Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny (klasa 5 SP)
Metoda
Ułamek zwykły zamieniamy na dziesiętny, dzieląc licznik przez mianownik.
Przykłady
$$\frac{1}{2}=0{,}5,\qquad \frac{3}{4}=0{,}75,\qquad \frac{1}{5}=0{,}2$$
Rozszerzanie do 10, 100
Czasem wygodnie rozszerzyć ułamek do mianownika $10$ lub $100$: $\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=0{,}75$.
Rozwinięcia okresowe
Niektóre ułamki dają rozwinięcie nieskończone okresowe, np. $\frac{1}{3}=0{,}333\ldots$
Budowanie wyrażeń algebraicznych (klasa 6 SP)
Czym jest wyrażenie algebraiczne
Wyrażenie algebraiczne zawiera liczby, litery (zmienne) i znaki działań, na przykład $2x+3$.
Zapisywanie treści symbolami
Słowa zamieniamy na symbole: „o $3$ więcej niż $x$" to $x+3$, a „dwa razy $x$" to $2x$.
Przykłady
Suma liczb $a$ i $b$: $a+b$. Iloczyn: $a\cdot b$. Liczba o $5$ mniejsza od $x$: $x-5$.
Wartość wyrażenia
Podstawiając liczby za litery, obliczamy wartość: dla $x=4$ wyrażenie $2x+3$ ma wartość $11$.
Pojęcie procentu (klasa 6 SP)
Czym jest procent
Procent to setna część całości: $1\%=\frac{1}{100}=0{,}01$.
Najważniejsze wartości
$50\%$ to połowa, $25\%$ to jedna czwarta, a $100\%$ to cała całość.
Procent liczby
Aby obliczyć $p\%$ z liczby, mnożymy ją przez $\frac{p}{100}$. Np. $20\%$ z $50$ to $50\cdot0{,}2=10$.
Zastosowanie
Procenty spotykamy w rabatach, podwyżkach i oprocentowaniu.
Zamiana procentu na ułamek i odwrotnie (klasa 6 SP)
Procent na ułamek
Procent zapisujemy jako ułamek o mianowniku $100$: $30\%=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}$.
Ułamek na procent
Ułamek zamieniamy na procent, mnożąc przez $100\%$: $\frac{1}{4}=25\%$.
Procent na ułamek dziesiętny
Dzielimy przez $100$: $7\%=0{,}07$.
Przykłady
$$50\%=\frac{1}{2},\qquad 0{,}2=20\%$$
Jakim procentem jednej liczby jest druga (klasa 6 SP)
Metoda
Aby obliczyć, jakim procentem liczby $b$ jest liczba $a$, dzielimy $a$ przez $b$ i mnożymy przez $100\%$.
Wzór
$$\frac{a}{b}\cdot100\%$$
Przykład
Jakim procentem liczby $50$ jest $10$? $\frac{10}{50}\cdot100\%=20\%$.
Na co uważać
W mianowniku stoi całość — liczba, do której odnosimy porównanie.
Obliczenia pieniężne i procentowe (klasa 6 SP)
Procent kwoty
Rabat lub podatek to procent kwoty: $20\%$ z $80$ zł to $16$ zł.
Podwyżka
Cena po podwyżce o $p\%$ to cena powiększona o $p\%$ jej wartości: $100$ zł $+10\%=110$ zł.
Obniżka
Cena po obniżce o $p\%$ to cena pomniejszona o $p\%$: $100$ zł $-20\%=80$ zł.
Zastosowanie
Tak liczymy ceny w sklepach oraz oprocentowanie lokat i kredytów.
Działania na liczbach całkowitych (klasa 6 SP)
Liczby całkowite
To liczby $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots$ — dodatnie, ujemne oraz zero.
Dodawanie i odejmowanie
Dodanie liczby ujemnej to odejmowanie: $5+(-3)=2$. Odjęcie liczby ujemnej to dodawanie: $5-(-3)=8$.
Mnożenie i dzielenie
Wynik o zgodnych znakach jest dodatni, o różnych — ujemny: $(-2)\cdot(-3)=6$, a $(-2)\cdot3=-6$.
Wartość bezwzględna
$|-4|=4$ — to odległość liczby od zera na osi liczbowej.
Kolejność wykonywania działań (klasa 6 SP)
Kolejność
Najpierw nawiasy, potem potęgi, następnie mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.
Przykład
$$10-2\cdot3+4=10-6+4=8$$
Z potęgami
$2+3^2=2+9=11$ — potęgę liczymy przed dodawaniem.
Nawiasy
Nawiasy zmieniają kolejność: $(10-2)\cdot3=24$.
Potęgi i ich własności (klasa 6 SP)
Iloczyn potęg
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ — przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.
Iloraz potęg
$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ dla $a\neq0$ — odejmujemy wykładniki.
Potęga potęgi
$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$ — wykładniki mnożymy.
Przykłady
$$2^3\cdot2^2=2^5=32,\qquad (3^2)^2=3^4=81$$
Upraszczanie wyrażeń algebraicznych (klasa 6 SP)
Wyrazy podobne
Wyrazy podobne mają tę samą część literową, np. $3x$ i $5x$. Można je dodawać: $3x+5x=8x$.
Redukcja
Upraszczanie to redukcja wyrazów podobnych: $2a+3a-a=4a$.
Opuszczanie nawiasów
$2(x+3)=2x+6$. Przed znakiem minus zmieniamy znaki: $-(x-2)=-x+2$.
Przykład
$$4x+2(x-1)=4x+2x-2=6x-2$$
Wartość liczbowa wyrażenia (klasa 6 SP)
Co to jest
Wartość liczbowa wyrażenia to liczba otrzymana po podstawieniu konkretnych liczb za litery.
Przykład
Dla $x=3$ wyrażenie $2x+1$ ma wartość $2\cdot3+1=7$.
Więcej zmiennych
Dla $a=2$ i $b=5$ wyrażenie $a+b$ ma wartość $7$, a $a\cdot b$ wartość $10$.
Kolejność
Po podstawieniu zachowujemy kolejność działań: dla $x=4$ mamy $x^2-1=16-1=15$.
Równania — wprowadzenie (klasa 6 SP)
Czym jest równanie
Równanie to równość zawierająca niewiadomą, na przykład $x+3=7$.
Rozwiązanie
Rozwiązać równanie to znaleźć wartość niewiadomej spełniającą równość. Dla $x+3=7$ jest to $x=4$.
Metoda
Wykonujemy te same działania po obu stronach: od $x+3=7$ odejmujemy $3$ i otrzymujemy $x=4$.
Sprawdzenie
Podstawiamy wynik: $4+3=7$ — równość jest prawdziwa.
Działania na ułamkach — powtórzenie (klasa 6 SP)
Dodawanie i odejmowanie
Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika i dodajemy (odejmujemy) liczniki: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$.
Mnożenie
Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik: $\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$.
Dzielenie
Dzielenie to mnożenie przez odwrotność: $\frac{1}{2}:\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot4=2$.
Skracanie
Wynik przedstawiamy w postaci nieskracalnej.
Graniastosłupy — powtórzenie (klasa 6 SP)
Budowa
Graniastosłup ma dwie przystające podstawy oraz ściany boczne, które w graniastosłupie prostym są prostokątami.
Objętość
$$V=P_p\cdot H$$ pole podstawy razy wysokość.
Pole powierzchni
$$P_c=2P_p+P_b$$ gdzie $P_b$ to pole powierzchni bocznej.
Przykład: sześcian
Dla sześcianu o krawędzi $a$: $V=a^3$ oraz $P_c=6a^2$.
Pola wielokątów — powtórzenie (klasa 6 SP)
Prostokąt i kwadrat
Pole prostokąta o bokach $a$ i $b$: $a\cdot b$. Pole kwadratu o boku $a$: $a^2$.
Trójkąt
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$ podstawa razy wysokość podzielone przez dwa.
Równoległobok i romb
Pole równoległoboku: $a\cdot h$. Pole rombu: $\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2$ (połowa iloczynu przekątnych).
Trapez
$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$
Zadania tekstowe z równaniami (klasa 6 SP)
Jak rozwiązywać
Niewiadomą oznaczamy literą, np. $x$, i zapisujemy treść zadania równaniem.
Przykład
„Liczba powiększona o $5$ daje $12$": $x+5=12$, więc $x=7$.
Kolejne kroki
1. Wprowadź niewiadomą. 2. Ułóż równanie. 3. Rozwiąż je. 4. Sprawdź i zapisz odpowiedź.
Sprawdzenie
Podstawiamy wynik do treści zadania, aby upewnić się, że pasuje.
Jednomiany i sumy algebraiczne (klasa 7 SP)
Jednomian
Jednomian to iloczyn liczby i potęg zmiennych, np. $3x$, $-2ab$, $5x^2$. Liczbę nazywamy współczynnikiem.
Suma algebraiczna
Suma algebraiczna to suma jednomianów, np. $2x+3y-1$. Jednomiany nazywamy jej wyrazami.
Wyrazy podobne
Wyrazy podobne mają tę samą część literową, np. $2x$ i $5x$ — można je redukować.
Stopień jednomianu
To suma wykładników zmiennych: $3x^2y$ ma stopień $3$.
Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych (klasa 7 SP)
Dodawanie
Opuszczamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne: $(2x+3)+(x-1)=3x+2$.
Odejmowanie
Przed nawiasem z minusem zmieniamy znaki wszystkich wyrazów: $(2x+3)-(x-1)=2x+3-x+1=x+4$.
Przykład
$$(3a-2b)-(a-2b)=3a-2b-a+2b=2a$$
Na co uważać
Najczęstszy błąd to niezmienienie znaku wyrazu po minusie.
Mnożenie jednomianu przez sumę algebraiczną (klasa 7 SP)
Prawo rozdzielności
Jednomian mnożymy przez każdy wyraz sumy: $a(b+c)=ab+ac$.
Przykład
$$2x(x+3)=2x\cdot x+2x\cdot3=2x^2+6x$$
Znaki
Uważamy na znaki: $-3(x-2)=-3x+6$.
Wyłączanie przed nawias
Operacja odwrotna: $2x^2+6x=2x(x+3)$ — wyłączamy wspólny czynnik.
Działania na pierwiastkach (klasa 7 SP)
Iloczyn i iloraz
$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ oraz $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ dla $a,b\ge0$ i $b\neq0$.
Wyłączanie czynnika
$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}$.
Kwadrat pierwiastka
$(\sqrt{a})^2=a$ dla $a\ge0$.
Na co uważać
Pierwiastka sumy nie rozkładamy: $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$.
Liczby wymierne — działania (klasa 7 SP)
Liczby wymierne
To liczby, które można zapisać jako ułamek $\frac{p}{q}$ liczb całkowitych ($q\neq0$) — dodatnie, ujemne oraz zero.
Reguła znaków
Iloczyn i iloraz o zgodnych znakach są dodatnie, o różnych — ujemne: $\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot(-4)=2$.
Dodawanie
Sprowadzamy do wspólnego mianownika i uwzględniamy znaki: $-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}$.
Wartość bezwzględna
$\left|-\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}$.
Kąty i ich własności (klasa 7 SP)
Rodzaje kątów
Ostry (mniej niż $90^\circ$), prosty ($90^\circ$), rozwarty (od $90^\circ$ do $180^\circ$), półpełny ($180^\circ$), pełny ($360^\circ$).
Kąty przyległe i wierzchołkowe
Kąty przyległe sumują się do $180^\circ$, a wierzchołkowe są równe.
Przy prostych równoległych
Kąty odpowiadające oraz naprzemianległe są równe.
Suma kątów
W trójkącie kąty sumują się do $180^\circ$, a w czworokącie do $360^\circ$.
Pierwiastek kwadratowy (klasa 7 SP)
Definicja
Pierwiastek kwadratowy z liczby $a\ge0$ to taka liczba nieujemna, której kwadrat równa się $a$. Zapis $\sqrt{a}=b$ oznacza $b^2=a$ oraz $b\ge0$.
Przykłady
$\sqrt{9}=3$, $\sqrt{25}=5$, $\sqrt{0}=0$.
Własności
$(\sqrt{a})^2=a$ oraz $\sqrt{a^2}=|a|$.
Na co uważać
W zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej.
Notacja wykładnicza (klasa 7 SP)
Co to jest
Notacja wykładnicza zapisuje liczbę jako iloczyn liczby z przedziału od $1$ do $10$ oraz potęgi dziesiątki: $a\cdot10^n$.
Przykłady
$3000=3\cdot10^3$, a $0{,}002=2\cdot10^{-3}$.
Zastosowanie
Jest wygodna dla bardzo dużych i bardzo małych liczb, np. w fizyce i astronomii.
Na co uważać
Współczynnik $a$ musi spełniać warunek $1\le a\lt 10$.
Strona 7 z 9 · 212 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.