$): $6$ ścian, $12$ krawędzi, $8$ wierzchołków.
Objętość
$$V=P_p\cdot H$$
Szczególne przypadki:
$$V_{\text{prostopadłościan}}=a\cdot b\cdot c,\qquad V_{\text{sześcian}}=a^3$$
Pole powierzchni
$$P_c=2P_p+P_b,\qquad P_b=Ob_p\cdot H$$
Dla sześcianu: $P_c=6a^2$.
Siatka bryły
To rozłożona na płaszczyźnie powierzchnia bryły. Siatka sześcianu składa się z sześciu jednakowych kwadratów; siatka graniastosłupa — z dwóch podstaw i prostokąta o długości równej obwodowi podstawy.
Jednostki objętości
$$1\ \text{l}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3,\qquad 1\ \text{m}^3=1000\ \text{dm}^3$$
Na co uważać
Nie myl objętości z polem powierzchni — dla sześcianu o krawędzi $4$ objętość wynosi $64$, a pole $96$. Przy zamianie jednostek objętości przelicznik podnosimy do trzeciej potęgi: $1\ \text{dm}=10\ \text{cm}$, ale $1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$.
Budowanie wyrażeń algebraicznych i proste równania
Wyrażenie algebraiczne
To zapis, w którym obok liczb występują litery oznaczające liczby nieznane. Litera zastępuje wartość, której jeszcze nie znamy albo która może się zmieniać.
Zapisywanie treści symbolami
- liczba $x$ powiększona o $5$ → $x+5$
- liczba $x$ dwa razy większa → $2x$
- liczba $x$ powiększona o $5$ i pomnożona przez $2$ → $2(x+5)$
- o $3$ mniej niż $x$ → $x-3$
Nawias jest istotny — $2(x+5)$ i $2x+5$ to różne wyrażenia.
Wartość liczbowa wyrażenia
Podstawiamy liczby w miejsce liter. Dla $a=2$, $b=5$: $3a+2b=6+10=16$.
Upraszczanie
Łączymy wyrazy z tą samą literą:
$$4x+3-2x+5=2x+8$$
Równanie
To równość dwóch wyrażeń z niewiadomą. Rozwiązać równanie to znaleźć wartość niewiadomej, dla której równość jest prawdziwa.
Wolno: dodać lub odjąć tę samą liczbę do obu stron, pomnożyć lub podzielić obie strony przez tę samą liczbę różną od zera.
$$3x-5=16 \;\Rightarrow\; 3x=21 \;\Rightarrow\; x=7$$
Na co uważać
Zawsze sprawdzaj wynik przez podstawienie do pierwotnego równania — to wychwytuje błędy rachunkowe. Przenosząc wyraz na drugą stronę, pamiętaj o zmianie znaku.
Kąty w trójkącie i czworokącie
Suma kątów
$$\text{trójkąt: }180^\circ,\qquad \text{czworokąt: }360^\circ$$
Czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty — stąd podwojona suma.
Rodzaje trójkątów
Ze względu na boki: równoboczny (wszystkie kąty po $60^\circ$), równoramienny (kąty przy podstawie równe), różnoboczny. Ze względu na kąty: ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny.
W trójkącie prostokątnym kąty ostre sumują się do $90^\circ$.
Czworokąty
- Kwadrat — wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste
- Prostokąt — kąty proste, boki równe parami
- Romb — wszystkie boki równe, kąty niekoniecznie proste
- Równoległobok — boki przeciwległe równoległe i równe
- Trapez — co najmniej jedna para boków równoległych
Koło i okrąg
$$l=2\pi r,\qquad P=\pi r^2$$
Okrąg to linia, koło — okrąg wraz z wnętrzem.
Skala
Skala $1:100$ oznacza, że $1$ cm na planie to $100$ cm w rzeczywistości. Odcinek $3$ cm odpowiada więc $300$ cm, czyli $3$ m.
Na co uważać
Kwadrat jest jednocześnie prostokątem i rombem — to nie są rozłączne kategorie. Przy skali zawsze sprawdź, czy pytanie dotyczy planu, czy rzeczywistości, i pilnuj jednostek.
Prędkość, droga, czas
Podstawowa zależność
$$s=v\cdot t,\qquad v=\frac{s}{t},\qquad t=\frac{s}{v}$$
gdzie $s$ — droga, $v$ — prędkość, $t$ — czas. Znając dwie wielkości, zawsze wyznaczymy trzecią.
Jednostki
$$1\ \frac{\text{km}}{\text{h}}=\frac{1000\ \text{m}}{3600\ \text{s}}$$
Zamiana: z km/h na m/s dzielimy przez $3{,}6$, w drugą stronę mnożymy.
Przykład: $36\ \text{km/h}=10\ \text{m/s}$.
Czas w postaci dziesiętnej
Przed obliczeniami minuty zamieniamy na ułamek godziny:
$$30\ \text{min}=0{,}5\ \text{h},\qquad 15\ \text{min}=0{,}25\ \text{h},\qquad 2\ \text{h }30\ \text{min}=2{,}5\ \text{h}$$
Prędkość średnia
To całkowita droga podzielona przez całkowity czas — nie średnia arytmetyczna prędkości na poszczególnych odcinkach.
Zależności
Przy stałej drodze prędkość i czas są odwrotnie proporcjonalne: dwukrotny wzrost prędkości skraca czas o połowę.
Na co uważać
Najczęstszy błąd to mieszanie jednostek — prędkość w km/h przy czasie podanym w minutach. Zawsze najpierw sprowadź wszystko do zgodnych jednostek, a dopiero potem podstawiaj do wzoru.
Proporcje i proporcjonalność
Proporcja
To równość dwóch ilorazów:
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$
Podstawowa własność — iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi środkowych:
$$a\cdot d=b\cdot c$$
Przykład: z $\frac{x}{6}=\frac{10}{4}$ otrzymujemy $4x=60$, więc $x=15$.
Proporcjonalność prosta
$$y=ax,\qquad \frac{y}{x}=a\ (\text{stałe})$$
Obie wielkości rosną w tym samym tempie. Dwa razy więcej towaru to dwa razy większa zapłata.
Proporcjonalność odwrotna
$$y=\frac{a}{x},\qquad x\cdot y=a\ (\text{stałe})$$
Gdy jedna wielkość rośnie, druga maleje. Przykład: dwa razy więcej robotników to dwa razy krótszy czas pracy.
Podział proporcjonalny
Aby podzielić $600$ zł w stosunku $2:3$: sumujemy części ($2+3=5$), wyznaczamy jedną część ($600:5=120$) i mnożymy ($2\cdot120=240$ oraz $3\cdot120=360$).
Skala mapy
Skala $1:50\,000$ oznacza, że $1$ cm na mapie to $50\,000$ cm w terenie, czyli $500$ m. Odcinek $4$ cm odpowiada więc $2$ km.
Na co uważać
Przed użyciem proporcji ustal typ zależności. Test: podwój jedną wielkość — jeśli druga też się podwaja, to proporcjonalność prosta; jeśli maleje o połowę — odwrotna. Zależność z opłatą stałą (np. $y=4x+10$) nie jest proporcjonalnością.
Statystyka — odczyt danych i średnia
Średnia arytmetyczna
$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$$
Sumujemy wszystkie dane i dzielimy przez ich liczbę. Każde wystąpienie liczy się osobno — dla ocen $5,5,5,2$ mamy $n=4$, więc $\bar{x}=\frac{17}{4}=4{,}25$.
Zależność odwrotna
$$\text{suma}=\bar{x}\cdot n$$
Jeśli średnia trzech liczb wynosi $10$, ich suma to $30$. To bardzo częsty krok w zadaniach.
Diagramy
Słupkowy — porównywanie wielkości. Kołowy — udział części w całości; pełne koło to $360^\circ$, więc:
$$\text{procent}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot100\%$$
Wycinek o kącie $90^\circ$ odpowiada $25\%$ całości.
Jak zmienia się średnia
Dołożenie liczby większej od dotychczasowej średniej podnosi ją, mniejszej — obniża. Liczba równa średniej nic nie zmienia.
Doświadczenia losowe
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},\qquad 0\le P(A)\le 1$$
Zdarzenie niemożliwe ma $P=0$ (np. wyrzucenie $7$ na kostce), pewne $P=1$.
Na co uważać
Średnia bywa myląca przy wartościach skrajnych — jedna bardzo duża liczba potrafi ją znacząco zawyżyć. Przy odczycie z diagramu zawsze sprawdź, czy oś zaczyna się od zera; przesunięta skala wyolbrzymia różnice.
Działania pisemne i liczby rzymskie
Mnożenie pisemne
Mnożymy od prawej strony, cyfra po cyfrze, przenosząc nadmiar do następnej kolumny.
Przykład: $234\cdot6$
- $4\cdot6=24$ — piszemy $4$, przenosimy $2$
- $3\cdot6=18$, plus przeniesione $2$ daje $20$ — piszemy $0$, przenosimy $2$
- $2\cdot6=12$, plus przeniesione $2$ daje $14$ — piszemy $14$
$$234\cdot6=1404$$
Dzielenie pisemne
Dzielimy od lewej strony, zabierając kolejne cyfry dzielnej.
Przykład: $852:4$
- $8:4=2$ — zapisujemy $2$
- $5:4=1$ reszty $1$ — zapisujemy $1$, resztę dopisujemy do następnej cyfry
- $12:4=3$ — zapisujemy $3$
$$852:4=213$$
Wynik zawsze warto sprawdzić mnożeniem: $213\cdot4=852$.
Znaki rzymskie
Siedem podstawowych znaków:
$$I=1,\quad V=5,\quad X=10,\quad L=50,\quad C=100,\quad D=500,\quad M=1000$$
Zasady zapisu rzymskiego
- Znaki ustawione od największego dodajemy: $XVI=10+5+1=16$
- Mniejszy znak przed większym oznacza odejmowanie: $IV=5-1=4$, $XL=50-10=40$, $CM=1000-100=900$
- Tego samego znaku nie powtarzamy więcej niż trzy razy — dlatego piszemy $IV$, a nie $IIII$
- Odejmować wolno tylko znakami $I$, $X$ i $C$
Przykład: $MMXXVI=1000+1000+10+10+5+1=2026$.
Na co uważać
Przy mnożeniu pisemnym najczęstszym błędem jest zgubienie przeniesienia — warto zapisywać je drobną cyfrą nad kolumną. Przy zapisie rzymskim uważaj na kolejność: $XL$ to $40$, ale $LX$ to już $60$.
Proste, kąty i rodzaje trójkątów
Wzajemne położenie prostych
- Prostopadłe ($k\perp l$) — przecinają się pod kątem $90^\circ$
- Równoległe ($k\parallel l$) — nie mają punktu wspólnego, odległość między nimi jest stała
- Przecinające się — mają dokładnie jeden punkt wspólny
Rodzaje kątów
- Ostry — mniejszy niż $90^\circ$
- Prosty — dokładnie $90^\circ$
- Rozwarty — większy niż $90^\circ$, ale mniejszy niż $180^\circ$
- Półpełny — dokładnie $180^\circ$
- Pełny — dokładnie $360^\circ$
Suma kątów w trójkącie
W każdym trójkącie zachodzi:
$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$$
Dlatego znając dwa kąty, trzeci zawsze obliczymy odejmowaniem. Przykład: gdy $\alpha=50^\circ$ i $\beta=60^\circ$, to $\gamma=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ$.
Podział trójkątów ze względu na boki
- Równoboczny — trzy równe boki, każdy kąt ma $60^\circ$
- Równoramienny — dwa równe boki (ramiona), kąty przy podstawie są równe
- Różnoboczny — wszystkie boki różnej długości
Podział trójkątów ze względu na kąty
- Ostrokątny — wszystkie kąty ostre
- Prostokątny — jeden kąt prosty
- Rozwartokątny — jeden kąt rozwarty
Trójkąt może mieć najwyżej jeden kąt prosty lub rozwarty — dwa takie kąty przekroczyłyby już sumę $180^\circ$.
Na co uważać
W trójkącie równoramiennym równe są kąty przy podstawie, a nie dowolne dwa. Jeśli kąt między ramionami ma $40^\circ$, to na dwa pozostałe zostaje $140^\circ$, czyli po $70^\circ$ każdy.
Skala, plan i mapa
Co oznacza skala
Skala mówi, ile razy rysunek różni się od rzeczywistości. Zapis $1:n$ czytamy tak: jedna jednostka na rysunku odpowiada $n$ jednostkom w rzeczywistości.
- Pomniejszenie — np. $1:100\,000$ (mapy, plany budynków)
- Powiększenie — np. $2:1$ (rysunki drobnych części)
- Wielkość naturalna — $1:1$
Dwa kierunki przeliczania
$$\text{rzeczywistość}=\text{rysunek}\cdot n,\qquad \text{rysunek}=\frac{\text{rzeczywistość}}{n}$$
Przykład — z mapy w teren
Na mapie $1:100\,000$ odcinek ma $3$ cm. Ile to w rzeczywistości?
$$3\cdot100\,000=300\,000\ \text{cm}=3000\ \text{m}=3\ \text{km}$$
Przykład — z terenu na plan
Odległość $8$ km na mapie $1:200\,000$:
$$8\ \text{km}=800\,000\ \text{cm},\qquad 800\,000:200\,000=4\ \text{cm}$$
Zamiana jednostek długości
$$1\ \text{m}=100\ \text{cm},\qquad 1\ \text{km}=1000\ \text{m}=100\,000\ \text{cm}$$
Na co uważać
Najczęstszy błąd to pominięcie zamiany jednostek. Skala nie ma jednostki — jeśli mnożysz centymetry, wynik też jest w centymetrach i dopiero potem zamieniasz go na metry lub kilometry. Druga pułapka: im większa druga liczba skali, tym mniejszy rysunek — mapa $1:100\,000$ pomniejsza bardziej niż $1:1000$.
Diagramy procentowe i kołowe
Po co są diagramy
Diagram zamienia liczby na obraz — dzięki temu od razu widać, co jest największe, a co najmniejsze.
Diagram słupkowy
Wysokość słupka odpowiada wartości. Najlepiej nadaje się do porównywania grup między sobą. Jeśli podano legendę „jedna kratka = $5$ osób”, wartość odczytujemy mnożeniem: słupek o $7$ kratkach to $7\cdot5=35$ osób.
Diagram kołowy
Całe koło to całość, czyli $100\%$ oraz pełny kąt $360^\circ$. Stąd przelicznik:
$$1\%=3{,}6^\circ,\qquad \text{kąt}=\frac{\text{procent}}{100}\cdot360^\circ$$
Najczęstsze części całości
- $\frac12=50\%=180^\circ$
- $\frac13\approx33\%=120^\circ$
- $\frac14=25\%=90^\circ$
- $\frac15=20\%=72^\circ$
Obliczanie procentu z liczby
$$\text{procent z liczby}=\frac{p}{100}\cdot a$$
Przykład: $40\%$ z $30$ uczniów to $0{,}4\cdot30=12$ uczniów.
Średnia z danych
$$\text{średnia}=\frac{\text{suma wartości}}{\text{liczba wartości}}$$
Przykład: dla $12$, $15$, $9$ i $20$ mamy $\frac{12+15+9+20}{4}=\frac{56}{4}=14$.
Na co uważać
Sprawdzaj, czy wszystkie części diagramu kołowego sumują się do $100\%$ — jeśli nie, gdzieś jest błąd. Uważaj też na osie diagramów słupkowych: gdy oś nie zaczyna się od zera, różnice wyglądają na dużo większe, niż są w rzeczywistości.
Procenty w banku — lokaty, podatki i punkty procentowe
Odsetki od lokaty
Bank dopisuje do wpłaconej kwoty odsetki liczone jako procent od kapitału:
$$\text{odsetki}=\text{kapitał}\cdot\frac{p}{100}$$
Przykład: od $2000$ zł przy $5\%$ rocznie odsetki wynoszą $0{,}05\cdot2000=100$ zł.
Podatek od zysku
Od odsetek pobierany jest podatek $19\%$. Zamiast liczyć podatek i odejmować, szybciej od razu policzyć, ile zostaje:
$$\text{do wypłaty}=\text{odsetki}\cdot0{,}81$$
Przykład: z $300$ zł odsetek zostaje $300\cdot0{,}81=243$ zł.
Kapitalizacja — odsetki od odsetek
Po dopisaniu odsetek do kapitału w kolejnym roku procent liczy się już od większej kwoty:
$$K_n=K_0\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$$
Przykład: $1000$ zł na $2$ lata przy $10\%$ daje $1000\cdot1{,}1^2=1210$ zł — o $10$ zł więcej niż przy prostym naliczaniu.
Podwyżka i obniżka
$$\text{po podwyżce o } p\%:\ a\cdot\left(1+\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{po obniżce o } p\%:\ a\cdot\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$$
Podwyżka o $10\%$ i następnie obniżka o $10\%$ nie wraca do ceny wyjściowej: $200\to220\to198$ zł, bo drugi procent liczymy od większej kwoty.
Szukanie kwoty sprzed zmiany
Jeśli po podwyżce o $20\%$ cena wynosi $360$ zł, to cena początkowa to:
$$360:1{,}2=300\ \text{zł}$$
Dzielimy, a nie odejmujemy $20\%$ od $360$ — to dałoby błędne $288$ zł.
Procent a punkt procentowy
To dwie różne miary tej samej zmiany:
- Punkty procentowe — zwykła różnica: z $4\%$ na $6\%$ to wzrost o $2$ punkty procentowe
- Procent zmiany — liczony względem wartości początkowej: $\frac{6-4}{4}=50\%$
Na co uważać
Zawsze sprawdzaj, od czego liczysz procent. Ta sama zmiana z $4\%$ na $6\%$ to jednocześnie $2$ punkty procentowe i aż $50\%$ wzrostu — obie odpowiedzi są poprawne, ale odpowiadają na inne pytania.
Przekształcanie wzorów
Na czym to polega
Przekształcanie wzoru to wyznaczenie z niego innej wielkości. Obowiązuje jedna zasada: to, co robimy z jedną stroną równania, musimy zrobić z drugą.
Działania odwrotne
- dodawanie $\leftrightarrow$ odejmowanie
- mnożenie $\leftrightarrow$ dzielenie
- podnoszenie do kwadratu $\leftrightarrow$ pierwiastkowanie
Przykład 1 — pole prostokąta
Ze wzoru $P=a\cdot b$ wyznaczamy $b$, dzieląc obie strony przez $a$:
$$b=\frac{P}{a}$$
Przykład 2 — pole trójkąta
Ze wzoru $P=\frac{a\cdot h}{2}$ wyznaczamy $h$ w dwóch krokach:
$$2P=a\cdot h \quad\Rightarrow\quad h=\frac{2P}{a}$$
Przykład 3 — wzór z dodawaniem
Ze wzoru $y=2x+3$ wyznaczamy $x$. Najpierw odejmujemy $3$, potem dzielimy przez $2$:
$$y-3=2x \quad\Rightarrow\quad x=\frac{y-3}{2}$$
Najważniejsze wzory do ćwiczeń
- $s=v\cdot t \ \Rightarrow\ t=\frac{s}{v}$, $v=\frac{s}{t}$
- $O=2\pi r \ \Rightarrow\ r=\frac{O}{2\pi}$
- $V=P_p\cdot H \ \Rightarrow\ H=\frac{V}{P_p}$
- $P=a^2 \ \Rightarrow\ a=\sqrt{P}$ (dla $a>0$)
Na co uważać
Kolejność działań ma znaczenie: $\frac{y-3}{2}$ to nie to samo co $\frac{y}{2}-3$. Gdy nie masz pewności, czy wzór przekształciłeś dobrze, podstaw konkretne liczby i sprawdź, czy obie wersje dają ten sam wynik. Warto też kontrolować jednostki — kilometry dzielone przez km/h muszą dać godziny.
Ułamki zwykłe — podstawy
Budowa ułamka
W ułamku $\frac{a}{b}$ liczba $a$ to licznik — mówi, ile części bierzemy. Liczba $b$ to mianownik — mówi, na ile równych części podzielono całość. Mianownik nigdy nie może być zerem.
Rodzaje ułamków
- Właściwy — licznik mniejszy od mianownika, wartość mniejsza od $1$, np. $\frac38$
- Niewłaściwy — licznik większy lub równy mianownikowi, np. $\frac94$ albo $\frac55$
- Liczba mieszana — całość i ułamek razem, np. $2\frac35$
Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy
$$a\frac{b}{c}=\frac{a\cdot c+b}{c}$$
Przykład: $3\frac14=\frac{3\cdot4+1}{4}=\frac{13}{4}$.
Zamiana w drugą stronę
Dzielimy licznik przez mianownik z resztą. Wynik dzielenia to część całkowita, a reszta staje się nowym licznikiem.
Przykład: $22:7=3$ reszty $1$, więc $\frac{22}{7}=3\frac17$.
Dodawanie i odejmowanie przy jednakowych mianownikach
$$\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}$$
Działamy tylko na licznikach — mianownik przepisujemy bez zmian. Przykład: $\frac49+\frac29=\frac69=\frac23$.
Odejmowanie od całości
Liczbę całkowitą zamieniamy na ułamek o tym samym mianowniku: $1=\frac{c}{c}$.
Przykład: $1-\frac27=\frac77-\frac27=\frac57$.
Na co uważać
Najczęstszy błąd to dodawanie mianowników — $\frac13+\frac13$ to $\frac23$, a nie $\frac26$. Mianownik opisuje rozmiar części i przy dodawaniu takich samych części się nie zmienia. Wynik zawsze podajemy w postaci nieskracalnej.
Obliczenia zegarowe i kalendarzowe
Jednostki czasu
- $1$ minuta $=60$ sekund
- $1$ godzina $=60$ minut
- $1$ doba $=24$ godziny
- $1$ tydzień $=7$ dni
- $1$ rok $=365$ dni (przestępny $366$)
Dodawanie czasu
Najpierw dodajemy pełne godziny, potem minuty. Gdy minut wyjdzie $60$ lub więcej, zamieniamy je na godzinę.
Przykład: $16{:}30$ plus $105$ minut. Najpierw $105$ min $=1$ h $45$ min. Potem $16{:}30+1$ h $=17{:}30$, a $17{:}30+45$ min $=18{:}15$.
Obliczanie czasu trwania
Wygodnie liczyć „przez pełną godzinę”: najpierw ile brakuje do pełnej godziny, potem ile zostaje.
Przykład: od $14{:}50$ do $15{:}20$ — do pełnej godziny $10$ minut, potem jeszcze $20$ minut, razem $30$ minut.
Liczba dni w miesiącach
Po $31$ dni mają: styczeń, marzec, maj, lipiec, sierpień, październik, grudzień. Po $30$ dni: kwiecień, czerwiec, wrzesień, listopad. Luty ma $28$ dni, a w roku przestępnym $29$.
Rok przestępny
Rok jest przestępny, gdy dzieli się przez $4$. Wyjątkiem są pełne stulecia — te muszą dzielić się przez $400$. Dlatego rok $2000$ był przestępny, a $1900$ nie.
Dni tygodnia i cykl siedmiodniowy
Aby ustalić dzień tygodnia za $n$ dni, dzielimy $n$ przez $7$ i liczy się tylko reszta. Przykład: za $10$ dni od poniedziałku — $10:7=1$ reszty $3$, więc przesuwamy się o $3$ dni do czwartku.
Obliczenia pieniężne
Kwoty zapisujemy z dwoma miejscami po przecinku, a przy dodawaniu i odejmowaniu wyrównujemy przecinki, nie ostatnie cyfry: $50{,}00-34{,}60=15{,}40$ zł.
Na co uważać
Czas nie jest zapisem dziesiętnym — $2{,}5$ godziny to $2$ h $30$ min, a nie $2$ h $50$ min. Ułamek godziny mnożymy przez $60$, a nie przez $100$. Zapis $10{:}75$ nie istnieje, bo minut nie może być więcej niż $59$.
Bryły — objętość i jednostki
Czym jest objętość
Objętość mówi, ile miejsca zajmuje bryła — ile sześcianów jednostkowych da się w niej zmieścić. Podajemy ją w jednostkach sześciennych: cm$^3$, dm$^3$, m$^3$.
Podstawowe wzory
$$V_{\text{prostopadłościan}}=a\cdot b\cdot c$$
$$V_{\text{sześcian}}=a^3$$
$$V_{\text{graniastosłup}}=P_p\cdot H$$
Ostatni wzór jest najogólniejszy — prostopadłościan to po prostu graniastosłup o podstawie prostokątnej.
Jednostki objętości
$$1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3,\qquad 1\ \text{m}^3=1\,000\,000\ \text{cm}^3$$
Przelicznik objętości to sześcian przelicznika długości: skoro $1$ m $=100$ cm, to $1$ m$^3=100\cdot100\cdot100$ cm$^3$.
Litry
$$1\ \text{litr}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$$
To najważniejsza zamiana w zadaniach o pojemnikach i akwariach.
Elementy graniastosłupa
Graniastosłup ma dwie jednakowe podstawy i ściany boczne. W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami.
- ścian: liczba boków podstawy plus $2$
- wierzchołków: dwa razy liczba boków podstawy
- krawędzi: trzy razy liczba boków podstawy
Przykład dla graniastosłupa trójkątnego: $5$ ścian, $6$ wierzchołków, $9$ krawędzi.
Siatka bryły
Siatka to powierzchnia bryły rozłożona na płasko. Siatka sześcianu składa się z $6$ jednakowych kwadratów; można je ułożyć na $11$ różnych sposobów.
Pole powierzchni a objętość
To dwie różne wielkości: pole podajemy w cm$^2$, objętość w cm$^3$. Pole powierzchni sześcianu to $6a^2$, a objętość to $a^3$.
Na co uważać
Przy zmianie wymiarów objętość rośnie w trzeciej potędze — podwojenie krawędzi sześcianu zwiększa objętość ośmiokrotnie, a nie dwukrotnie. Przy przeliczaniu jednostek objętości dzielimy przez $1000$ lub $1\,000\,000$, nie przez $100$.
Równania — schemat rozwiązywania i zadania tekstowe
Co to znaczy rozwiązać równanie
Rozwiązać równanie to znaleźć wszystkie liczby, które po wstawieniu w miejsce niewiadomej dają zdanie prawdziwe.
Zasada przekształceń
Równanie można zmieniać, o ile to samo robimy z obiema stronami:
- dodać lub odjąć tę samą liczbę
- pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera
Schemat rozwiązywania
- rozwiń nawiasy
- przenieś niewiadome na jedną stronę, liczby na drugą (zmieniając znak)
- zredukuj wyrazy podobne
- podziel przez współczynnik przy niewiadomej
- sprawdź, podstawiając wynik do pierwotnego równania
Przykład
$$5x-3=2x+9$$
$$5x-2x=9+3 \quad\Rightarrow\quad 3x=12 \quad\Rightarrow\quad x=4$$
Sprawdzenie: lewa strona $5\cdot4-3=17$, prawa $2\cdot4+9=17$. Zgadza się.
Trzy możliwe wyniki
- Jedno rozwiązanie — po redukcji zostaje $ax=b$ z $a\neq0$
- Brak rozwiązań (równanie sprzeczne) — zostaje fałsz, np. $3=5$
- Nieskończenie wiele (równanie tożsamościowe) — zostaje prawda, np. $0=0$
Zadania tekstowe — schemat
- oznacz szukaną wielkość literą i zapisz, co ona znaczy
- wyraź pozostałe wielkości przez tę literę
- ułóż równanie na podstawie warunku z treści
- rozwiąż i sprawdź, czy wynik ma sens (np. wiek nie może być ujemny)
- odpowiedz pełnym zdaniem na pytanie zadania
Na co uważać
Przy przenoszeniu przez znak równości zmieniamy znak składnika. Minus przed nawiasem dotyczy całego nawiasu: $7y-2(y+3)=7y-2y-6$, a nie $7y-2y+6$. Sprawdzenie wyniku kosztuje kilkanaście sekund i wyłapuje większość pomyłek rachunkowych.
Strona 4 z 9 · 212 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.