Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Funkcje cyklometryczne — arcsin, arccos, arctg, arccotg
- $\arcsin x$: dziedzina $[-1,1]$, wartości $\left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$; $\arcsin x = \alpha \Leftrightarrow \sin\alpha = x$
- $\arccos x$: dziedzina $[-1,1]$, wartości $[0, \pi]$; $\arccos x = \alpha \Leftrightarrow \cos\alpha = x$
- $\text{arctg}\, x$: dziedzina $\mathbb{R}$, wartości $\left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)$; $\text{arctg}\, x = \alpha \Leftrightarrow \text{tg}\,\alpha = x$
- $\text{arccotg}\, x$: dziedzina $\mathbb{R}$, wartości $(0, \pi)$
- $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$ dla $x \in [-1,1]$
- $\text{arctg}\, x + \text{arccotg}\, x = \dfrac{\pi}{2}$ dla $x \in \mathbb{R}$
- $\arcsin(-x) = -\arcsin x$ (nieparzysta); $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$
- $\arcsin\!\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \tfrac{\pi}{4} = 45°$
- $\arccos(-1) = \pi = 180°$
- $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \tfrac{\pi}{3} = 60°$
- Równanie: $\sin x = 0{,}6 \Rightarrow x = \arcsin(0{,}6) \approx 36{,}87°$ (plus okresy)
Pochodna — pojęcie i interpretacja
- $(c)'= 0$ (stała)
- $(x^n)' = nx^{n-1}$
- $(\sin x)' = \cos x$; $(\cos x)' = -\sin x$
- $(e^x)' = e^x$; $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$
- Reguła łańcuchowa: $[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
- $(fg)' = f'g + fg'$; $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$
- $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2-2x-3) = 3(x-3)(x+1)$
- $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 3$ lub $x = -1$
- $f''(x) = 6x - 6$; $f''(-1) = -12 \lt 0$ → maksimum; $f''(3) = 12 > 0$ → minimum
Wzory trygonometryczne — jedynka i redukcyjne
- $\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha$; $\cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha$
- $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$; $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ (parzystość/nieparzystość)
- $\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \cos\alpha$; $\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \sin\alpha$ (kofunkcje)
- $\sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$
- $\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$
- $\cos\alpha = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$ (I ćwiartka: $\cos > 0$)
- $\tan\alpha = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$
- $\sin 2\alpha = 2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5} = \frac{24}{25}$
Granica funkcji — definicja i techniki obliczania
Definicja Heinego: $\lim_{x\to a}f(x)=L\Leftrightarrow$ dla każdego ciągu $x_n\to a$ (z $x_n\neq a$) mamy $f(x_n)\to L$.
Definicja Cauchy'ego: $\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0$: $0\lt |x-a|\lt \delta\Rightarrow|f(x)-L|\lt \varepsilon$.
Techniki dla $\frac{0}{0}$: upraszczaj algebrycznie (faktoryzacja, wzory WSM), mnóż przez sprzężenie.
Dla $\frac{\infty}{\infty}$: dziel przez najwyższą potęgę $x$.
Ważne granice: $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$; $\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$; $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$.
$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=4$.
$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-5}=\lim_{x\to\infty}\frac{3+1/x^2}{1-5/x^2}=3$.
Forma $\frac{0}{0}$ to niedookreślona — NIE wynika z niej wartość. Zawsze próbuj uprościć. $\frac{k}{0}$ ($k\neq0$) → $\pm\infty$ lub brak granicy.
Ciągłość funkcji — punkty i rodzaje nieciągłości
$f$ ciągła w $a$ gdy: (1) $f(a)$ istnieje, (2) $\lim_{x\to a}f(x)$ istnieje, (3) $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
Rodzaje nieciągłości:
- Usuwalna: $\lim_{x\to a}f(x)=L$, ale $f(a)\neq L$ lub nie istnieje → można „naprawić" przez definicję $f(a)=L$.
- Skokowa: lewostronna $\neq$ prawostronna granica. Skok = różnica granic.
- Istotna (nieokreślona): przynajmniej jedna granica jednostronna $=\pm\infty$ lub nie istnieje.
$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$: nieciągłość usuwalna w $x=1$ (granica $=2$, $f(1)$ nie istnieje).
$f(x)=\text{sgn}(x)$: skok w $x=0$ (lewa granica $-1$, prawa $+1$).
$f(x)=\frac{1}{x}$: nieciągłość istotna w $x=0$.
Funkcje: wielomian, trygonometryczne, exp, log — ciągłe na całej dziedzinie. Złożenie funkcji ciągłych — ciągłe.
Hiperbola i parabola — równania i własności
Hiperbola: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$; $c^2=a^2+b^2$; $|PF_1|-|PF_2|=\pm2a$.
Asymptoty: $y=\pm\frac{b}{a}x$; mimośród $e=\frac{c}{a}>1$.
Parabola: $y^2=2px$ (otwarta w prawo); ognisko $F(\frac{p}{2},0)$; kierownica $x=-\frac{p}{2}$.
Definicja paraboli: $|PF|=d(P, \text{kierownica})$.
Parabola $y=ax^2+bx+c$: wierzchołek $(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})$; ognisko w $\frac{1}{4a}$ od wierzchołka.
$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$: $a=2$, $b=3$, asymptoty $y=\pm\frac{3}{2}x$.
Krzywe stożkowe to przekroje stożka: okrąg ($e=0$), elipsa, parabola ($e=1$), hiperbola ($e>1$).
Granica i ciągłość funkcji — definicja Cauchy'ego
Definicja $\varepsilon$-$\delta$ (Cauchy): $\lim_{x\to a} f(x) = L$ gdy:
$$\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0:\; 0\lt |x-a|\lt \delta \Rightarrow |f(x)-L|\lt \varepsilon$$Ciągłość w punkcie $a$: $\lim_{x\to a^-}f(x) = \lim_{x\to a^+}f(x) = f(a)$.
Nieciągłości: usuwalna ($\lim$ istnieje, ale $\ne f(a)$), skokowa (granice jednostronne różne), istotna (brak granicy).
Tw. Weierstrassa: funkcja ciągła na $[a,b]$ osiąga max i min. Tw. Darboux (wartości pośredniej): $f(a)\lt 0\lt f(b)$ → $\exists c\in(a,b): f(c)=0$.
Wielomiany, funkcje trygonometryczne, wykładnicze — ciągłe wszędzie. $\frac{1}{x}$ — nieciągła w $x=0$.
Funkcja złożona — definicja i obliczenia
- Reguła łańcuchowa w różniczkowaniu
- Zmiana zmiennej w całkowaniu
- Programowanie funkcyjne (compose)
Funkcja odwrotna — kiedy istnieje i jak ją wyznaczać
- $\ln$ jako odwrotność $e^x$
- $\arcsin$ jako odwrotność $\sin$ (na odpowiednim przedziale)
- Kryptografia (klucz publiczny i prywatny)
Przekształcenia wykresów funkcji
• $y=f(x)+c$: przesunięcie o $c$ w górę
• $y=f(x-d)$: przesunięcie o $d$ w prawo
• $y=-f(x)$: odbicie względem osi $x$
• $y=f(-x)$: odbicie względem osi $y$
• $y=af(x)$: rozciągnięcie pionowe ($a>1$) lub ściskanie ($0\lt a\lt 1$)
- Rysowanie wykresów skomplikowanych funkcji
- Przesunięcia i skalowania w grafice
- Dopasowywanie modeli do danych
Badanie przebiegu zmienności funkcji — schemat
Pełny schemat badania funkcji:
- Dziedzina $D$
- Parzysta/nieparzysta/brak symetrii
- Miejsca zerowe
- Granice i asymptoty
- Pochodna $f'$ → ekstrema i monotoniczność
- Pochodna $f''$ → wypukłość i punkty przegięcia
- Wykres
Ekstrema: $f'(c)=0$ i zmiana znaku $f'$ → minimum lub maksimum lokalne.
Wypukłość: $f''>0$ → wypukła w górę (łuk), $f''\lt 0$ → wklęsła.
Punkt przegięcia: $f''=0$ i zmiana znaku $f''$.
$f(x)=x^3-3x$: $f'=3x^2-3=0 \Rightarrow x=\pm 1$; $f''=6x$: min w $x=1$ (f''=6>0), max w $x=-1$.
Zawsze sprawdzaj dziedzinę przed różniczkowaniem — logarytmy i pierwiastki mają ograniczenia.
Funkcja wymierna — wykres i asymptoty
• Pionowa: $x=a$ gdy $Q(a)=0$ i $P(a)\neq0$
• Pozioma: $y=L$ gdy $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$
• Ukośna: $y=ax+b$ gdy $\deg P = \deg Q+1$
- Analiza zachowania funkcji na krańcach dziedziny
- Modelowanie odpowiedzi nasyceniowych
- Fizyka (opór, ciśnienie)
Ekstremum lokalne funkcji — warunki
- Optymalizacja — szukanie optymalnych wartości
- Analiza rentowności, minimalnych kosztów
- Fizyka — stany równowagi
Monotoniczność funkcji — warunki z pochodną
• $f\'(x)\lt 0$ na $(a,b)$ → $f$ malejąca na $(a,b)$
• $f\'(x)=0$ na $(a,b)$ → $f$ stała na $(a,b)$
- Wyznaczanie przedziałów monotoniczności
- Analiza trendów wzrostowych i spadkowych
- Ekonomia — kiedy przychód rośnie
Szereg Taylora i Maclaurina — rozwinięcia funkcji
Podstawowe rozwinięcia:
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots$ (wszystkie $x$)
$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots$
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots$ ($|x|\lt 1$)
Dla małych $x$: $\sin x \approx x$, $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$, $e^x \approx 1+x$ — aproksymacje liniowe i kwadratowe.
Asymptoty — znajdowanie dla złożonych funkcji
- Pełna analiza wykresu funkcji
- Szkicowanie wykresów bez użycia technologii
- Modelowanie zachowań granicznych
Miejsca zerowe a wykres funkcji
- Rozwiązywanie równań graficznie
- Faktoryzacja wielomianów
- Analiza modeli fizycznych (równowaga)
Funkcja kwadratowa — analiza pełna (postaci, wierzchołek)
- Wyznaczanie maksimum/minimum
- Rzut ukośny (tor jako parabola)
- Optymalizacja (zysk, powierzchnia)
Funkcje trygonometryczne — definicje jednostkowe
- Fale i drgania
- Wektory sił w fizyce
- Grafika komputerowa (rotacje)
Równania trygonometryczne — metody rozwiązywania
Podstawowe rozwiązania ogólne:
$\sin x = a$ → $x = (-1)^k \arcsin a + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$
$\cos x = a$ → $x = \pm \arccos a + 2k\pi$
$\tan x = a$ → $x = \arctan a + k\pi$
Techniki: podstawienie $t = \tan\frac{x}{2}$ (Weierstrass), tożsamości sumy-iloczynu, sprowadzenie do jednej funkcji.
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ — eliminacja jednej funkcji.
$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$: podstaw $t = \sin x$ → $(2t+1)(t-1)=0$ → $\sin x = -\frac{1}{2}$ lub $\sin x = 1$.
Zawsze sprawdź, czy rozwiązania należą do żądanego przedziału (np. $[0°, 360°]$).
Dziedzina i zbiór wartości funkcji
- Wyznaczanie ograniczeń w zadaniach
- Określanie sensu modeli matematycznych
- Sprawdzanie poprawności obliczeń
Funkcja parzysta i nieparzysta — symetrie wykresu
• Funkcja nieparzysta: $f(-x)=-f(x)$. Wykres symetryczny względem początku układu.
- Upraszczanie obliczeń całek (na symetrycznych przedziałach)
- Analiza Fouriera (szeregi)
- Fizyka — parzystość funkcji falowych
Granica funkcji — definicja i obliczenia
- Definicja pochodnej
- Ciągłość funkcji
- Reguła de l'Hôpitala (granice nieoznaczone)
Przestrzenie liniowe — definicja i przykłady
Przestrzeń liniowa (wektorowa) nad ciałem $\mathbb{F}$: zbiór $V$ z działaniami $+$ i $\cdot$ spełniającymi 8 aksjomatów (łączność, przemienność, element zerowy, element przeciwny, rozdzielność skalara).
Przykłady: $\mathbb{R}^n$, zbiór wielomianów stopnia $\le n$, macierze $m\times n$, funkcje ciągłe $C[a,b]$.
Podprzestrzeń: podzbiór zamknięty na $+$ i $\cdot$ i zawierający $\mathbf{0}$.
Baza: liniowo niezależny układ generatorów. $\dim V$ = liczba elementów bazy.
Wielomiany $\le 2$: $\dim=3$, baza $\{1, x, x^2\}$. $p(x)=2+3x-x^2 = 2\cdot1+3\cdot x+(-1)\cdot x^2$.
Każda baza przestrzeni skończeniewymiarowej ma tę samą liczbę elementów = $\dim V$.
Strona 1 z 12 · 277 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.