🧠 Baza wiedzy LekcjeRazem
Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
197 pojęć w tym zestawie
∑ Matematyka: 541
⚡ Fizyka: 221
⚗️ Chemia: 126
∑ Polski: 112
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
Liczby pierwsze i rozkład na czynniki
Definicja: Liczba naturalna większa od 1 jest pierwsza, jeśli ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i siebie samą. Liczba złożona to każda naturalna > 1, która nie jest pierwsza.
Zasadnicze twierdzenie arytmetyki: Każda liczba naturalna > 1 daje się przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych w sposób jedyny (z dokładnością do kolejności czynników).
Zasadnicze twierdzenie arytmetyki: Każda liczba naturalna > 1 daje się przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych w sposób jedyny (z dokładnością do kolejności czynników).
Prosto mówiąc: Liczby pierwsze to "atomy" matematyki — nie da się ich rozłożyć dalej. Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na takie atomy: np. $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.
Sito Eratostenesa — sposób na znajdowanie liczb pierwszych: wypisz liczby 2–N, wykreślaj wielokrotności 2, potem 3, 5... Niewykreślone to liczby pierwsze.
Liczby pierwsze do 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Liczby pierwsze do 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Przykład: Rozłóż 360 na czynniki pierwsze.
- $360 \div 2 = 180$; $180 \div 2 = 90$; $90 \div 2 = 45$
- $45 \div 3 = 15$; $15 \div 3 = 5$; 5 jest pierwsze
- $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$
⚡ Zapamiętaj: Liczba 1 NIE jest pierwsza (ma tylko jeden dzielnik). Liczba 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą — wszystkie inne parzyste są złożone.
Skala — przeliczanie na mapach i planach
Definicja: Skala mapy to stosunek odległości na mapie do rzeczywistej odległości w terenie:
$$\text{skala} = \frac{\text{odległość na mapie}}{\text{odległość rzeczywista}}$$
Zapis $1:n$ oznacza, że 1 cm na mapie odpowiada $n$ cm w rzeczywistości.
Prosto mówiąc: Skala $1:100\,000$ znaczy: 1 cm na mapie = 100 000 cm = 1 km w terenie. Im większa liczba po ":", tym mniejszy szczegół mapy.
Obliczenia:
- Odległość rzeczywista = odległość na mapie × mianownik skali
- Odległość na mapie = odległość rzeczywista ÷ mianownik skali
Przykład: Mapa w skali $1:50\,000$. Zmierzyłeś 6 cm. Jaka to odległość?
- $6 \text{ cm} \times 50\,000 = 300\,000 \text{ cm}$
- $300\,000 \text{ cm} = 3000 \text{ m} = 3 \text{ km}$
⚡ Zapamiętaj: Skala $1:5000$ jest większa (bardziej szczegółowa) niż $1:100\,000$. "Większa skala" = więcej detali, mniejszy obszar na mapie.
Symetria osiowa i środkowa
Symetria osiowa: Przekształcenie płaszczyzny — odbicie względem prostej $l$ (osi symetrii). Punkt $P$ przechodzi w $P'$, gdzie $l$ jest prostopadłą dwusieczną odcinka $PP'$.
Symetria środkowa: Przekształcenie — obrót o 180° wokół punktu $S$ (środka symetrii). Punkt $P$ przechodzi w $P'$, gdzie $S$ jest środkiem odcinka $PP'$.
Symetria środkowa: Przekształcenie — obrót o 180° wokół punktu $S$ (środka symetrii). Punkt $P$ przechodzi w $P'$, gdzie $S$ jest środkiem odcinka $PP'$.
Prosto mówiąc: Symetria osiowa to odbicie w lustrze — oś to lustro. Symetria środkowa to "przebicie" przez punkt — jak obracasz kartkę o 180° wokół centralnego gwoździka.
Figury symetryczne:
- Prostokąt — 2 osie symetrii, 1 środek symetrii
- Kwadrat — 4 osie symetrii, 1 środek
- Koło — nieskończenie wiele osi (każda średnica), 1 środek
- Równoboczny trójkąt — 3 osie symetrii, brak środka symetrii
Przykład: Znajdź symetryczny do $A(2, 3)$ względem:
- Osi $OX$: $A'(2, -3)$ — zmień znak współrzędnej $y$
- Osi $OY$: $A'(-2, 3)$ — zmień znak współrzędnej $x$
- Środka $O(0,0)$: $A'(-2, -3)$ — zmień znaki obu
⚡ Zapamiętaj: Symetria zachowuje długości i kąty (jest izometrią). Symetria osiowa odwraca orientację figury (jak w lustrze), a środkowa — zachowuje orientację.
Wykresy kołowe — interpretacja procentowa
Definicja: Wykres kołowy (pierścieniowy) dzieli koło na wycinki proporcjonalne do udziałów procentowych poszczególnych kategorii. Suma wszystkich wycinków = 100% = 360°.
Prosto mówiąc: Koło to "cały tort" (100%). Każda kategoria dostaje kawałek proporcjonalny do swojego udziału. Dobry gdy chcesz pokazać udziały w całości.
Zastosowanie:
- Budżet domowy — gdzie idą pieniądze
- Skład produktu (białko, tłuszcz, cukier)
- Wyniki wyborów
Przykład: Klasa: 40% dziewcząt, 60% chłopców. Kąt wycinku dziewcząt: $0{,}40 \times 360° = 144°$. Chłopcy: $0{,}60 \times 360° = 216°$.
⚡ Zapamiętaj: Kąt wycinku = procent × 3,6 (bo 360°/100% = 3,6°/%). Zawsze sprawdzaj, czy kąty sumują się do 360°.
Tabele danych — jak poprawnie odczytywać
Definicja: Tabela danych to siatka wierszy i kolumn. Nagłówki opisują co reprezentuje dany wiersz/kolumna. Każda komórka zawiera jedną wartość odpowiadającą jej wierszowi i kolumnie.
Prosto mówiąc: Czytasz tabelę jak mapę: wybierasz wiersz (co?) i kolumnę (kiedy/gdzie?) — przecięcie to szukana wartość. Zawsze czytaj nagłówki!
Zastosowanie:
- Rozkłady jazdy, cenniki, tabele kursów walut
- Wyniki sportowe, tabele ligowe
- Porównanie kilku cech naraz
Przykład: Tabela temperatur: wiersze = miasta, kolumny = miesiące. Aby znaleźć temperaturę w Krakowie w lipcu — znajdź wiersz "Kraków" i kolumnę "lipiec".
⚡ Zapamiętaj: Najpierw przeczytaj tytuł tabeli i nagłówki wierszy/kolumn. Bez tego dane nie mają sensu.
Wykresy liniowe — odczytywanie trendu
Definicja: Wykres liniowy łączy punkty danych odcinkami. Pokazuje zmiany w czasie. Rosnąca linia = trend wzrostowy, opadająca = spadkowy, pozioma = brak zmian.
Prosto mówiąc: Idealne do pokazywania "jak coś się zmieniało z biegiem czasu". Temperatura w ciągu tygodnia, wzrost rośliny, cena akcji.
Zastosowanie:
- Temperatura dzienna lub roczna
- Postępy w nauce (wyniki testów)
- Zmiana masy lub wzrostu
Przykład: Temperatura poniedziałek–piątek: 12°, 15°, 14°, 18°, 20°. Trend rosnący z lekkim spadkiem w środę. Szczyt: piątek 20°.
⚡ Zapamiętaj: Wykres liniowy służy do CIĄGŁYCH danych (czas, pomiary). Do kategorii używaj słupkowego.
Średnia arytmetyczna — obliczanie krok po kroku
Definicja: Średnia arytmetyczna zbioru $n$ liczb to ich suma podzielona przez $n$: $$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$$
Prosto mówiąc: Zsumuj wszystkie wartości, podziel przez ile ich jest. Wyobraź sobie, że "rozkładasz" sumę równo na wszystkich.
Zastosowanie:
- Średnia ocen w szkole
- Średnia temperatura miesiąca
- Średnia prędkość w podróży
Przykład: Wyniki testu: 72, 85, 68, 91, 74. Suma = 390. Średnia = $390 \div 5 = 78$.
⚡ Zapamiętaj: Średnia MOŻE nie być równa żadnemu z wyników w zbiorze. To wartość "wyważona" — wrażliwa na skrajne wartości.
Mediana — środkowy wynik w zbiorze danych
Definicja: Mediana to wartość środkowa po uszeregowaniu danych rosnąco. Dla nieparzystej liczby danych $n$ — środkowy element. Dla parzystej — średnia dwóch środkowych.
Prosto mówiąc: Ustaw wszystkich uczniów w kolejce od najniższego do najwyższego. Ten stojący w środku ma wzrost równy medianie.
Zastosowanie:
- Mediana zarobków (odporna na skrajne wartości)
- Mediana cen nieruchomości
- Lepiej niż średnia gdy są duże skoki w danych
Przykład: Dane: 3, 7, 2, 9, 4. Po sortowaniu: 2, 3, 4, 7, 9. Mediana = 4 (element 3-ci z 5). Dla 2, 3, 4, 7, 9, 10: mediana = $\tfrac{4+7}{2} = 5{,}5$.
⚡ Zapamiętaj: Najpierw SORTUJ, potem szukaj środka. Jeden miliarder w grupie nie zmienia mediany drastycznie — zmienia średnią.
Moda — najczęstszy wynik w danych
Definicja: Moda (dominanta) to wartość, która najczęściej pojawia się w zbiorze danych. Zbiór może mieć jedną modę, wiele mód lub żadnej (gdy każda wartość pojawia się tyle samo razy).
Prosto mówiąc: Co jest "popularne"? Moda to "ulubieniec" — ta wartość, na którą najczęściej trafiasz w danych.
Zastosowanie:
- Najpopularniejszy rozmiar butów w sklepie
- Najczęstsza odpowiedź w ankiecie
- Typowy czas przejazdu autobusem
Przykład: Oceny: 4, 3, 5, 4, 2, 4, 3, 5. Moda = 4 (pojawia się 3 razy). Dane: 1, 2, 3, 4 — brak mody (każda po raz jeden).
⚡ Zapamiętaj: Moda jedyna miara, która może dotyczyć danych nielizbowych (np. kolor oczu: "moda = brązowy").
NWD i NWW — największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność
NWD(a, b) — największa liczba naturalna, która dzieli jednocześnie $a$ i $b$.
NWW(a, b) — najmniejsza liczba naturalna, która jest wielokrotnością zarówno $a$, jak i $b$.
Związek: $\text{NWD}(a,b) \cdot \text{NWW}(a,b) = a \cdot b$
NWW(a, b) — najmniejsza liczba naturalna, która jest wielokrotnością zarówno $a$, jak i $b$.
Związek: $\text{NWD}(a,b) \cdot \text{NWW}(a,b) = a \cdot b$
Prosto mówiąc: NWD to największy "wspólny kawałek" — przydaje się przy skracaniu ułamków. NWW to najmniejszy "wspólny mianownik" — przy dodawaniu ułamków o różnych mianownikach.
Algorytm Euklidesa (NWD): Dziel większą liczbę przez mniejszą, zastąp większą resztą — powtarzaj aż reszta = 0. NWD = ostatni niezerowy dzielnik.
NWW przez rozkład: Weź każdy czynnik pierwszy z najwyższą potęgą z obu rozkładów.
NWW przez rozkład: Weź każdy czynnik pierwszy z najwyższą potęgą z obu rozkładów.
Przykład: Znajdź NWD i NWW dla 36 i 48.
- $36 = 2^2 \cdot 3^2$; $48 = 2^4 \cdot 3$
- NWD: najmniejsze potęgi wspólnych czynników: $2^2 \cdot 3 = 12$
- NWW: największe potęgi wszystkich czynników: $2^4 \cdot 3^2 = 144$
- Sprawdzenie: $12 \cdot 144 = 1728 = 36 \cdot 48$ ✓
⚡ Zapamiętaj: NWD skraca ułamek $\frac{36}{48} = \frac{36 \div 12}{48 \div 12} = \frac{3}{4}$. NWW daje wspólny mianownik: $\frac{1}{36}+\frac{1}{48} = \frac{4}{144}+\frac{3}{144} = \frac{7}{144}$.
Procenty — pojęcie i obliczenia
Definicja: Procent ($\%$) to jedna setna część całości: $1\% = \frac{1}{100}$.
$p\%$ z liczby $W$ wynosi $\frac{p}{100} \cdot W$.
Prosto mówiąc: „Procent" pochodzi z łaciny — per centum = „na sto". Myślisz o procentach jak o kawałkach stu równych części.
Trzy typy zadań:
- Ile to $p\%$ z $W$? → $x = \frac{p}{100} \cdot W$
- Jaki procent $x$ stanowi z $W$? → $p = \frac{x}{W} \cdot 100\%$
- Jaka jest całość $W$, jeśli $x$ to $p\%$? → $W = \frac{x \cdot 100}{p}$
- Wzrost o $p\%$: pomnóż przez $(1 + \frac{p}{100})$, np. +20% → ×1,20
- Spadek o $p\%$: pomnóż przez $(1 - \frac{p}{100})$, np. –15% → ×0,85
Przykład: Cena 200 zł, zniżka 30%. Nowa cena?
- Zniżka: $\frac{30}{100} \cdot 200 = 60$ zł
- Cena po: $200 - 60 = 140$ zł (lub $200 \cdot 0{,}70 = 140$ zł)
⚡ Zapamiętaj: Wzrost o 10%, a potem spadek o 10% NIE wraca do punktu wyjścia! $100 \cdot 1{,}1 \cdot 0{,}9 = 99$. Procenty działają na aktualną wartość.
Trójkąty — rodzaje i pola
Rodzaje trójkątów:
- Wg boków: równoboczny ($a=b=c$), równoramienny ($a=b \neq c$), różnoboczny
- Wg kątów: ostrokątny (wszystkie $< 90°$), prostokątny (jeden $= 90°$), rozwartokątny (jeden $> 90°$)
Wzory na pole:
- Podstawowy: $P = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$ (podstawa × wysokość / 2)
- Wzór Herona: $P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, gdzie $s = \frac{a+b+c}{2}$
- Przez sin: $P = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$
Przykład: Trójkąt o bokach 5, 12, 13.
- Sprawdź $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ → trójkąt prostokątny (tw. Pitagorasa)
- Pole: $P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$
⚡ Zapamiętaj: Trójkąt równoboczny ma wszystkie kąty po 60°. Wysokość w trójkącie prostokątnym opuszczona na przeciwprostokątną dzieli go na dwa trójkąty podobne do siebie i do oryginału.
Wyrażenia algebraiczne i wzory skróconego mnożenia
Podstawowe pojęcia
Jednomian to iloczyn liczby i zmiennych, np. $3x^2y$. Suma algebraiczna to suma jednomianów, np. $2x^2-5x+1$. Jednomiany różniące się tylko współczynnikiem nazywamy podobnymi — można je redukować: $3x+5x=8x$.
Mnożenie sum algebraicznych
Każdy składnik pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy składnik drugiego:
$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$
Przykład: $(x+3)(x-2)=x^2-2x+3x-6=x^2+x-6$.
Wzory skróconego mnożenia
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$
Środkowy wyraz $2ab$ to podwojony iloczyn — o nim najczęściej się zapomina.
Zastosowania praktyczne
- Szybkie rachunki: $102^2=(100+2)^2=10000+400+4=10404$
- Rozkład na czynniki: $x^2-49=(x-7)(x+7)$
- Upraszczanie: $(x+4)^2-(x-4)^2=16x$
Najczęstszy błąd
$(a+b)^2\ne a^2+b^2$. Łatwo to sprawdzić na liczbach: $(2+3)^2=25$, ale $2^2+3^2=13$. Suma kwadratów $a^2+b^2$ nie rozkłada się na czynniki.
Doświadczenie losowe — rzut monetą i kostką
Definicja: Doświadczenie losowe to takie, którego wynik nie jest z góry określony. Zbiór wszystkich możliwych wyników to przestrzeń zdarzeń $\Omega$. Zdarzenie to dowolny podzbiór $\Omega$.
Prosto mówiąc: Rzucasz kostką — możesz wylosować 1,2,3,4,5,6. Prawdopodobieństwo każdego = $\tfrac{1}{6}$ (gdy kostka symetryczna). Każdy wynik jednakowo możliwy.
Zastosowanie:
- Gry planszowe i losowania
- Prognozowanie wyników sportowych
- Ubezpieczenia i ryzyko
Przykład: Rzut monetą: $\Omega = \{O, R\}$ (orzeł, reszka). Prawdopodobieństwo orła = $\tfrac{1}{2}$. Rzut kostką: zdarzenie "parzysta" = $\{2,4,6\}$, $P = \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$.
⚡ Zapamiętaj: $P = \tfrac{\text{liczba korzystnych wyników}}{\text{liczba wszystkich wyników}}$ — tylko gdy wyniki są równo prawdopodobne.
Drzewko możliwości — metoda zliczania wyników
Definicja: Drzewko (diagram drzewa) to graficzny schemat rozgałęzień pokazujący wszystkie możliwe wyniki złożonego doświadczenia losowego. Każda gałąź = jeden wynik kolejnego etapu.
Prosto mówiąc: Rzucasz monetą dwa razy. Pierwsza gałąź: O lub R. Z każdej wyrastają kolejne dwie: OO, OR, RO, RR. Widać WSZYSTKIE kombinacje.
Zastosowanie:
- Wyznaczanie przestrzeni zdarzeń
- Liczenie kombinacji (ubrania, menu)
- Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń złożonych
Przykład: Rzut monetą i kostką: $2 \times 6 = 12$ wyników. Drzewko: 2 gałęzie (O,R) → każda 6 gałęzi (1–6). Wyniki: O1, O2, ..., O6, R1, ..., R6.
⚡ Zapamiętaj: Liczba wyników = iloczyn liczb możliwości na każdym etapie. $2 \times 6 = 12$, $6 \times 6 = 36$ (dwie kostki).
Zdarzenie pewne, niemożliwe i losowe
Definicja:
• Zdarzenie pewne: zawsze zachodzi, $P = 1$
• Zdarzenie niemożliwe: nigdy nie zachodzi, $P = 0$
• Zdarzenie losowe: może zajść lub nie, $0 < P < 1$
• Zdarzenie niemożliwe: nigdy nie zachodzi, $P = 0$
• Zdarzenie losowe: może zajść lub nie, $0 < P < 1$
Prosto mówiąc: Rzucasz zwykłą kostką — wyrzucenie liczby od 1 do 6 to zdarzenie pewne. Wyrzucenie 7 to niemożliwe. Wyrzucenie 5 to losowe.
Zastosowanie:
- Ocena prawdopodobieństwa zdarzeń
- Analiza ryzyka w decyzjach
- Gry i losowania
Przykład: Worek z kulkami: 3 czerwone, 2 niebieskie. P(czerwona) = 3/5. P(żółta) = 0 (niemożliwe). P(czerwona lub niebieska) = 1 (pewne).
⚡ Zapamiętaj: Prawdopodobieństwo zawsze mieści się w przedziale $[0, 1]$. Suma prawdopodobieństw wszystkich możliwych wyników = 1.
Dane statystyczne — zbieranie i porządkowanie
Definicja: Dane statystyczne to zebrane obserwacje lub pomiary. Porządkujemy je przez: tabelę częstości, sortowanie, grupowanie w przedziały. Populacja to cała badana zbiorowość, próba — jej część.
Prosto mówiąc: Zbierasz dane (np. wzrost uczniów), a potem układasz je tak, by łatwo znaleźć wzorce: kto jest najwyższy, jaka jest typowa wartość.
Zastosowanie:
- Ankiety szkolne i badania opinii
- Pomiary naukowe
- Analiza wyników sportowych
Przykład: Wzrosty (cm): 162, 175, 168, 175, 180, 162, 162. Tabela częstości: 162→3×, 168→1×, 175→2×, 180→1×. Moda = 162 cm.
⚡ Zapamiętaj: Tabelę częstości tworzysz przez policzenie, ile razy każda wartość wystąpiła. Użyj kreseczek przy zliczaniu.
Diagram Venna — zaznaczanie zbiorów
Definicja: Diagram Venna to rysunek złożony z zachodzących na siebie okręgów (lub owalnych obszarów), gdzie każdy okrąg reprezentuje zbiór. Część wspólna (przekrój) to element należący do obu zbiorów.
Prosto mówiąc: Dwa okręgi częściowo na siebie nachodzą. W środku (część wspólna) są elementy należące do obu zbiorów. Na zewnątrz — elementy nienależące do żadnego.
Zastosowanie:
- Klasyfikacja zwierząt (ssaki, zwierzęta wodne)
- Hobby uczniów (kto gra w piłkę I pływa)
- Logika i teoria zbiorów
Przykład: Zbiór A: {1,2,3,4}, Zbiór B: {3,4,5,6}. Część wspólna A∩B = {3,4}. Suma A∪B = {1,2,3,4,5,6}.
⚡ Zapamiętaj: ∩ = przekrój (część wspólna = "i"). ∪ = suma (wszystkie razem = "lub"). A\B = różnica (tylko w A, nie w B).
Równania liniowe z jedną niewiadomą
Definicja: Równanie liniowe z jedną niewiadomą $x$ ma postać:
$$ax + b = 0, \quad a \neq 0$$
Jedyne rozwiązanie: $x = -\dfrac{b}{a}$.
Ogólniej: $ax + b = cx + d$ — przenosimy wyrazy z $x$ na lewą, stałe na prawą stronę.
Ogólniej: $ax + b = cx + d$ — przenosimy wyrazy z $x$ na lewą, stałe na prawą stronę.
Prosto mówiąc: Równanie to "waga" — to co robisz po jednej stronie, musisz zrobić po drugiej. Cel: zostać z samym $x$ po lewej stronie.
Algorytm rozwiązywania:
- Usuń nawiasy (reguła rozdzielności)
- Przenieś wyrazy z $x$ na lewą, stałe na prawą stronę (zmień znaki)
- Połącz wyrazy podobne
- Podziel obie strony przez współczynnik przy $x$
Przykład: Rozwiąż $3(x-2) + 5 = 2x - 1$
- $3x - 6 + 5 = 2x - 1$
- $3x - 1 = 2x - 1$
- $3x - 2x = -1 + 1$
- $x = 0$
⚡ Zapamiętaj: Zawsze sprawdź wynik — podstaw znalezione $x$ do oryginalnego równania. Tu: $3(0-2)+5 = -6+5=-1$ i $2\cdot0-1=-1$ ✓.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie: W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej ($c$) równa się sumie kwadratów długości przyprostokątnych ($a$, $b$):
$$a^2 + b^2 = c^2$$
Twierdzenie odwrotne: Jeśli $a^2 + b^2 = c^2$, to trójkąt jest prostokątny.
Prosto mówiąc: Masz trójkąt z kątem prostym? Kwadrat zbudowany na najdłuższym boku ma pole równe sumie pól kwadratów na krótszych bokach. Egipcjanie używali sznura z węzłami co 3-4-5 jednostek do mierzenia kątów prostych przy budowie piramid.
Trójki pitagorejskie (liczby naturalne):
- 3, 4, 5 (i wielokrotności: 6-8-10, 9-12-15…)
- 5, 12, 13
- 8, 15, 17
- 7, 24, 25
Przykład: Przekątna kwadratu o boku $a$.
$$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$
Dla $a = 5$ cm: $d = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$ cm.
⚡ Zapamiętaj: Przekątna prostokąta: $d = \sqrt{a^2+b^2}$. Wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$: $h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Obie wynikają wprost z twierdzenia Pitagorasa.
Figury podobne — skala i warunki podobieństwa
Definicja: Dwie figury są podobne ($\sim$), jeśli jedna powstaje z drugiej przez powiększenie lub pomniejszenie (homotetię), ewentualnie z dodatkowym obrotem lub odbiciem. Stosunek odpowiadających sobie boków jest stały i nazywa się skalą podobieństwa $k$.
Warunki podobieństwa trójkątów:
- KKK — odpowiadające kąty są równe ($\alpha=\alpha'$, $\beta=\beta'$, $\gamma=\gamma'$)
- BBB — odpowiadające boki proporcjonalne ($\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$)
- BKB — dwa boki proporcjonalne i zawarty między nimi kąt równy
Przykład: Dwa trójkąty podobne, skala $k = 3$. Mniejszy ma pole 8 cm². Pole większego?
$$P_2 = k^2 \cdot P_1 = 9 \cdot 8 = 72 \text{ cm}^2$$
⚡ Zapamiętaj: Podobieństwo ≠ przystąwalność! Figury przystające są podobne ze skalą $k=1$. Mapy i modele architektoniczne to podobieństwo w działaniu — mapa 1:25000 oznacza $k=\frac{1}{25000}$.
Graniastosłupy i ostrosłupy
Graniastosłup
Ma dwie identyczne, równoległe podstawy i ściany boczne będące prostokątami (w graniastosłupie prostym).
$$V=P_p\cdot H,\qquad P_c=2P_p+P_b,\qquad P_b=Ob_p\cdot H$$
Ostrosłup
Ma jedną podstawę, a ściany boczne są trójkątami zbiegającymi się w jednym wierzchołku.
$$V=\frac{1}{3}P_p\cdot H,\qquad P_c=P_p+P_b$$
Ostrosłup ma trzykrotnie mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.
Oznaczenia
- $P_p$ — pole podstawy
- $H$ — wysokość bryły (odcinek prostopadły do podstawy)
- $h$ — wysokość ściany bocznej ostrosłupa (apotema)
- $P_b$ — pole powierzchni bocznej, $P_c$ — pole całkowite
Bryły prawidłowe
Określenie prawidłowy oznacza, że podstawą jest wielokąt foremny: w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym podstawą jest kwadrat, w trójkątnym — trójkąt równoboczny.
Na co uważać
Nie myl wysokości bryły $H$ z wysokością ściany bocznej $h$. Do objętości wchodzi $H$, do pola bocznego $h$. Wiąże je twierdzenie Pitagorasa. Pamiętaj też o jednostkach: $1\ \text{l}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$.
Nierówności liniowe z jedną niewiadomą
Definicja: Nierówność liniowa: $ax + b > 0$ (lub $<, \geq, \leq$).
Rozwiązaniem jest przedział liczb (nie pojedyncza wartość).
Kluczowa reguła: Przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną — odwróć znak nierówności!
Rozwiązaniem jest przedział liczb (nie pojedyncza wartość).
Kluczowa reguła: Przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną — odwróć znak nierówności!
Prosto mówiąc: $2 < 5$. Pomnóż obie strony przez $-1$: $-2 > -5$ (znak się odwraca!). To jedna z pułapek, w którą łatwo wpaść.
Notacja rozwiązań:
- $x > 3$: przedział $(3, +\infty)$, na osi — strzałka w prawo od otwartego punktu
- $x \leq -2$: przedział $(-\infty, -2\rangle$, strzałka w lewo od zamkniętego punktu
Przykład: Rozwiąż $-2x + 3 \geq 7$
- $-2x \geq 7 - 3 = 4$
- $x \leq \dfrac{4}{-2} = -2$ (dzielenie przez $-2$ — odwróć $\geq$ na $\leq$!)
- Rozwiązanie: $x \in (-\infty, -2\rangle$
⚡ Zapamiętaj: Dzielisz/mnożysz przez ujemną? Odwróć znak! $-2x \geq 4 \Rightarrow x \leq -2$, NIE $x \geq -2$.
Wyrażenia algebraiczne i zmienne
Definicja: Zmienna (np. $x$, $a$, $n$) to symbol reprezentujący nieznaną liczbę.
Wyrażenie algebraiczne to zapis zawierający zmienne, liczby i działania, np. $3x + 2$, $a^2 - b$.
Równanie to równość dwóch wyrażeń z co najmniej jedną zmienną: $2x + 5 = 11$.
Prosto mówiąc: Zmienna to „nieznajomy" — szukamy jej wartości. Wyrażenie algebraiczne to przepis — podstawiasz liczbę, dostajesz wynik.
Zasady przekształceń:
- Dodawaj podobne wyrazy: $3x + 5x = 8x$ (ale $3x + 5y$ nie upraszcza się)
- Równanie: co robisz z jedną stroną, rób z drugą
- Przenoszenie: zmień znak! $x + 3 = 7 \Rightarrow x = 7 - 3$
Przykład: Rozwiąż $3x - 4 = 11$.
- Dodaj 4 do obu stron: $3x = 15$
- Podziel przez 3: $x = 5$
- Sprawdzenie: $3 \cdot 5 - 4 = 11$ ✓
⚡ Zapamiętaj: Przenosząc wyraz na drugą stronę równania, ZAWSZE zmieniasz znak! $+$ staje się $-$ i odwrotnie.
Strona 2 z 9 · 197 wyników
Zacznij dziś
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.