Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Kolejność działań i nawiasy
- Nawiasy — zawsze najpierw, od wewnątrz na zewnątrz
- Potęgi i pierwiastki
- Mnożenie i dzielenie — od lewej do prawej
- Dodawanie i odejmowanie — od lewej do prawej
- Potęga w nawiasie: $2^2 = 4$
- Nawias: $8 - 4 = 4$
- Mnożenie: $3 \cdot 4 = 12$
- Dodawanie: $2 + 12 = 14$
Ciąg arytmetyczny — definicja i własności
- Suma liczb $1+2+3+\ldots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ (Gauss)
- Prognozowanie liniowe (np. cena rośnie o stałą kwotę rocznie)
- Harmonogram spłat stałej kwoty rat kredytu
- Każdy wielomian liniowy generuje ciąg arytmetyczny
- $r = 9 - 5 = 4$, $a_1 = 5$
- $a_{20} = 5 + (20-1)\cdot 4 = 5 + 76 = 81$
- $S_{20} = \dfrac{20(5+81)}{2} = \dfrac{20 \cdot 86}{2} = 860$
Funkcja liniowa — własności i zastosowania
Wykres: linia prosta o nachyleniu $a$ i przecięciu z $OY$ w punkcie $(0, b)$.
Własności: dziedzina $\mathbb{R}$, zbiór wartości $\mathbb{R}$, różnowartościowa, ciągła.
- $a > 0$: rosnąca na całej dziedzinie
- $a \lt 0$: malejąca na całej dziedzinie
Kąt nachylenia prostej: $\tan\alpha = a$ (dla $a > 0$: kąt ostry; $a \lt 0$: rozwarty).
- MZ: $-2x+6=0 \Rightarrow x=3$, punkt $(3,0)$
- Przecięcie z $OY$: $(0,6)$
- $f(4) = -2\cdot4+6 = -2$, punkt $(4,-2)$
- Funkcja malejąca ($a=-2 \lt 0$)
Liczby naturalne, całkowite i wymierne
- Naturalne: liczenie sztuk, kolejności, indeksów
- Całkowite: temperatura, dług, poziom morza (−200 m)
- Wymierne: ułamki, proporcje, ceny (2,50 zł = 5/2)
- $-3 = \frac{-3}{1}$ — tak ✓
- $\frac{7}{2} = 3{,}5$ — tak ✓
- $0{,}25 = \frac{1}{4}$ — tak ✓
Procenty — podstawy
Czym jest procent
Procent to setna część całości. Zapis $p\%$ oznacza dokładnie $\frac{p}{100}$, więc $1\%=0{,}01$, $50\%=0{,}5$, a $100\%$ to cała wielkość.
Trzy podstawowe typy zadań
- Procent z liczby: $p\%$ z $a$ to $\frac{p}{100}\cdot a$. Przykład: $23\%$ z $400$ to $0{,}23\cdot400=92$.
- Liczba z procentu: jeśli $p\%$ liczby $a$ wynosi $w$, to $a=\frac{w\cdot100}{p}$. Przykład: $15\%$ pewnej liczby to $45$, więc liczba wynosi $\frac{4500}{15}=300$.
- Jakim procentem: liczba $w$ stanowi $\frac{w}{a}\cdot100\%$ liczby $a$. Przykład: $30$ to $\frac{30}{120}\cdot100\%=25\%$ ze $120$.
Podwyżki i obniżki
Wygodnie liczyć je jednym mnożeniem przez wskaźnik zmiany:
$$c_{\text{po}}=c\cdot\left(1\pm\frac{p}{100}\right)$$
Cena $80$ zł po obniżce o $25\%$: $80\cdot0{,}75=60$ zł.
Na co uważać
Procenty liczy się zawsze od aktualnej podstawy. Podwyżka o $20\%$, a potem obniżka o $20\%$ nie wraca do ceny wyjściowej: $100\to120\to96$. Podobnie dwie obniżki po $10\%$ to łącznie $19\%$, a nie $20\%$.
Statystyka opisowa — średnia, mediana, moda
- Średnia arytmetyczna $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \dfrac{\sum x_i}{n}$
- Mediana — wartość środkowa po posortowaniu danych. Dla parzystej liczby danych: średnia dwóch środkowych.
- Moda (dominanta) — wartość lub wartości występujące najczęściej w zbiorze.
- Średnia — gdy dane są równomiernie rozłożone, brak skrajnych wartości
- Mediana — gdy są wartości odstające (np. zarobki: kilka osób bardzo bogatych zawyża średnią)
- Moda — gdy szukasz "najpopularniejszego" (np. najczęstszy rozmiar buta w sklepie)
- Średnia: $\frac{2+4+4+6+8+10+100}{7} = \frac{134}{7} \approx 19{,}1$ (zawyżona przez 100!)
- Mediana: po sortowaniu środkowy to $6$ (lepiej oddaje "typową" wartość)
- Moda: $4$ (pojawia się 2 razy)
Wykresy funkcji prostoliniowych
Wykres: linia prosta. $a$ — współczynnik kierunkowy (nachylenie), $b$ — wyraz wolny (przecięcie z $OY$).
Miejsca zerowe: $x_0 = -\dfrac{b}{a}$ (gdy $a \neq 0$) — przecięcie z $OX$.
- Dwa punkty: wyznacz $(0, b)$ i $(−b/a, 0)$, połącz.
- Punkt + nachylenie: zacznij od $(0,b)$, przesuń o 1 w prawo i $a$ w górę.
- $a = \dfrac{7-3}{3-1} = \dfrac{4}{2} = 2$
- $b = y - ax = 3 - 2\cdot1 = 1$
- $f(x) = 2x + 1$
Diagram pudełkowy i analiza rozkładu danych
Diagram pudełkowy (boxplot) wizualizuje: minimum, $Q_1$, medianę, $Q_3$, maksimum (five-number summary).
Konstrukcja: pudełko od $Q_1$ do $Q_3$ (zawiera środkowe 50% danych); linia w środku = mediana; wąsy do min/max lub 1,5×IQR.
Punkty poza wąsami: wartości odstające (outliers).
Skośność: mediana bliżej $Q_1$ → skośność prawostronka; bliżej $Q_3$ → lewostronna.
Dane: 2, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 30. $Q_1=6$, $Me=9$, $Q_3=13{,}5$. Wartość 30 → outlier (>$Q_3+1{,}5\cdot7{,}5=24{,}75$).
Boxplot szybko ujawnia asymetrię i wartości odstające — jeden rzut oka na rozkład.
Potęgi i pierwiastki — podstawy
- $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ — dodaj wykładniki przy mnożeniu
- $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ — odejmij przy dzieleniu
- $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ — mnóż przy potęgowaniu potęgi
- $a^0 = 1$ (dla $a \neq 0$)
- $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$
- Licznik: $2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8$
- Dzielenie: $\dfrac{2^8}{2^4} = 2^{8-4} = 2^4 = 16$
Średnia, mediana, moda — porównanie miar tendencji
Średnia arytmetyczna: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ — wrażliwa na wartości odstające.
Mediana $Me$: środkowa wartość w uporządkowanym ciągu — odporna na odstające.
Moda $Mo$: wartość najczęstsza — może nie być jedyna lub może nie istnieć.
Dla symetrycznych rozkładów: $\bar{x} = Me = Mo$.
Rozkład lewostronnie skośny: $Mo > Me > \bar{x}$; prawostronnie: $Mo \lt Me \lt \bar{x}$.
Dane: 2, 3, 3, 5, 7, 100: $\bar{x}=20$, $Me=4$, $Mo=3$. Outlier 100 "zawyża" średnią — mediana lepiej opisuje typową wartość.
Zarobki → użyj mediany (Bill Gates wchodzi do baru i średnia zarobków gwałtownie rośnie).
Permutacje i silnia
Silnia: $n!=1\cdot2\cdot3\cdots n$; $0!=1$; $1!=1$.
Permutacja: liczba porządków $n$ różnych elementów: $P_n=n!$
Permutacja $k$-elementowa (wariacja bez powtórzeń): $V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ — wybieramy $k$ z $n$ i ustawiamy w kolejności.
Permutacje z powtórzeniami: $n$ elementów, gdzie $n_1$ jednakich, $n_2$ jednakich,…: $P=\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}$
Np. litery słowa ROWER: $\frac{5!}{2!}=60$ (R powtarza się 2 razy).
Ile różnych 3-cyfrowych kodów z cyfr $\{1,2,3,4,5\}$ bez powtórzeń? $V_5^3=\frac{5!}{2!}=60$.
Ile ustawień liter słowa MATEMATYKA? $\frac{10!}{3!\cdot2!\cdot2!}=75600$ (M×3, A×2, T×2).
Kolejność MA znaczenie → permutacje/wariacje. Wzór: ile jest kodów PIN? $10^4$ z powtórzeniami, $10\cdot9\cdot8\cdot7=5040$ bez.
Prawdopodobieństwo klasyczne — definicja i obliczenia
$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ — liczba przypadków sprzyjających / liczba wszystkich równie możliwych.
Warunki: zdarzenia elementarne jednakowo prawdopodobne, skończona przestrzeń.
$P(\emptyset)=0$, $P(\Omega)=1$, $P(A')=1-P(A)$.
Zdarzenia wykluczające się: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
Ogólnie: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
Rzut dwiema kostkami. $A$ = suma = 7: pary $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ → $P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
Wyjęcie karty czerwonej lub króla: $P=\frac{26+4-2}{52}=\frac{28}{52}=\frac{7}{13}$.
Liczenie przypadków = kombinatoryka: permutacje, wariacje, kombinacje.
Kombinacje — wybór bez kolejności
$\binom{n}{k}=C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ — liczba sposobów wyboru $k$ elementów z $n$, gdy kolejność NIE ma znaczenia.
Czytamy: „$n$ nad $k$" lub „$n$ po $k$".
Własności: $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$; $\binom{n}{1}=n$; $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.
Wzór Pascala: $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ (trójkąt Pascala).
Kombinacje z powtórzeniami: $\overline{C}_n^k=\binom{n+k-1}{k}$.
Komisja 3-osobowa z 7 kandydatów: $\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!\cdot4!}=35$ sposobów.
Loto 6/49: $\binom{49}{6}=13\,983\,816$ — tyle kombinacji (prawdopodobieństwo: $\approx1\text{ do }14$ mln).
Kombinacje vs permutacje: {A,B,C} i {B,C,A} to TA SAMA kombinacja, ale RÓŻNE permutacje. Klucz: „czy kolejność ma znaczenie?"
Ciąg geometryczny — definicja i własności
- Procent składany (kapitalizacja): $K_n = K_0 \cdot (1+p)^n$
- Wzrost/zanik wykładniczy (populacja, promieniotwórczość)
- Skale muzyczne: każda oktawa podwaja częstotliwość
- Ułamek dziesiętny okresowy jako suma nieskończona
- $q = 1{,}05$, $b_1 = 1000$
- $b_4 = 1000 \cdot 1{,}05^3 = 1000 \cdot 1{,}157625 \approx 1157{,}63$ zł
Czworokąty szczególne — własności
- Trapez: jedna para boków równoległych (podstawy)
- Równoległobok: dwie pary boków równoległych i równych; przeciwne kąty równe
- Prostokąt: równoległobok z kątami prostymi; przekątne równe
- Romb: równoległobok z wszystkimi bokami równymi; przekątne prostopadłe i dwusieczne kątów
- Kwadrat: prostokąt i romb jednocześnie; 4 równe boki, 4 kąty proste
- Trapez: $P = \dfrac{(a+b)\cdot h}{2}$, gdzie $a, b$ — podstawy, $h$ — wysokość
- Równoległobok: $P = a \cdot h$
- Prostokąt: $P = a \cdot b$
- Romb: $P = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$ (przekątne) lub $P = a \cdot h$
- Kwadrat: $P = a^2$
Dwumian Newtona
$(a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$
$k$-ty wyraz (licząc od $k=0$): $W_k=\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.
Trójkąt Pascala podaje współczynniki: wiersz $n$ to $\binom{n}{0},\binom{n}{1},\ldots,\binom{n}{n}$.
Wzory szczególne: $(1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k$; dla $x=1$: $2^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}$.
Suma modułów naprzemiennych: $(1-1)^n=0$ → $\sum(-1)^k\binom{n}{k}=0$.
$(x+2)^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16$; współczynnik przy $x^2$: $\binom{4}{2}\cdot1^2\cdot2^2=6\cdot4=24$.
$99^3=(100-1)^3=10^6-3\cdot10^4+3\cdot10^2-1=970299$.
Wyraz ogólny: $\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$ — potęgi sumują się do $n$. Szukasz wyrazu z $x^m$: ustaw wykładnik $x$ = $m$ i wyznacz $k$.
Funkcja kwadratowa — postacie i wierzchołek
- Ogólna: $f(x) = ax^2 + bx + c$
- Kanoniczna (wierzchołkowa): $f(x) = a(x-p)^2 + q$, gdzie $W(p,q)$ — wierzchołek
- Iloczynowa (gdy $\Delta > 0$): $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$
- $\Delta > 0$: dwa miejsca zerowe
- $\Delta = 0$: jedno MZ (wierzchołek na osi OX)
- $\Delta \lt 0$: brak MZ (parabola nie przecina OX)
- $\Delta = 64 - 48 = 16$; $\sqrt{\Delta}=4$
- $x_{1,2} = \dfrac{8 \pm 4}{4}$: $x_1=1$, $x_2=3$
- $p = \dfrac{1+3}{2} = 2$; $q = f(2) = 8-16+6 = -2$
- Postać kanoniczna: $f(x)=2(x-2)^2-2$
Układy równań — metody rozwiązywania (LO)
- Podstawiania: z jednego równania wyraź $x$ (lub $y$) i podstaw do drugiego
- Eliminacji (przeciwnych wsp.): pomnóż równania i dodaj stronami
- Wyznacznikowa (Cramera): $x=\dfrac{W_x}{W}$, $y=\dfrac{W_y}{W}$ — dla układów 2×2 i 3×3
- $W = 3\cdot(-1)-1\cdot2 = -5$
- $W_x = 8\cdot(-1)-1\cdot2 = -10$; $x = \frac{-10}{-5} = 2$
- $W_y = 3\cdot1-1\cdot8 = -5$; $y = \frac{-5}{-5} = 1$
Ułamki — definicja i rodzaje
- Skracanie: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ — podziel licznik i mianownik przez NWD
- Dodawanie: sprowadź do wspólnego mianownika (NWW), potem dodaj liczniki
- Mnożenie: licznik × licznik, mianownik × mianownik
- Dzielenie: mnóż przez odwrotność: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$
- NWW(3,4) = 12
- $\frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12} = 1\frac{5}{12}$
Rachunek prawdopodobieństwa — reguły dodawania i mnożenia
Reguła dodawania: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
Zdarzenia wykluczające się: $P(A\cap B)=0\Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
Reguła mnożenia: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$.
Zdarzenia niezależne: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.
Prawdopodobieństwo warunkowe: $P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ — prawdopodobieństwo $B$ pod warunkiem $A$.
Zdarzenie przeciwne: $P(\bar A)=1-P(A)$.
Dwie kostki: $P(\text{suma}\geq10)$: pary $(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)=6$ spośród $36$. $P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
Karta z talii 52: $P(\text{as lub kier})=\frac{4}{52}+\frac{13}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}$.
OR → dodaj (odejmij część wspólną). AND → pomnóż. Niezależne zdarzenia: informacja o jednym NIE zmienia szansy drugiego.
Schemat Bernoulliego — próby niezależne
$n$ niezależnych prób, każda z prawdopodobieństwem sukcesu $p$ (i porażki $q=1-p$).
Prawdopodobieństwo dokładnie $k$ sukcesów: $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k q^{n-k}$.
$X\sim B(n,p)$ — rozkład dwumianowy.
Wartość oczekiwana: $E(X)=np$.
Wariancja: $\text{Var}(X)=npq$; odchylenie: $\sigma=\sqrt{npq}$.
Zastosowanie: rzuty monetą, kontrola jakości, ankiety (tak/nie).
5 rzutów monetą, $P(\text{dokładnie 3 orły})=\binom{5}{3}(\frac{1}{2})^3(\frac{1}{2})^2=10\cdot\frac{1}{32}=\frac{5}{16}\approx31{,}25\%$.
Testy: 10 pytań, każde z $p=0{,}25$ na sukces. $E=10\cdot0{,}25=2{,}5$ poprawnych odpowiedzi.
Wymaga: $n$ prób niezależnych, stałe $p$, tylko 2 wyniki. Loto NIE spełnia warunku stałego $p$ (losowanie bez zwracania).
Procenty — definicja i obliczenia
- Obliczyć $p\%$ z $W$: wynik $= \frac{p}{100} \cdot W$
- Obliczyć, ile $\%$ liczba $x$ stanowi z $W$: wynik $= \frac{x}{W} \cdot 100\%$
- Obliczyć całość $W$, jeśli $x$ stanowi $p\%$: wynik $= \frac{x \cdot 100}{p}$
- Rabaty i ceny: $-15\%$ od ceny
- Podatki: VAT 23%
- Odsetki bankowe: lokata 4% w skali roku
- Wyniki ankiet i statystyki
- Rabat: $\frac{25}{100} \cdot 180 = 0{,}25 \cdot 180 = 45$ zł
- Cena po rabacie: $180 - 45 = 135$ zł
- Alternatywnie: $180 \cdot 0{,}75 = 135$ zł (mnożysz przez $1 - 0{,}25$)
Rozstęp i kwartyle — miary rozproszenia
Rozstęp: $R = x_{max} - x_{min}$ — najprostsza miara rozproszenia.
Kwartyle: $Q_1$ (25%), $Q_2 = Me$ (mediana, 50%), $Q_3$ (75%).
Rozstęp ćwiartkowy: $IQR = Q_3 - Q_1$ — odporna miara rozproszenia.
Wyznaczanie kwartyli: uporządkuj dane, podziel na cztery równe ćwiartki.
Wartości odstające (outliers): $x \lt Q_1 - 1{,}5\cdot IQR$ lub $x > Q_3 + 1{,}5\cdot IQR$.
Dane: 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12. $Q_1=4$, $Q_2=7$, $Q_3=10$. $IQR=6$. $R=10$.
$IQR$ jest odporny na wartości odstające; rozstęp — bardzo wrażliwy.
Prawdopodobieństwo zdarzeń zależnych i niezależnych
Zdarzenia niezależne: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
Zdarzenia zależne: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$
$P(B|A)$ — prawdopodobieństwo warunkowe $B$ pod warunkiem $A$.
Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe: $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
Dodawanie: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Urna: 4 białe, 3 czarne. Losujemy 2 bez zwracania. $P(\text{obie białe}) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} = \frac{2}{7}$.
Ze zwracaniem → niezależne; bez zwracania → zależne (skład urny się zmienia).
Strona 1 z 9 · 212 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.