Polityka cookies
§ 1. Czym są pliki cookies
Pliki cookies („ciasteczka") to niewielkie dane informatyczne, głównie pliki tekstowe, zapisywane w urządzeniu końcowym Użytkownika i odczytywane przy korzystaniu z Serwisu. Zazwyczaj zawierają nazwę strony, czas przechowywania oraz unikalny identyfikator.
↑ Wróć na górę§ 2. Kto je ustawia (administrator)
Podmiotem, który zapisuje i odczytuje pliki cookies na Twoim urządzeniu, jest AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl) jako administrator Serwisu. W przypadku cookies stron trzecich — robią to również ich dostawcy (szczegóły w § 9).
↑ Wróć na górę§ 3. Cele stosowania cookies
- Dostosowanie treści i optymalizacja działania — rozpoznanie urządzenia i właściwe wyświetlenie strony oraz interfejsu tablicy interaktywnej zgodnie z preferencjami Użytkownika.
- Tworzenie statystyk — zrozumienie sposobu korzystania z Serwisu i tablicy w celu ulepszania struktury i zawartości.
- Utrzymanie sesji — po zalogowaniu, aby nie trzeba było ponownie wpisywać danych na każdej podstronie/sesji.
- Bezpieczeństwo — wykrywanie nadużyć, ochrona przed atakami i zapewnienie integralności usług czasu rzeczywistego (np. WebRTC).
- Marketing/personalizacja — za Twoją zgodą, wyświetlanie treści lepiej dopasowanych do zainteresowań.
§ 4. Rodzaje: sesyjne i stałe
Stosujemy cookies „sesyjne” (tymczasowe) — działają do czasu wylogowania, opuszczenia strony lub zamknięcia przeglądarki — oraz „stałe”, które pozostają do upływu wskazanego terminu lub do ich usunięcia przez Użytkownika.
↑ Wróć na górę§ 5. Kategorie cookies w serwisie
- Niezbędne — umożliwiają korzystanie z kluczowych usług (uwierzytelnianie, utrzymanie sesji, podstawowa konfiguracja tablicy). Bez nich Serwis może nie działać poprawnie.
- Bezpieczeństwo — pomagają wykrywać nadużycia w uwierzytelnianiu i chronić usługi czasu rzeczywistego.
- Wydajnościowe/statystyczne — zbierają informacje o sposobie korzystania z Serwisu dla celów analitycznych.
- Funkcjonalne — zapamiętują wybrane ustawienia i personalizację interfejsu (np. język, układ narzędzi, preferencje audio/wideo).
- Reklamowe/personalizacyjne — dostarczają treści reklamowych lepiej dopasowanych do zainteresowań Użytkownika (tylko za zgodą).
§ 6. Zarządzanie zgodą
Zgodą na instalowanie cookies (poza niezbędnymi) możesz zarządzać w banerze cookies wyświetlanym przy pierwszej wizycie oraz w ustawieniach przeglądarki. Zgodę możesz w każdej chwili wycofać lub zmienić — nie wpływa to na zgodność z prawem wcześniejszego wykorzystania cookies.
↑ Wróć na górę§ 7. Ustawienia przeglądarek
Większość przeglądarek domyślnie zezwala na cookies. Możesz zablokować ich zapisywanie lub ustawić powiadomienia o każdym zapisie. Instrukcje dla popularnych przeglądarek:
- Chrome: support.google.com/chrome/answer/95647
- Firefox: support.mozilla.org/pl/kb/ciasteczka
- Safari (Mac): support.apple.com – zarządzanie cookies
- Edge: support.microsoft.com – usuwanie plików cookie
- Opera: help.opera.com – cookies
- Safari (iOS/iPadOS): Ustawienia → Safari → Zaawansowane → Blokuj wszystkie pliki cookie
§ 8. Skutki ograniczeń
Ograniczenie stosowania cookies może spowodować nieprawidłowe działanie niektórych funkcji Serwisu — zwłaszcza logowania, utrzymania sesji i elementów tablicy interaktywnej (np. zapamiętanie ustawień urządzeń audio/wideo).
↑ Wróć na górę§ 9. Cookies stron trzecich
W Serwisie mogą pojawiać się cookies podmiotów trzecich (np. dostawcy analityki, usług czasu rzeczywistego, płatności, komunikacji). Podmioty te mogą uzyskiwać dostęp do swoich cookies zgodnie z własnymi politykami. W przypadku wykorzystania reklam on-line — odpowiednie pliki mogą być używane do personalizacji treści (wyłącznie za zgodą).
W przypadku skorzystania z integracji z Google (logowanie przez Google, Google Drive, Google Calendar), w procesie uwierzytelniania OAuth 2.0 mogą być ustawiane cookies przez serwisy Google zgodnie z Polityką Prywatności Google. Serwis przechowuje po swojej stronie token sesji OAuth wyłącznie jako niezbędny plik cookie sesji — bez niego utrzymanie połączenia z kontem Google byłoby niemożliwe.
↑ Wróć na górę§ 10. Zmiany i kontakt
- Polityka cookies może ulegać zmianom z ważnych przyczyn (np. zmiany prawa, technologii, zakresu usług). O zmianach poinformujemy w Serwisie z wyprzedzeniem, nie później niż 7 dni przed wejściem w życie.
- Kontakt w sprawach cookies: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: LekcjeRazem.pl), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów, tel. +48 455 405 228, e-mail: firma@amkbit.pl.
Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
Ciąg arytmetyczny — definicja i własności
- Suma liczb $1+2+3+\ldots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ (Gauss)
- Prognozowanie liniowe (np. cena rośnie o stałą kwotę rocznie)
- Harmonogram spłat stałej kwoty rat kredytu
- Każdy wielomian liniowy generuje ciąg arytmetyczny
- $r = 9 - 5 = 4$, $a_1 = 5$
- $a_{20} = 5 + (20-1)\cdot 4 = 5 + 76 = 81$
- $S_{20} = \dfrac{20(5+81)}{2} = \dfrac{20 \cdot 86}{2} = 860$
Funkcja liniowa — własności i zastosowania
Wykres: linia prosta o nachyleniu $a$ i przecięciu z $OY$ w punkcie $(0, b)$.
Własności: dziedzina $\mathbb{R}$, zbiór wartości $\mathbb{R}$, różnowartościowa, ciągła.
- $a > 0$: rosnąca na całej dziedzinie
- $a < 0$: malejąca na całej dziedzinie
Kąt nachylenia prostej: $\tan\alpha = a$ (dla $a > 0$: kąt ostry; $a < 0$: rozwarty).
- MZ: $-2x+6=0 \Rightarrow x=3$, punkt $(3,0)$
- Przecięcie z $OY$: $(0,6)$
- $f(4) = -2\cdot4+6 = -2$, punkt $(4,-2)$
- Funkcja malejąca ($a=-2 < 0$)
Funkcje cyklometryczne — arcsin, arccos, arctg, arccotg
- $\arcsin x$: dziedzina $[-1,1]$, wartości $\left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right]$; $\arcsin x = \alpha \Leftrightarrow \sin\alpha = x$
- $\arccos x$: dziedzina $[-1,1]$, wartości $[0, \pi]$; $\arccos x = \alpha \Leftrightarrow \cos\alpha = x$
- $\text{arctg}\, x$: dziedzina $\mathbb{R}$, wartości $\left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)$; $\text{arctg}\, x = \alpha \Leftrightarrow \text{tg}\,\alpha = x$
- $\text{arccotg}\, x$: dziedzina $\mathbb{R}$, wartości $(0, \pi)$
- $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$ dla $x \in [-1,1]$
- $\text{arctg}\, x + \text{arccotg}\, x = \dfrac{\pi}{2}$ dla $x \in \mathbb{R}$
- $\arcsin(-x) = -\arcsin x$ (nieparzysta); $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$
- $\arcsin\!\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \tfrac{\pi}{4} = 45°$
- $\arccos(-1) = \pi = 180°$
- $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \tfrac{\pi}{3} = 60°$
- Równanie: $\sin x = 0{,}6 \Rightarrow x = \arcsin(0{,}6) \approx 36{,}87°$ (plus okresy)
Pochodna — pojęcie i interpretacja
- $(c)'= 0$ (stała)
- $(x^n)' = nx^{n-1}$
- $(\sin x)' = \cos x$; $(\cos x)' = -\sin x$
- $(e^x)' = e^x$; $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$
- Reguła łańcuchowa: $[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
- $(fg)' = f'g + fg'$; $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$
- $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2-2x-3) = 3(x-3)(x+1)$
- $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 3$ lub $x = -1$
- $f''(x) = 6x - 6$; $f''(-1) = -12 < 0$ → maksimum; $f''(3) = 12 > 0$ → minimum
Wzory trygonometryczne — jedynka i redukcyjne
- $\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha$; $\cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha$
- $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$; $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ (parzystość/nieparzystość)
- $\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \cos\alpha$; $\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \sin\alpha$ (kofunkcje)
- $\sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$
- $\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$
- $\cos\alpha = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$ (I ćwiartka: $\cos > 0$)
- $\tan\alpha = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$
- $\sin 2\alpha = 2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5} = \frac{24}{25}$
Ciąg geometryczny — definicja i własności
- Procent składany (kapitalizacja): $K_n = K_0 \cdot (1+p)^n$
- Wzrost/zanik wykładniczy (populacja, promieniotwórczość)
- Skale muzyczne: każda oktawa podwaja częstotliwość
- Ułamek dziesiętny okresowy jako suma nieskończona
- $q = 1{,}05$, $b_1 = 1000$
- $b_4 = 1000 \cdot 1{,}05^3 = 1000 \cdot 1{,}157625 \approx 1157{,}63$ zł
Funkcja kwadratowa — postacie i wierzchołek
- Ogólna: $f(x) = ax^2 + bx + c$
- Kanoniczna (wierzchołkowa): $f(x) = a(x-p)^2 + q$, gdzie $W(p,q)$ — wierzchołek
- Iloczynowa (gdy $\Delta > 0$): $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$
- $\Delta > 0$: dwa miejsca zerowe
- $\Delta = 0$: jedno MZ (wierzchołek na osi OX)
- $\Delta < 0$: brak MZ (parabola nie przecina OX)
- $\Delta = 64 - 48 = 16$; $\sqrt{\Delta}=4$
- $x_{1,2} = \dfrac{8 \pm 4}{4}$: $x_1=1$, $x_2=3$
- $p = \dfrac{1+3}{2} = 2$; $q = f(2) = 8-16+6 = -2$
- Postać kanoniczna: $f(x)=2(x-2)^2-2$
Układy równań — metody rozwiązywania (LO)
- Podstawiania: z jednego równania wyraź $x$ (lub $y$) i podstaw do drugiego
- Eliminacji (przeciwnych wsp.): pomnóż równania i dodaj stronami
- Wyznacznikowa (Cramera): $x=\dfrac{W_x}{W}$, $y=\dfrac{W_y}{W}$ — dla układów 2×2 i 3×3
- $W = 3\cdot(-1)-1\cdot2 = -5$
- $W_x = 8\cdot(-1)-1\cdot2 = -10$; $x = \frac{-10}{-5} = 2$
- $W_y = 3\cdot1-1\cdot8 = -5$; $y = \frac{-5}{-5} = 1$
Całka oznaczona — twierdzenie zasadnicze rachunku
Twierdzenie zasadnicze RR (Newton-Leibniz): Jeśli $F$ jest funkcją pierwotną $f$ na $[a,b]$, to:
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b$$Własności: liniowość ($\int af+bg = a\int f + b\int g$), addytywność ($\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c$).
$\int_a^b f\,dx = -\int_b^a f\,dx$; $\int_a^a f\,dx = 0$.
Zastosowania: pole obszaru, droga z prędkości, ładunek elektryczny.
$\int_0^2 (3x^2-2x)\,dx = \Big[x^3-x^2\Big]_0^2 = (8-4)-(0-0) = 4$.
Pole między krzywą a osią $Ox$: rozbij na przedziały stałości znaku $f$; $P = \int |f(x)|\,dx$.
Całki krzywoliniowe — praca i cyrkulacja
Całka krzywoliniowa pola wektorowego $\vec{F}$ wzdłuż krzywej $C$:
$$\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_a^b \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t)\,dt$$Praca: $W=\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}$; dla pola zachowawczego: $W=\phi(B)-\phi(A)$ (niezależna od drogi).
Pole zachowawcze ↔ $\nabla\times\vec{F}=\vec{0}$ ↔ $\vec{F}=\nabla\phi$ (gradient potencjału).
Twierdzenie Greena (2D): $\oint_C Pdx+Qdy = \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$
$\vec{F}=(-y,x)$, okrąg $r=1$: $\oint Pdx+Qdy=\iint_D(1-(-1))dA=2\pi$ — cyrkulacja.
Twierdzenie Greena = dwuwymiarowy specjalny przypadek twierdzenia Stokesa.
Granica funkcji — definicja i techniki obliczania
Definicja Heinego: $\lim_{x\to a}f(x)=L\Leftrightarrow$ dla każdego ciągu $x_n\to a$ (z $x_n\neq a$) mamy $f(x_n)\to L$.
Definicja Cauchy'ego: $\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0$: $0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon$.
Techniki dla $\frac{0}{0}$: upraszczaj algebrycznie (faktoryzacja, wzory WSM), mnóż przez sprzężenie.
Dla $\frac{\infty}{\infty}$: dziel przez najwyższą potęgę $x$.
Ważne granice: $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$; $\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$; $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$.
$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=4$.
$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-5}=\lim_{x\to\infty}\frac{3+1/x^2}{1-5/x^2}=3$.
Forma $\frac{0}{0}$ to niedookreślona — NIE wynika z niej wartość. Zawsze próbuj uprościć. $\frac{k}{0}$ ($k\neq0$) → $\pm\infty$ lub brak granicy.
Całkowanie przez podstawienie — metoda i zastosowania
Podstawienie $t = g(x)$, $dt = g'(x)\,dx$:
$$\int f(g(x))\cdot g'(x)\,dx = \int f(t)\,dt$$Schemat: (1) wybierz $t = g(x)$, (2) oblicz $dt$, (3) przelicz całkę na $t$, (4) scałkuj, (5) wróć do $x$.
Dla całki oznaczonej — zmień też granice: jeśli $x\in[a,b]$, to $t\in[g(a),g(b)]$.
$\int \sin(3x)\,dx$: $t=3x$, $dt=3\,dx$, $dx=\frac{dt}{3}$: $\int\frac{\sin t}{3}\,dt = -\frac{\cos t}{3}+C = -\frac{\cos 3x}{3}+C$.
$\int_0^1 x e^{x^2}\,dx$: $t=x^2$, $dt=2x\,dx$: $\frac{1}{2}\int_0^1 e^t\,dt = \frac{e-1}{2}$.
Wzorzec: jeśli widzisz pochodną czegoś pod całką — to sygnał do podstawienia.
Ciągłość funkcji — punkty i rodzaje nieciągłości
$f$ ciągła w $a$ gdy: (1) $f(a)$ istnieje, (2) $\lim_{x\to a}f(x)$ istnieje, (3) $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
Rodzaje nieciągłości:
- Usuwalna: $\lim_{x\to a}f(x)=L$, ale $f(a)\neq L$ lub nie istnieje → można „naprawić" przez definicję $f(a)=L$.
- Skokowa: lewostronna $\neq$ prawostronna granica. Skok = różnica granic.
- Istotna (nieokreślona): przynajmniej jedna granica jednostronna $=\pm\infty$ lub nie istnieje.
$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$: nieciągłość usuwalna w $x=1$ (granica $=2$, $f(1)$ nie istnieje).
$f(x)=\text{sgn}(x)$: skok w $x=0$ (lewa granica $-1$, prawa $+1$).
$f(x)=\frac{1}{x}$: nieciągłość istotna w $x=0$.
Funkcje: wielomian, trygonometryczne, exp, log — ciągłe na całej dziedzinie. Złożenie funkcji ciągłych — ciągłe.
Gradient, dywergencja i rotacja — operatory wektorowe
Gradient skalara: $\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)$ — kierunek najszybszego wzrostu.
Dywergencja wektora: $\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$ — "źródłowość" pola.
Rotacja: $\nabla\times\vec{F}$ — "wirkowość" pola.
Tw. dywergencji (Gaussa-Ostrogradskiego): $\oiint_S\vec{F}\cdot d\vec{A}=\iiint_V\nabla\cdot\vec{F}\,dV$
Tw. Stokesa: $\oint_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_S(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{A}$
Równania Maxwella zapisane przez $\nabla\cdot$ i $\nabla\times$ — kompaktowa notacja wektorowa ukrywa złożoność.
Całkowanie przez części — wzór i strategia
Pochodzi z reguły pochodnej iloczynu: $(uv)' = u'v + uv'$.
Wybór $u$ wg reguły LIATE (priorytety): Logarytm → Odwrotne trygonometryczne → Algebraiczne (wielomiany) → Trygonometryczne → Eksponencjalne.
Wybierz $u$ z wyższego priorytetu (będzie różniczkowane), $dv$ — z niższego (będzie całkowane).
$\int x e^x\,dx$: $u=x$, $dv=e^x dx$ → $du=dx$, $v=e^x$: $xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$.
$\int \ln x\,dx$: $u=\ln x$, $dv=dx$: $x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\ln x - x + C$.
Niekiedy trzeba zastosować całkowanie przez części dwukrotnie (np. $\int x^2 e^x\,dx$).
Przekształcenie Laplace'a — rozwiązywanie ODE
Kluczowe pary: $\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}$; $\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}$; $\mathcal{L}\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}}$; $\mathcal{L}\{\sin\omega t\}=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$.
Pochodna: $\mathcal{L}\{f'\}=sF(s)-f(0)$ — ODE → algebraiczne równanie w $s$.
Metoda: zastos. Laplace'a → rozwiąż alg. → odwrotna transf. (przez rozwinięcie ułamkowe).
$y''-y=0$, $y(0)=1$, $y'(0)=0$: $(s^2-1)Y=s$ → $Y=\frac{s}{s^2-1}=\frac{1/2}{s-1}+\frac{1/2}{s+1}$ → $y=\frac{e^t+e^{-t}}{2}=\cosh t$.
Laplace to "alfabet" inżynierów sterowania — transmitancja, zera, bieguny, stabilność układów.
Reguła de l'Hôpitala
Jeśli $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ daje formę $\frac{0}{0}$ lub $\frac{\infty}{\infty}$, to:
$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$
pod warunkiem, że ta ostatnia granica istnieje (lub jest $\pm\infty$).
Formy sprowadzalne: $0\cdot\infty=\frac{0}{1/\infty}=\frac{0}{0}$; $\infty-\infty$ — wspólny mianownik; $0^0,\,1^\infty,\,\infty^0$ — logarytmuj.
Można stosować wielokrotnie — jeśli po zastosowaniu nadal $\frac{0}{0}$, stosuj dalej.
$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}\overset{H}{=}\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}\overset{H}{=}\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}=\frac{1}{2}$.
$\lim_{x\to\infty}xe^{-x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}\overset{H}{=}\lim_{x\to\infty}\frac{1}{e^x}=0$.
Różniczkuj LICZNIK i MIANOWNIK oddzielnie — NIE stosuj reguły ilorazu! Zawsze sprawdź formę nieoznaczoną przed zastosowaniem.
Całkowanie przez rozkład na ułamki proste
Cel: $\int\frac{P(x)}{Q(x)}dx$, gdy $\deg P<\deg Q$. Rozkładamy $\frac{P}{Q}$ na sumę prostszych ułamków.
Przypadki:
- Proste pierwiastki rzeczywiste: $\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}$.
- Wielokrotny pierwiastek: $\frac{1}{(x-a)^2}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^2}$.
- Para zespolona: $\frac{1}{x^2+px+q}=\frac{Ax+B}{x^2+px+q}$ → dopełnienie do kwadratu.
Gdy $\deg P\geq\deg Q$: najpierw dzielenie z resztą.
$\int\frac{2x+1}{x^2-x-2}dx$: $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$; $\frac{2x+1}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}$; $A=\frac{5}{3}$, $B=\frac{1}{3}$; wynik: $\frac{5}{3}\ln|x-2|+\frac{1}{3}\ln|x+1|+C$.
Wyznaczanie $A,B$: podstaw $x=a$ (zerowanie mianownika). Alternatywa: porównaj współczynniki wielomianów.
Przekształcenie Fouriera — widmo i zastosowania
Odwrotna: $f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)e^{2\pi i\xi t}\,d\xi$
Twierdzenie splotowe: $\widehat{f*g}=\hat{f}\cdot\hat{g}$ — splot w dziedzinie czasu = iloczyn w widmowej.
DFT/FFT: dyskretna wersja, algorytm FFT $O(N\log N)$ — podstawa cyfrowego przetwarzania sygnałów.
Zastosowania: kompresja JPEG, MP3, filtrowanie sygnałów, MRI, spektroskopia NMR.
Zasada nieoznaczoności Heisenberga to matematyczna konsekwencja TF: $\Delta t\cdot\Delta\xi\ge\frac{1}{4\pi}$.
Reguła de l'Hôpitala — granice nieokreślone
Jeśli $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0$ lub $\pm\infty$, to (pod warunkiem istnienia prawej strony):
$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$Postacie nieokreślone: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$, $0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$.
Dla $0\cdot\infty$: przekształć do $\frac{f}{1/g}$ lub $\frac{g}{1/f}$, potem stosuj regułę.
$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1} = 1$.
$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} = 0$ (logarytm rośnie wolniej niż liniowo).
Regułę można stosować wielokrotnie, ale sprawdź za każdym razem, czy wciąż mamy postać $\frac{0}{0}$ lub $\frac{\infty}{\infty}$.
Długość łuku krzywej
Postać jawna $y=f(x)$, $x\in[a,b]$: $L=\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$.
Postać parametryczna $(x(t),y(t))$, $t\in[\alpha,\beta]$: $L=\displaystyle\int_\alpha^\beta\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt$.
Postać biegunowa $r=r(\varphi)$: $L=\displaystyle\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{r^2+(r')^2}\,d\varphi$.
Idea: łuk ≈ suma małych ciotek $ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+(y')^2}\,dx$.
$y=\frac{2}{3}x^{3/2}$, $x\in[0,4]$: $y'=x^{1/2}$; $L=\int_0^4\sqrt{1+x}\,dx=\bigl[\frac{2}{3}(1+x)^{3/2}\bigr]_0^4=\frac{2}{3}(5^{3/2}-1)=\frac{2}{3}(5\sqrt{5}-1)\approx7{,}09$.
Całka najczęściej nieelementarna — stosuj podstawienie lub numerykę. Sprawdź: obwód koła: $x=r\cos t$, $y=r\sin t$ → $L=2\pi r$. ✓
Elipsa — równanie kanoniczne i własności
Ogniska: $F_1(-c,0)$, $F_2(c,0)$, gdzie $c^2=a^2-b^2$. Dla każdego punktu $P$ na elipsie: $|PF_1|+|PF_2|=2a$.
Półoś wielka $a$ (na osi $Ox$), półoś mała $b$ (na osi $Oy$).
Mimośród: $e = \frac{c}{a} \in (0,1)$. Dla $e\to0$ → okrąg; $e\to1$ → bardzo wydłużona.
Pole elipsy: $P = \pi ab$. Obwód: nie ma prostego wzoru (całka eliptyczna).
$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$: $a=5$, $b=3$, $c=4$, $e=\frac{4}{5}$, ogniska $(\pm4,0)$, $P=15\pi$.
Orbity planet to elipsy (I prawo Keplera) — Słońce w jednym ognisku.
Całki niewłaściwe — zbieżność
$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\,dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,dx$ — całka niewłaściwa I rodzaju.
Jeśli $f$ nieograniczona w $a$: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx$ — II rodzaju.
Kryterium porównawcze: jeśli $0\leq f\leq g$ i $\int g$ zbiega, to $\int f$ też zbiega.
Całka $\int_1^\infty x^{-p}dx$: zbiega dla $p>1$; rozbieżna dla $p\leq1$.
Całka $\int_0^1 x^{-p}dx$: zbiega dla $p<1$; rozbieżna dla $p\geq1$.
$\int_1^\infty\frac{1}{x^2}dx=\lim_{b\to\infty}\bigl[-\frac{1}{x}\bigr]_1^b=0+1=1$ ✓ (zbieżna).
$\int_1^\infty\frac{1}{x}dx=\lim_{b\to\infty}\ln b=+\infty$ (rozbieżna).
$\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}[2\sqrt{x}]_\varepsilon^1=2$ ✓.
Całka $\int_1^\infty$ od $1/x^p$: „$p>1$ → zbieżna". Całka $e^{-x}$ na $[0,\infty)$ zawsze zbiega (eksponenta bije potęgi).
Hiperbola i parabola — równania i własności
Hiperbola: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$; $c^2=a^2+b^2$; $|PF_1|-|PF_2|=\pm2a$.
Asymptoty: $y=\pm\frac{b}{a}x$; mimośród $e=\frac{c}{a}>1$.
Parabola: $y^2=2px$ (otwarta w prawo); ognisko $F(\frac{p}{2},0)$; kierownica $x=-\frac{p}{2}$.
Definicja paraboli: $|PF|=d(P, \text{kierownica})$.
Parabola $y=ax^2+bx+c$: wierzchołek $(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})$; ognisko w $\frac{1}{4a}$ od wierzchołka.
$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$: $a=2$, $b=3$, asymptoty $y=\pm\frac{3}{2}x$.
Krzywe stożkowe to przekroje stożka: okrąg ($e=0$), elipsa, parabola ($e=1$), hiperbola ($e>1$).
Strona 1 z 23 · 541 wyników
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.