🧠 Baza wiedzy LekcjeRazem
Definicje i teorie — Matematyka
Kluczowe pojęcia z matematyki i fizyki — od podstawówki po maturę. Każda definicja z wyjaśnieniem i przykładem, w jednym kliknięciu.
212 pojęć w tym zestawie
∑ Matematyka: 489
⚡ Fizyka: 221
⚗️ Chemia: 126
∑ Polski: 112
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
∑ Matematyka · Szkoła podstawowa
Drzewko możliwości — metoda zliczania wyników
Definicja: Drzewko (diagram drzewa) to graficzny schemat rozgałęzień pokazujący wszystkie możliwe wyniki złożonego doświadczenia losowego. Każda gałąź = jeden wynik kolejnego etapu.
Prosto mówiąc: Rzucasz monetą dwa razy. Pierwsza gałąź: O lub R. Z każdej wyrastają kolejne dwie: OO, OR, RO, RR. Widać WSZYSTKIE kombinacje.
Zastosowanie:
- Wyznaczanie przestrzeni zdarzeń
- Liczenie kombinacji (ubrania, menu)
- Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń złożonych
Przykład: Rzut monetą i kostką: $2 \times 6 = 12$ wyników. Drzewko: 2 gałęzie (O,R) → każda 6 gałęzi (1–6). Wyniki: O1, O2, ..., O6, R1, ..., R6.
⚡ Zapamiętaj: Liczba wyników = iloczyn liczb możliwości na każdym etapie. $2 \times 6 = 12$, $6 \times 6 = 36$ (dwie kostki).
Zdarzenie pewne, niemożliwe i losowe
Definicja:
• Zdarzenie pewne: zawsze zachodzi, $P = 1$
• Zdarzenie niemożliwe: nigdy nie zachodzi, $P = 0$
• Zdarzenie losowe: może zajść lub nie, $0 < P \lt 1$
• Zdarzenie niemożliwe: nigdy nie zachodzi, $P = 0$
• Zdarzenie losowe: może zajść lub nie, $0 < P \lt 1$
Prosto mówiąc: Rzucasz zwykłą kostką — wyrzucenie liczby od 1 do 6 to zdarzenie pewne. Wyrzucenie 7 to niemożliwe. Wyrzucenie 5 to losowe.
Zastosowanie:
- Ocena prawdopodobieństwa zdarzeń
- Analiza ryzyka w decyzjach
- Gry i losowania
Przykład: Worek z kulkami: 3 czerwone, 2 niebieskie. P(czerwona) = 3/5. P(żółta) = 0 (niemożliwe). P(czerwona lub niebieska) = 1 (pewne).
⚡ Zapamiętaj: Prawdopodobieństwo zawsze mieści się w przedziale $[0, 1]$. Suma prawdopodobieństw wszystkich możliwych wyników = 1.
Dane statystyczne — zbieranie i porządkowanie
Definicja: Dane statystyczne to zebrane obserwacje lub pomiary. Porządkujemy je przez: tabelę częstości, sortowanie, grupowanie w przedziały. Populacja to cała badana zbiorowość, próba — jej część.
Prosto mówiąc: Zbierasz dane (np. wzrost uczniów), a potem układasz je tak, by łatwo znaleźć wzorce: kto jest najwyższy, jaka jest typowa wartość.
Zastosowanie:
- Ankiety szkolne i badania opinii
- Pomiary naukowe
- Analiza wyników sportowych
Przykład: Wzrosty (cm): 162, 175, 168, 175, 180, 162, 162. Tabela częstości: 162→3×, 168→1×, 175→2×, 180→1×. Moda = 162 cm.
⚡ Zapamiętaj: Tabelę częstości tworzysz przez policzenie, ile razy każda wartość wystąpiła. Użyj kreseczek przy zliczaniu.
Diagram Venna — zaznaczanie zbiorów
Definicja: Diagram Venna to rysunek złożony z zachodzących na siebie okręgów (lub owalnych obszarów), gdzie każdy okrąg reprezentuje zbiór. Część wspólna (przekrój) to element należący do obu zbiorów.
Prosto mówiąc: Dwa okręgi częściowo na siebie nachodzą. W środku (część wspólna) są elementy należące do obu zbiorów. Na zewnątrz — elementy nienależące do żadnego.
Zastosowanie:
- Klasyfikacja zwierząt (ssaki, zwierzęta wodne)
- Hobby uczniów (kto gra w piłkę I pływa)
- Logika i teoria zbiorów
Przykład: Zbiór A: {1,2,3,4}, Zbiór B: {3,4,5,6}. Część wspólna A∩B = {3,4}. Suma A∪B = {1,2,3,4,5,6}.
⚡ Zapamiętaj: ∩ = przekrój (część wspólna = "i"). ∪ = suma (wszystkie razem = "lub"). A\B = różnica (tylko w A, nie w B).
Równania liniowe z jedną niewiadomą
Definicja: Równanie liniowe z jedną niewiadomą $x$ ma postać:
$$ax + b = 0, \quad a \neq 0$$
Jedyne rozwiązanie: $x = -\dfrac{b}{a}$.
Ogólniej: $ax + b = cx + d$ — przenosimy wyrazy z $x$ na lewą, stałe na prawą stronę.
Ogólniej: $ax + b = cx + d$ — przenosimy wyrazy z $x$ na lewą, stałe na prawą stronę.
Prosto mówiąc: Równanie to "waga" — to co robisz po jednej stronie, musisz zrobić po drugiej. Cel: zostać z samym $x$ po lewej stronie.
Algorytm rozwiązywania:
- Usuń nawiasy (reguła rozdzielności)
- Przenieś wyrazy z $x$ na lewą, stałe na prawą stronę (zmień znaki)
- Połącz wyrazy podobne
- Podziel obie strony przez współczynnik przy $x$
Przykład: Rozwiąż $3(x-2) + 5 = 2x - 1$
- $3x - 6 + 5 = 2x - 1$
- $3x - 1 = 2x - 1$
- $3x - 2x = -1 + 1$
- $x = 0$
⚡ Zapamiętaj: Zawsze sprawdź wynik — podstaw znalezione $x$ do oryginalnego równania. Tu: $3(0-2)+5 = -6+5=-1$ i $2\cdot0-1=-1$ ✓.
Stereometria — bryły i ich własności
Podstawowe bryły przestrzenne:
- Graniastosłup: dwie równoległe przystające podstawy (wielokąty), boki prostokątne. Pryzmat prosty: boczne krawędzie $\perp$ podstawie.
- Ostrosłup: jedna podstawa (wielokąt), wierzchołek. Piramida regularna: podstawa regularna, wierzchołek nad środkiem.
- Walec: dwie kołowe podstawy, powierzchnia boczna prostopadła
- Stożek: kołowa podstawa, jeden wierzchołek (szczyt)
- Kula: zbiór punktów w odległości $r$ od środka
Kluczowe wzory:
- Graniastosłup: $V = P_{\text{podst}} \cdot h$; $P_{\text{całk}} = 2P_{\text{podst}} + P_{\text{boczna}}$
- Ostrosłup: $V = \dfrac{1}{3} P_{\text{podst}} \cdot h$
- Walec: $V = \pi r^2 h$; $P_{\text{całk}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h$
- Stożek: $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$; $P_{\text{całk}} = \pi r^2 + \pi r l$ ($l$ — tworząca)
- Kula: $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$; $P = 4\pi r^2$
Przykład: Stożek: $r = 3$ cm, $h = 4$ cm. Oblicz objętość i tworząca $l$.
- $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{9+16} = 5$ cm
- $V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi \approx 37{,}7$ cm³
⚡ Zapamiętaj: Ostrosłup ma objętość $\frac{1}{3}$ graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości. Stożek ma objętość $\frac{1}{3}$ walca — ta zasada "jednej trzeciej" dotyczy wszystkich brył z wierzchołkiem.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie: W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej ($c$) równa się sumie kwadratów długości przyprostokątnych ($a$, $b$):
$$a^2 + b^2 = c^2$$
Twierdzenie odwrotne: Jeśli $a^2 + b^2 = c^2$, to trójkąt jest prostokątny.
Prosto mówiąc: Masz trójkąt z kątem prostym? Kwadrat zbudowany na najdłuższym boku ma pole równe sumie pól kwadratów na krótszych bokach. Egipcjanie używali sznura z węzłami co 3-4-5 jednostek do mierzenia kątów prostych przy budowie piramid.
Trójki pitagorejskie (liczby naturalne):
- 3, 4, 5 (i wielokrotności: 6-8-10, 9-12-15…)
- 5, 12, 13
- 8, 15, 17
- 7, 24, 25
Przykład: Przekątna kwadratu o boku $a$.
$$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$
Dla $a = 5$ cm: $d = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$ cm.
⚡ Zapamiętaj: Przekątna prostokąta: $d = \sqrt{a^2+b^2}$. Wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$: $h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Obie wynikają wprost z twierdzenia Pitagorasa.
Figury podobne — skala i warunki podobieństwa
Definicja: Dwie figury są podobne ($\sim$), jeśli jedna powstaje z drugiej przez powiększenie lub pomniejszenie (homotetię), ewentualnie z dodatkowym obrotem lub odbiciem. Stosunek odpowiadających sobie boków jest stały i nazywa się skalą podobieństwa $k$.
Warunki podobieństwa trójkątów:
- KKK — odpowiadające kąty są równe ($\alpha=\alpha'$, $\beta=\beta'$, $\gamma=\gamma'$)
- BBB — odpowiadające boki proporcjonalne ($\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$)
- BKB — dwa boki proporcjonalne i zawarty między nimi kąt równy
Przykład: Dwa trójkąty podobne, skala $k = 3$. Mniejszy ma pole 8 cm². Pole większego?
$$P_2 = k^2 \cdot P_1 = 9 \cdot 8 = 72 \text{ cm}^2$$
⚡ Zapamiętaj: Podobieństwo ≠ przystąwalność! Figury przystające są podobne ze skalą $k=1$. Mapy i modele architektoniczne to podobieństwo w działaniu — mapa 1:25000 oznacza $k=\frac{1}{25000}$.
Graniastosłupy i ostrosłupy
Graniastosłup
Ma dwie identyczne, równoległe podstawy i ściany boczne będące prostokątami (w graniastosłupie prostym).
$$V=P_p\cdot H,\qquad P_c=2P_p+P_b,\qquad P_b=Ob_p\cdot H$$
Ostrosłup
Ma jedną podstawę, a ściany boczne są trójkątami zbiegającymi się w jednym wierzchołku.
$$V=\frac{1}{3}P_p\cdot H,\qquad P_c=P_p+P_b$$
Ostrosłup ma trzykrotnie mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.
Oznaczenia
- $P_p$ — pole podstawy
- $H$ — wysokość bryły (odcinek prostopadły do podstawy)
- $h$ — wysokość ściany bocznej ostrosłupa (apotema)
- $P_b$ — pole powierzchni bocznej, $P_c$ — pole całkowite
Bryły prawidłowe
Określenie prawidłowy oznacza, że podstawą jest wielokąt foremny: w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym podstawą jest kwadrat, w trójkątnym — trójkąt równoboczny.
Na co uważać
Nie myl wysokości bryły $H$ z wysokością ściany bocznej $h$. Do objętości wchodzi $H$, do pola bocznego $h$. Wiąże je twierdzenie Pitagorasa. Pamiętaj też o jednostkach: $1\ \text{l}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$.
Kombinatoryka — reguły zliczania
Podstawowe reguły:
Kombinacja: $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ (wybór $k$ z $n$ bez kolejności)
Wariacja (bez pow.): $V_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$ (wybór $k$ z $n$ z kolejnością)
- Reguła mnożenia: Jeśli zdarzenie A można wykonać na $m$ sposobów i niezależnie zdarzenie B na $n$ sposobów, to oba łącznie na $m \cdot n$ sposobów.
- Reguła dodawania: Jeśli A można wykonać na $m$ sposobów LUB B na $n$ sposobów (wykluczają się), to łącznie na $m + n$ sposobów.
Kombinacja: $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ (wybór $k$ z $n$ bez kolejności)
Wariacja (bez pow.): $V_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$ (wybór $k$ z $n$ z kolejnością)
Prosto mówiąc: Masz 3 koszulki i 2 spodnie — ile outfitów? $3 \times 2 = 6$ (reguła mnożenia). Iluś kandydatów do 4 miejsc? Kombinacja lub permutacja — zależy czy kolejność ważna.
Przykład: Lotto 6/49 — ile możliwych losowań?
$$\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6!} = 13\,983\,816$$
⚡ Zapamiętaj: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ — wybierając 2 z 10 to tyle samo co "odrzucanie" 8 z 10. Symbol Newtona $\binom{n}{k}$ zawsze daje liczbę całkowitą.
Nierówności liniowe z jedną niewiadomą
Definicja: Nierówność liniowa: $ax + b > 0$ (lub $\lt , \geq, \leq$).
Rozwiązaniem jest przedział liczb (nie pojedyncza wartość).
Kluczowa reguła: Przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną — odwróć znak nierówności!
Rozwiązaniem jest przedział liczb (nie pojedyncza wartość).
Kluczowa reguła: Przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną — odwróć znak nierówności!
Prosto mówiąc: $2 \lt 5$. Pomnóż obie strony przez $-1$: $-2 > -5$ (znak się odwraca!). To jedna z pułapek, w którą łatwo wpaść.
Notacja rozwiązań:
- $x > 3$: przedział $(3, +\infty)$, na osi — strzałka w prawo od otwartego punktu
- $x \leq -2$: przedział $(-\infty, -2\rangle$, strzałka w lewo od zamkniętego punktu
Przykład: Rozwiąż $-2x + 3 \geq 7$
- $-2x \geq 7 - 3 = 4$
- $x \leq \dfrac{4}{-2} = -2$ (dzielenie przez $-2$ — odwróć $\geq$ na $\leq$!)
- Rozwiązanie: $x \in (-\infty, -2\rangle$
⚡ Zapamiętaj: Dzielisz/mnożysz przez ujemną? Odwróć znak! $-2x \geq 4 \Rightarrow x \leq -2$, NIE $x \geq -2$.
Wyrażenia algebraiczne i zmienne
Definicja: Zmienna (np. $x$, $a$, $n$) to symbol reprezentujący nieznaną liczbę.
Wyrażenie algebraiczne to zapis zawierający zmienne, liczby i działania, np. $3x + 2$, $a^2 - b$.
Równanie to równość dwóch wyrażeń z co najmniej jedną zmienną: $2x + 5 = 11$.
Prosto mówiąc: Zmienna to „nieznajomy" — szukamy jej wartości. Wyrażenie algebraiczne to przepis — podstawiasz liczbę, dostajesz wynik.
Zasady przekształceń:
- Dodawaj podobne wyrazy: $3x + 5x = 8x$ (ale $3x + 5y$ nie upraszcza się)
- Równanie: co robisz z jedną stroną, rób z drugą
- Przenoszenie: zmień znak! $x + 3 = 7 \Rightarrow x = 7 - 3$
Przykład: Rozwiąż $3x - 4 = 11$.
- Dodaj 4 do obu stron: $3x = 15$
- Podziel przez 3: $x = 5$
- Sprawdzenie: $3 \cdot 5 - 4 = 11$ ✓
⚡ Zapamiętaj: Przenosząc wyraz na drugą stronę równania, ZAWSZE zmieniasz znak! $+$ staje się $-$ i odwrotnie.
Bryły — graniastosłupy i ostrosłupy
Graniastosłup — bryła o dwóch równoległych i przystających podstawach (wielokątach) połączonych prostokątnymi bocznymi ścianami. Prosty: boczne krawędzie prostopadłe do podstaw.
Ostrosłup — bryła o podstawie (wielokącie) i trójkątnych ścianach bocznych zbiegających się w wierzchołku (apex).
Ostrosłup — bryła o podstawie (wielokącie) i trójkątnych ścianach bocznych zbiegających się w wierzchołku (apex).
Wzory — graniastosłup prosty:
- Objętość: $V = P_{podst} \cdot h$ (pole podstawy × wysokość)
- Pole powierzchni: $P_{pp} = 2P_{podst} + P_{boczna}$
- Sześcian ($a$): $V = a^3$; $P_{pp} = 6a^2$
- Prostopadłościan ($a,b,c$): $V = abc$; $P_{pp} = 2(ab+bc+ca)$
- Objętość: $V = \dfrac{1}{3} P_{podst} \cdot h$
- Stożek: $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$; Walec: $V = \pi r^2 h$
- Kula: $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$; $P_{pp} = 4\pi r^2$
Przykład: Ostrosłup czworokątny (kwadratowy) o podstawie $6\times6$ cm i wysokości 8 cm.
$$V = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 8 = 96 \text{ cm}^3$$
⚡ Zapamiętaj: Objętość ostrosłupa = $\frac{1}{3}$ objętości graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości. Trzy takie ostrosłupy wypełniają jeden graniastosłup.
Nierówności kwadratowe — rozwiązywanie
Definicja: Nierówność kwadratowa to nierówność postaci:
$$ax^2 + bx + c > 0 \quad (\text{lub} \lt , \geq, \leq), \quad a \neq 0$$
Rozwiązanie zależy od znaku $\Delta = b^2 - 4ac$ i znaku $a$:
- $\Delta \lt 0$: parabola nie przecina osi $OX$ — rozwiązanie to $\mathbb{R}$ lub $\emptyset$
- $\Delta = 0$: parabola dotyka osi $OX$ w jednym punkcie
- $\Delta > 0$: dwa pierwiastki $x_1 \lt x_2$ dzielą oś na 3 przedziały
Metoda paraboliczna: Narysuj parabolę ($a > 0$ — otwarta w górę, $a \lt 0$ — w dół). Sprawdź, gdzie parabola jest "nad" lub "pod" osią $OX$.
Zasada znaku dla $a > 0$, $\Delta > 0$, pierwiastki $x_1 \lt x_2$:
- $ax^2+bx+c > 0$ dla $x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$ — "na zewnątrz" pierwiastków
- $ax^2+bx+c \lt 0$ dla $x \in (x_1, x_2)$ — "między" pierwiastkami
Przykład: Rozwiąż $x^2 - 5x + 6 > 0$
- $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$; $x_1 = 2$, $x_2 = 3$
- $a = 1 > 0$: parabola otwarta w górę
- Rozwiązanie: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$
⚡ Zapamiętaj: Dla $a > 0$ nierówność $ax^2+bx+c \lt 0$ jest spełniona MIĘDZY pierwiastkami (przedział), a $> 0$ NA ZEWNĄTRZ pierwiastków (dwa pół-proste). Rysunek paraboliczny rozwieje wątpliwości.
Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi
Definicja: Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi:
$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$
Rozwiązanie to para $(x, y)$ spełniająca oba równania jednocześnie.
Metody rozwiązywania:
- Podstawiania: Wyraź jedną niewiadomą z jednego równania i podstaw do drugiego.
- Przeciwnych współczynników: Pomnóż równania tak, by jeden ze współczynników miał wartości przeciwne — dodaj stronami.
- Graficzna: Narysuj obie proste — punkt przecięcia to rozwiązanie.
Przykład (przeciwnych wsp.): $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - 3y = 6 \end{cases}$
- Dodaj oba: $6x = 18 \Rightarrow x = 3$
- Podstaw: $2\cdot3 + 3y = 12 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2$
- Rozwiązanie: $(3, 2)$
⚡ Zapamiętaj: Sprawdź wynik w OBU równaniach: $2\cdot3+3\cdot2=12$ ✓ i $4\cdot3-3\cdot2=6$ ✓. Jeden błąd w rachunkach = zły wynik w obu!
Koło i okrąg
Okrąg a koło
Okrąg to linia — zbiór punktów odległych od środka o promień $r$. Koło to okrąg wraz z całym wnętrzem.
Podstawowe wzory
$$l=2\pi r=\pi d,\qquad P=\pi r^2$$
gdzie $d=2r$ to średnica, a $\pi\approx3{,}14$ jest stosunkiem obwodu do średnicy — identycznym dla każdego okręgu.
Łuk i wycinek
Dla kąta środkowego $\alpha$ bierzemy odpowiednią część pełnego okręgu:
$$l_{\text{łuku}}=2\pi r\cdot\frac{\alpha}{360^\circ},\qquad P_{\text{wycinka}}=\pi r^2\cdot\frac{\alpha}{360^\circ}$$
Symetrie
Koło ma nieskończenie wiele osi symetrii (każda prosta przez środek) oraz środek symetrii. Symetralna odcinka to prosta prostopadła przechodząca przez jego środek — jej punkty są równo oddalone od końców odcinka. Dwusieczna kąta dzieli kąt na połowy, a jej punkty są równo oddalone od ramion.
Najczęstszy błąd
W polu do kwadratu podnosimy promień, nie średnicę. Mając $d=10$, najpierw policz $r=5$, dopiero potem $P=\pi r^2$ — inaczej wynik będzie czterokrotnie za duży. Nie myl też łuku (długość, cm) z wycinkiem (pole, cm²).
Podstawowe figury geometryczne — definicje
Definicje:
- Punkt — element bez wymiarów, określa położenie
- Prosta — nieskończona linia, przez 2 punkty przechodzi dokładnie 1 prosta
- Odcinek — część prostej między dwoma punktami (ma długość)
- Kąt — część płaszczyzny między dwoma półprostymi o wspólnym początku (wierzchołku)
- Wielokąt — figura ograniczona odcinkami (bokami), np. trójkąt, czworokąt
Rodzaje kątów:
- Ostry: $0° \lt \alpha \lt 90°$
- Prosty: $\alpha = 90°$
- Rozwarty: $90° \lt \alpha \lt 180°$
- Pełny: $\alpha = 360°$
Zastosowanie — trójkąt:
- Suma kątów trójkąta: $\alpha + \beta + \gamma = 180°$
- Trójkąt prostokątny: jeden kąt = 90°
- Równoboczny: wszystkie boki równe, kąty po 60°
- Równoramienny: dwa boki równe, dwa kąty przy podstawie równe
Przykład: Trójkąt ma kąty 50° i 70°. Ile wynosi trzeci kąt?
- $\alpha + \beta + \gamma = 180°$
- $\gamma = 180° - 50° - 70° = 60°$
⚡ Zapamiętaj: Suma kątów w KAŻDYM trójkącie = 180°. Suma kątów w czworokącie = 360°. Ogólnie: $n$-kąt → $(n-2) \cdot 180°$.
Przekształcenia geometryczne — przesunięcie i obrót
Izometria — przekształcenie zachowujące odległości (długości, kąty, pola). Główne izometrie:
- Przesunięcie (translacja): każdy punkt przesuwa się o ten sam wektor $\vec{v} = [p, q]$. Wzór: $P(x,y) \to P'(x+p, y+q)$.
- Obrót: każdy punkt obraca się o kąt $\varphi$ wokół środka $S$. Dla środka $(0,0)$: $x'=x\cos\varphi - y\sin\varphi$, $y'=x\sin\varphi + y\cos\varphi$.
- Odbicie (symetria osiowa): omówione wcześniej.
Prosto mówiąc: Translacja to "przesunięcie figury bez obracania" — jak przesuwasz bierkę szachową. Obrót to wirowanie wokół punktu — jak wskazówka zegara.
Złożenia przekształceń: Dwa odbicia względem równoległych prostych = translacja. Dwa odbicia względem przecinających się prostych = obrót o kąt = 2 × kąt między prostymi.
Przykład: Przesuń trójkąt $A(1,1)$, $B(3,1)$, $C(2,3)$ o wektor $\vec{v} = [2,-1]$.
- $A'(1+2, 1-1) = A'(3, 0)$
- $B'(3+2, 1-1) = B'(5, 0)$
- $C'(2+2, 3-1) = C'(4, 2)$
⚡ Zapamiętaj: Translacja i obrót zachowują orientację figury (nie "odwracają" jej jak w lustrze). Złożenie dwóch symetrii osiowych daje translację lub obrót — to fundamentalne twierdzenie geometrii.
Wektory — działania i iloczyn skalarny
Wektor $\vec{v} = [v_x, v_y]$ — obiekt o długości (module) i kierunku.
Moduł: $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.
Dodawanie: $\vec{u}+\vec{v} = [u_x+v_x, u_y+v_y]$ (reguła trójkąta / równoległoboku).
Mnożenie przez skalar: $k\vec{v} = [kv_x, kv_y]$.
Moduł: $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.
Dodawanie: $\vec{u}+\vec{v} = [u_x+v_x, u_y+v_y]$ (reguła trójkąta / równoległoboku).
Mnożenie przez skalar: $k\vec{v} = [kv_x, kv_y]$.
Iloczyn skalarny:
$$\vec{u}\cdot\vec{v} = u_xv_x + u_yv_y = |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\varphi$$
Gdzie $\varphi$ — kąt między wektorami.
Prostopadłość: $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v} = 0$.
Równoległość: $\vec{u} \parallel \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} = k\vec{v}$ dla pewnego $k$.
Prostopadłość: $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v} = 0$.
Równoległość: $\vec{u} \parallel \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} = k\vec{v}$ dla pewnego $k$.
Przykład: $\vec{u}=[3,4]$, $\vec{v}=[1,-2]$. Oblicz kąt między nimi.
- $\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\cdot1+4\cdot(-2) = 3-8 = -5$
- $|\vec{u}|=5$, $|\vec{v}|=\sqrt{5}$
- $\cos\varphi = \dfrac{-5}{5\sqrt{5}} = \dfrac{-1}{\sqrt{5}}$; $\varphi \approx 116{,}6°$
⚡ Zapamiętaj: Iloczyn skalarny to "miara nakładania się" dwóch wektorów. $\vec{u}\cdot\vec{v}>0$ — kąt ostry; $=0$ — prostopadłe; $\lt 0$ — kąt rozwarty. Zastosowania: rzut prostopadły, praca sił, optyka.
Koło i okrąg — definicje
Definicje:
- Okrąg — zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych o dokładnie $r$ od środka $O$. To sam obwód (linia).
- Koło — okrąg wraz z wnętrzem (powierzchnia)
- Promień $r$ — odcinek od środka do okręgu
- Średnica $d = 2r$ — cięciwa przez środek
- Cięciwa — odcinek łączący dwa punkty okręgu
Prosto mówiąc: Okrąg = sam drut ogrodzenia okrągłego pola. Koło = cały obszar pola.
Wzory:
- Długość okręgu: $L = 2\pi r = \pi d$
- Pole koła: $P = \pi r^2$
- Łuk: $l = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$
- Wycinek: $P_w = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$
Przykład: Koło o promieniu 7 cm. Długość okręgu i pole?
- $L = 2\pi \cdot 7 = 14\pi \approx 43{,}98$ cm
- $P = \pi \cdot 49 = 49\pi \approx 153{,}94$ cm²
⚡ Zapamiętaj: $\pi \approx 3{,}14$ lub $\pi \approx \frac{22}{7}$. Długość okręgu: $r$ w pierwszej potędze. Pole koła: $r$ w drugiej potędze.
Prawdopodobieństwo i reguła mnożenia
Doświadczenie losowe
To doświadczenie, którego wyniku nie da się przewidzieć, np. rzut kostką. Zbiór wszystkich możliwych wyników oznaczamy $\Omega$, a interesujące nas wyniki tworzą zdarzenie $A$.
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Gdy wszystkie wyniki są jednakowo możliwe:
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$$
Wynik zawsze mieści się w przedziale od $0$ (zdarzenie niemożliwe) do $1$ (zdarzenie pewne).
Przykład: rzut kostką, zdarzenie „liczba parzysta”: $P=\frac{3}{6}=\frac12$.
Reguła mnożenia
Jeśli wybór składa się z kilku niezależnych kroków, liczby możliwości mnożymy:
$$n=n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$$
Przykład: $3$ koszulki i $4$ spodnie dają $12$ zestawów.
Gdy elementy się nie powtarzają
Liczba możliwości maleje z każdym krokiem. Ustawienie $4$ osób w rzędzie to $4\cdot3\cdot2\cdot1=24$ sposoby, a nie $4^4$.
Na co uważać
Wzór klasyczny wymaga, by wyniki były równie prawdopodobne. Przy sumie oczek z dwóch kostek $|\Omega|=36$ (wszystkie pary), a nie $11$ (możliwe sumy) — bo suma $7$ wypada częściej niż $2$.
Prostopadłość i równoległość
Definicje:
- Proste równoległe — nie przecinają się (są w tej samej płaszczyźnie i nie mają punktu wspólnego). Symbol: $a \parallel b$
- Proste prostopadłe — przecinają się pod kątem prostym (90°). Symbol: $a \perp b$
Prosto mówiąc: Równoległe — jak szyny kolejowe (nigdy się nie spotkają). Prostopadłe — jak ulice tworzące literę T lub L.
Własności:
- Jeśli dwie proste są prostopadłe do tej samej prostej — są do siebie równoległe
- Kąty przy przecięciu równoległych przez prostą poprzeczną: naprzemianległe są równe, odpowiadające sobie są równe
- Prostokąt: cztery kąty proste, boki przeciwległe równoległe
Przykład: Prosta poprzeczna przecina dwie równoległe. Jeden kąt = 65°. Jakie są pozostałe?
- Kąty przy jednej prostej: 65° i 115° (uzupełniają się do 180°)
- Kąty naprzemianległe: 65° po obu stronach
- Kąty odpowiadające: 65° po tej samej stronie
⚡ Zapamiętaj: Równoległe proste — takie same odległości od siebie w każdym miejscu. Jeśli prosta jest prostopadła do jednej z równoległych, jest prostopadła do obu.
Zbiory — definicja i działania
Definicja: Zbiór to kolekcja dobrze określonych obiektów (elementów). Zapisujemy: $A = \{1, 2, 3\}$ lub opisowo.
- $x \in A$ — $x$ należy do $A$
- $x \notin A$ — $x$ nie należy do $A$
- $\emptyset$ — zbiór pusty
- $A \subseteq B$ — $A$ jest podzbiorem $B$ (każdy element $A$ jest w $B$)
Działania na zbiorach:
- Suma $A \cup B$: elementy należące do $A$ LUB $B$ (albo obu)
- Iloczyn (część wspólna) $A \cap B$: elementy należące do $A$ I $B$
- Różnica $A \setminus B$: elementy $A$, które nie są w $B$
- Dopełnienie $A^c$: elementy spoza $A$ (w zbiorze uniwersalnym)
Liczby rzeczywiste jako zbiory (inkluzje):
$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$
Liczby niewymierne ($\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$): $\sqrt{2}, \pi, e$ — nie da się zapisać jako ułamka.
Przykład: $A = \{1,2,3,4\}$, $B = \{3,4,5,6\}$.
- $A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}$
- $A \cap B = \{3,4\}$
- $A \setminus B = \{1,2\}$
⚡ Zapamiętaj: Suma ∪ = LUB (więcej elementów). Iloczyn ∩ = I (wspólne). Diagram Venna pomaga to wizualizować.
Działania na liczbach naturalnych
Kolejność wykonywania działań
- Działania w nawiasach (od najbardziej wewnętrznego)
- Potęgowanie
- Mnożenie i dzielenie — od lewej do prawej
- Dodawanie i odejmowanie — od lewej do prawej
Przykład: $2+3\cdot4^2=2+3\cdot16=2+48=50$.
Dzielenie z resztą
$$a=b\cdot q+r,\qquad 0\le r\lt b$$
gdzie $a$ — dzielna, $b$ — dzielnik, $q$ — iloraz, $r$ — reszta. Reszta zawsze jest mniejsza od dzielnika.
Przykład: $47:5=9$ r. $2$, bo $47=5\cdot9+2$.
Zaokrąglanie
O zaokrągleniu decyduje pierwsza cyfra odrzucana. Jeśli jest mniejsza niż $5$ — zaokrąglamy w dół, jeśli $5$ lub więcej — w górę.
Przykład: $3\,748$ do setek → cyfra dziesiątek to $4$, więc $3\,700$.
Liczby rzymskie
$I=1$, $V=5$, $X=10$, $L=50$, $C=100$, $D=500$, $M=1000$. Znak mniejszy przed większym oznacza odejmowanie: $IV=4$, $IX=9$, $XL=40$.
Na co uważać
Mnożenie i dzielenie mają równy priorytet — liczymy je po kolei od lewej: $24:4\cdot2=6\cdot2=12$, a nie $24:8=3$. Podobnie dodawanie i odejmowanie.
Strona 3 z 9 · 212 wyników
Zacznij dziś
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.