Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Figury płaskie — przegląd (klasa 8 SP)
Wielokąty
Trójkąty, czworokąty i wielokąty foremne to figury ograniczone odcinkami.
Koło i okrąg
Okrąg to linia, a koło to okrąg wraz z wnętrzem.
Suma kątów
Trójkąt $180^\circ$, czworokąt $360^\circ$, a $n$-kąt $(n-2)\cdot180^\circ$.
Pola
Prostokąt $a\cdot b$, trójkąt $\frac{1}{2}ah$, koło $\pi r^2$.
Oś symetrii i środek symetrii (klasa 8 SP)
Oś symetrii
To prosta, względem której figura odbija się na siebie. Kwadrat ma $4$ osie symetrii, a prostokąt $2$.
Środek symetrii
To punkt, względem którego figura jest symetryczna — obrót o $180^\circ$ nakłada ją na siebie.
Przykłady
Koło ma nieskończenie wiele osi symetrii oraz środek symetrii w środku.
Litery
Litera A ma oś symetrii, a litera S ma środek symetrii.
Diagramy i wykresy (klasa 8 SP)
Rodzaje
Diagramy słupkowe, kołowe i wykresy liniowe służą do przedstawiania danych.
Diagram kołowy
Cały okrąg to $100\%$ (czyli $360^\circ$); wycinek odpowiada udziałowi danej części.
Odczyt
Z diagramów odczytujemy wartości i porównujemy kategorie.
Na co uważać
Zwracaj uwagę na skalę osi — może nie zaczynać się od zera.
Długość okręgu i pole koła — obliczenia (klasa 8 SP)
Wzory
Długość okręgu $L=2\pi r$, a pole koła $P=\pi r^2$.
Ze średnicy
$L=\pi d$, ponieważ $d=2r$.
Przykład
Dla $r=4$: $L=8\pi$ oraz $P=16\pi$.
Odwrotnie
Znając obwód, wyznaczymy promień: z $L=2\pi r$ mamy $r=\frac{L}{2\pi}$.
Pole powierzchni graniastosłupa (klasa 8 SP)
Wzór
$P_c=2P_p+P_b$.
Elementy
$P_p$ to pole podstawy (są dwie), $P_b$ to pole powierzchni bocznej.
Powierzchnia boczna
Dla graniastosłupa prostego $P_b=Ob_p\cdot H$.
Przykład
Sześcian o krawędzi $a$: $P_c=6a^2$.
Pole powierzchni ostrosłupa (klasa 8 SP)
Wzór
$P_c=P_p+P_b$.
Elementy
$P_p$ pole podstawy (jedno), $P_b$ pole powierzchni bocznej złożonej ze ścian trójkątnych.
Ściana boczna
Pole trójkąta bocznego liczymy z wysokości ściany bocznej.
Przykład
Ostrosłup ma jedną podstawę i trójkątne ściany schodzące się w wierzchołku.
Potęgi (klasa 8 SP)
Definicja
$a^n$ to iloczyn $n$ czynników równych $a$.
Prawa działań
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$.
Wykładnik zerowy
$a^0=1$ dla $a\neq0$.
Notacja wykładnicza
Duże liczby zapisujemy jako $c\cdot10^k$.
Proste doświadczenia losowe (klasa 8 SP)
Prawdopodobieństwo
$P(A)=\frac{\text{liczba wyników sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich wyników}}$.
Zakres
$0\le P(A)\le1$; zdarzenie pewne ma $1$, niemożliwe $0$.
Przykład
Rzut kostką: $P(\text{szóstka})=\frac16$.
Reguła mnożenia
Liczbę wyników w etapach mnożymy.
Symetralna odcinka i dwusieczna kąta (klasa 8 SP)
Symetralna odcinka
Prosta prostopadła do odcinka przechodząca przez jego środek; jej punkty są równo oddalone od końców odcinka.
Dwusieczna kąta
Półprosta dzieląca kąt na dwa równe; jej punkty są równo oddalone od ramion kąta.
Zastosowanie
Konstrukcje geometryczne, wyznaczanie środka okręgu opisanego i wpisanego.
Czy statystyka mówi prawdę (klasa 8 SP)
Interpretacja danych
Te same dane można przedstawić tak, by sugerowały różne wnioski.
Pułapki wykresów
Ucięta oś, nierówne skale lub dobór okresu mogą wprowadzać w błąd.
Krytyczne czytanie
Warto sprawdzać źródło danych, wielkość próby i sposób prezentacji.
Proporcjonalność prosta (klasa 8 SP)
Definicja
Wielkości są wprost proporcjonalne, gdy ich iloraz jest stały: $y=ax$.
Współczynnik
$a$ to współczynnik proporcjonalności.
Wykres
Prosta przechodząca przez początek układu.
Przykład
Droga przy stałej prędkości jest wprost proporcjonalna do czasu.
Wielokąty foremne (klasa 8 SP)
Definicja
Wielokąt foremny ma wszystkie boki i wszystkie kąty równe.
Kąt wewnętrzny
$\alpha=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$.
Przykłady
Trójkąt równoboczny ($60^\circ$), kwadrat ($90^\circ$), sześciokąt foremny ($120^\circ$).
Okrąg
Każdy wielokąt foremny można wpisać w okrąg i opisać na okręgu.
Zbieranie i porządkowanie danych (klasa 8 SP)
Zbieranie
Dane gromadzimy przez obserwacje, pomiary lub ankiety.
Porządkowanie
Zestawiamy je w tabelach częstości i przedstawiamy na diagramach.
Rodzaje diagramów
Słupkowy, kołowy, liniowy — dobierany do rodzaju danych.
Miary
Z danych wyznaczamy średnią, medianę i dominantę.
Praktyczna matematyka (klasa 8 SP)
Procenty w życiu
Obliczamy podwyżki, obniżki, podatki i odsetki.
Jednostki
Zamieniamy jednostki długości, masy, czasu i pola.
Skala i mapy
Skala wiąże odległość na mapie z odległością rzeczywistą.
Prędkość
$v=\frac{s}{t}$ w zadaniach o ruchu.
Twierdzenie matematyczne i jego dowód (klasa 8 SP)
Budowa
Twierdzenie ma założenie („jeżeli") i tezę („to").
Dowód
To rozumowanie wyprowadzające tezę z założeń.
Twierdzenie odwrotne
Powstaje przez zamianę założenia z tezą — nie zawsze prawdziwe.
Kontrprzykład
Jeden przykład wystarczy, aby obalić zdanie ogólne.
Sposoby rozwiązywania zadań (klasa 8 SP)
Analiza
Przeczytaj treść, wypisz dane i szukane, wykonaj rysunek.
Plan
Dobierz metodę: równanie, wzór, proporcję.
Wykonanie
Prowadź rachunki starannie, pilnuj jednostek.
Sprawdzenie
Oceń, czy wynik ma sens i odpowiedz pełnym zdaniem.
Przystawanie trójkątów w dowodach (klasa 8 SP)
Cechy przystawania
bok-bok-bok (BBB), bok-kąt-bok (BKB), kąt-bok-kąt (KBK).
Wniosek
Z przystawania wynika równość odpowiednich boków i kątów.
Zastosowanie
Dowodzimy równości odcinków lub kątów, wskazując przystające trójkąty.
Bryły — objętości i pola (klasa 8 SP)
Objętości
Graniastosłup $V=P_p H$; ostrosłup $V=\frac{1}{3}P_p H$.
Pola
Pole powierzchni to suma pól z siatki bryły.
Strategia
Wypisz dane, rozpoznaj bryłę, dobierz wzór, pilnuj jednostek.
Przykład
Sześcian o krawędzi $a$: $V=a^3$, $P_c=6a^2$.
Graniastosłupy i ostrosłupy — zadania (klasa 8 SP)
Graniastosłup
Dwie równoległe podstawy i ściany boczne będące prostokątami; $V=P_p H$.
Ostrosłup
Jedna podstawa i ściany boczne trójkątne schodzące się w wierzchołku; $V=\frac{1}{3}P_p H$.
Pola
$P_c=2P_p+P_b$ (graniastosłup), $P_c=P_p+P_b$ (ostrosłup).
Kąty — zadania (klasa 8 SP)
Kąty przyległe i wierzchołkowe
Przyległe sumują się do $180^\circ$, wierzchołkowe są równe.
Proste równoległe
Kąty naprzemianległe i odpowiadające są równe.
Wielokąty
Suma kątów wewnętrznych $n$-kąta to $(n-2)\cdot180^\circ$.
Strategia
Zaznacz znane kąty i korzystaj z zależności między nimi.
Strona 9 z 9 · 212 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.