Powinniśmy zauważyć, że \(\sqrt{1681}=41\). Podstawiając tę informację do naszego równania otrzymamy:
$$|\sqrt{1681}-45|+\sqrt{1681}=|41-45|+41=|-4|+41=4+41=45$$

Z działu procentów wiemy, że obniżenie ceny o \(25\%\) sprawia, iż produkt kosztuje teraz \(0,75\) wartości początkowej. Możemy zatem zapisać, że po obniżce cena tego komputera wynosi:
$$0,75\cdot1968zł=1476zł$$

Oczywiście nic też nie stoi na przeszkodzie, by najpierw obliczyć wysokość obniżki, a potem odliczyć ją od kwoty komputera. Moglibyśmy więc rozpisać to w taki sposób:
Wysokość obniżki wynosi: \(0,25\cdot1968zł=492zł\)
Nowa cena komputera wynosi: \(1968zł-492zł=1476zł\)

Do zadania można podejść na różne sposoby, więc pokażmy sobie różne metody rozwiązania takiego przykładu.

I sposób - rozwiązując każdy logarytm osobno.
Zacznijmy od liczby \(a\). Z własności potęg wiemy, że dwójkę stojącą przed logarytmem możemy przenieść w miejsce potęgi liczby logarytmowanej, dzięki czemu otrzymamy:
$$a=2\cdot log_{4}2=log_{4}2^2=log_{4}4=1$$

Logarytm \(b\) jest nieco trudniejszy, dlatego rozpiszmy go sobie w taki sposób, by przejść do postaci potęgowej:
$$log_{4}8=x \Rightarrow 4^x=8$$

Pamiętając o tym, że \(4=2^2\) oraz że \(8=2^3\), otrzymamy:
$$4^x=8 \           ,\
(2^2)^x=2^3 \           ,\
2^{2x}=2^3 \           ,\
2x=3 \           ,\
x=1,5$$

To oznacza, że \(b=log_{4}8=1,5\)

Teraz sprawa jest już prosta, bowiem skoro \(a=1\) oraz \(b=1,5\), to \(a-b=1-1,5=-\frac{1}{2}\).

II sposób - korzystając z działań na logarytmach
Rozpiszmy sobie logarytm \(a\), przenosząc dwójkę w miejsce wykładnika potęgi liczby logarytmowanej:
$$a=2\cdot log_{4}2=log_{4}2^2=log_{4}4$$

Oczywiście wartość powyższego logarytmu jest równa \(1\), ale nam postać \(log_{4}4\) bardzo pasuje, bo użyjemy jej w odejmowaniu logarytmów, więc możemy ją tak zostawić. Korzystając ze wzoru \(log_{a}b-log_{a}c=log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)\) możemy zapisać, że:
$$log_{4}4-log_{4}8=log_{4}\frac{4}{8}=log_{4}\frac{1}{2}$$

Aby rozwiązać taki logarytm, najprościej będzie przejść do zapisu potęgowego:
$$log_{4}\frac{1}{2}=x \Rightarrow 4^x=\frac{1}{2}$$

Wiedząc, że \(\frac{1}{2}=2^1\) możemy zapisać, że:
$$4^x=\frac{1}{2} \           ,\
{(2^2)}^x=2^{-1} \           ,\
2^{2x}=2^{-1} \           ,\
2x=-1 \           ,\
x=-\frac{1}{2}$$

To oznacza, że \(a-b=-\frac{1}{2}\).

Krok 1. Uproszczenie zapisu liczby \(x\).
Zacznijmy od uproszczenia zapisu liczby \(x\), a dokładniej rzecz ujmując od usunięcia niewymierności z mianownika. W tym celu musimy licznik oraz mianownik ułamka pomnożyć przez wartość znajdującą się w mianowniku, czyli przez \(\sqrt{3}\). Obliczenia będą wyglądać następująco:
$$x=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+3}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$

Krok 2. Podstawienie danych do wyrażenia.
Podstawiając wartość \(x\) do naszego wyrażenia bardzo wiele rzeczy zacznie się teraz skracać, a całość będzie wyglądać następująco:
$$x-1+\frac{1}{x-1}=\frac{\sqrt{3}}{3}+1-1+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}+1-1}= \           ,\
=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}= \           ,\
=\frac{\sqrt{3}}{3}+1\cdot\frac{3}{\sqrt{3}}= \           ,\
=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{\sqrt{3}}= \           ,\
=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}= \           ,\
=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{3}= \           ,\
=\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}= \           ,\
=\frac{1}{3}\sqrt{3}+\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$

Korzystając z jedynki trygonometrycznej \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\) możemy zapisać, że:
$$cos^2\alpha=1-sin^2\alpha$$

W związku z tym:
$$\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}=\frac{sin^2\alpha}{1-sin^2\alpha}$$

Widzimy, że potrzebujemy znać wartość \(sin^2\alpha\), a z treści zadania wiemy, że \(sin\alpha=\frac{3}{4}\). Podnieśmy zatem tę wartość do kwadratu, otrzymując:
$$sin^2\alpha=\left(\frac{3}{4}\right)^2 \           ,\
sin^2\alpha=\frac{9}{16}$$

Podstawiając teraz tę wartość do naszego wyrażenia, otrzymamy:
$$\frac{sin^2\alpha}{1-sin^2\alpha}=\frac{\frac{9}{16}}{1-\frac{9}{16}}=\frac{\frac{9}{16}}{\frac{7}{16}}=\frac{9}{16}\cdot\frac{16}{7}=\frac{9}{7}$$

Miejsce zerowe to taki argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Obrazowo rzecz ujmując, musimy do wzoru funkcji podstawić \(x=\frac{3}{4}\) i sprawdzić, kiedy wartość tej funkcji będzie równa \(0\), zatem:
$$\left(\frac{5}{3}m-4\right)\cdot\frac{3}{4}+3m+6=0 \           ,\
\frac{15}{12}m-3+3m+6=0 \           ,\
1\frac{3}{12}m+3m+3=0 \           ,\
4\frac{1}{4}m+3=0 \           ,\
4\frac{1}{4}m=-3 \           ,\
\frac{17}{4}m=-3 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{17} \           ,\
m=-\frac{12}{17}$$

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych.
Funkcja zapisana jest w postaci iloczynowej, a to oznacza, że bardzo szybko jesteśmy w stanie wyznaczyć jej miejsca zerowe - wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera:
$$x+2021=0 \quad\lor\quad x-1=0 \           ,\
x=-2021 \quad\lor\quad x=1$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Naszkicujmy parabolę, która jest wykresem naszej funkcji, zaznaczając oczywiście wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe. Ramiona paraboli będą skierowane do dołu, ponieważ współczynnik \(a\) jest ujemny (\(a=-4\)):


Krok 3. Wyznaczenie osi symetrii wykresu funkcji.
Oś symetrii paraboli ma tę własność, że przechodzi dokładnie między miejscami zerowymi funkcji. Naszą prostą wyznaczymy więc wyliczając średnią arytmetyczną dwóch miejsc zerowych:
$$\frac{-2021+1}{2}=\frac{-2020}{2}=-1010$$

To oznacza, że osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta \(x=-1010\).

Powinniśmy dostrzec, że wzór funkcji zapisany jest w postaci kanonicznej, czyli \(f(x)=a(x-p)^2+q\). To oznacza, że możemy odczytać ze wzoru współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\).
$$f(x)=-(x+4)^2+2 \           ,\
f(x)=-(x-(-4))^2+2$$

To oznacza, że \(p=-4\) oraz \(q=2\), czyli \(W=(-4;2)\). Taką sytuację mamy jedynie na czwartym rysunku.

W dodatku warto zauważyć, że nasza funkcja ma ujemny współczynnik kierunkowy (to przez minusa stojącego na przodzie), co potwierdza wybór wykresu, bowiem w takiej sytuacji parabola musi mieć ramiona skierowane do dołu.

Aby rozwiązać to zadanie, musimy podstawić do układu równań \(x=2\) oraz \(y=1\), zatem:
\begin{cases}
2\cdot2-3\cdot1=a-b \           ,\
2\cdot2+3\cdot1=a+b
\end{cases}

\begin{cases}
4-3=a-b \           ,\
4+3=a+b
\end{cases}

\begin{cases}
a-b=1 \           ,\
a+b=7
\end{cases}

\begin{cases}
a=1+b \           ,\
a=7-b
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania możemy teraz zapisać, że:
$$1+b=7-b \           ,\
2b=6 \           ,\
b=3$$

Znamy już wartość \(b=3\), zatem podstawiając ją do jednego z równań np. \(a=1+b\), obliczymy poszukiwaną wartość \(a\):
$$a=1+b \           ,\
a=1+3 \           ,\
a=4$$

Aby rozwiązać to równanie, musimy działać dokładnie tak jak przy standardowym równaniu zapisanym w postaci iloczynowej, czyli musimy przyrównać wartości w nawiasach do zera. W związku z tym:
$$x^3+8=0 \quad\lor\quad x^2-9=0 \           ,\
x^3=-8 \quad\lor\quad x^2=9 \           ,\
x=-2 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

Naszym celem jest poznanie sumy wszystkich rozwiązań, zatem:
$$-2+3+(-3)=-2$$

Wbrew pozorom nie musimy wyznaczać równania tej prostej. Wystarczy pamiętać, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, a skoro tak, to będziemy mogli skorzystać z własności prostych prostopadłych. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{3}{2}\), zatem druga (ta przez nas poszukiwana) musi mieć \(a=\frac{2}{3}\), bo \(-\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}=-1\).

Z proponowanych odpowiedzi tylko druga ma interesujący nas współczynnik kierunkowy, zatem bez dalszych obliczeń możemy stwierdzić, że druga przekątna tego rombu jest zawarta w prostej o równaniu \(y=\frac{2}{3}x-\frac{10}{3}\).

Aby wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty najprościej będzie skorzystać z metody układu równań. W tym celu do równania \(y=ax+b\) musimy podstawić najpierw współrzędne punktu \(P\), a później punktu \(Q\), otrzymując:
\begin{cases}
3=-3a+b \           ,\
-2=4a+b
\end{cases}

Odejmując te równania stronami otrzymamy:
$$5=-7a \           ,\
a=-\frac{5}{7}$$

Znamy już wartość współczynnika \(a\), jednak to nie koniec, bo nas interesuje poznanie współczynnika \(b\). Podstawmy zatem obliczone \(a=-\frac{5}{7}\) do jednego z równań w układzie (np. do pierwszego), dzięki czemu otrzymamy:
$$3=-3a+b \           ,\
3=-3\cdot\left(-\frac{5}{7}\right)+b \           ,\
3=\frac{15}{7}+b \           ,\
3=2\frac{1}{7}+b \           ,\
b=\frac{6}{7}$$

Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi \(OY\). Widzimy, że mimo "przerw" funkcja przyjmuje wartości z przedziału \(\langle-4,3\rangle\).

Ze wzoru \(h(x)=f(x)+2\) wynika, że funkcja \(h(x)\) jest tak naprawdę przesunięciem funkcji \(f(x)\) o dwie jednostki w górę. Możemy to sobie nawet zobrazować na rysunku:


Miejsce zerowe to argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\), czyli tak naprawdę interesuje nas miejsce przecięcia się wykresu z osią \(OX\). Z rysunku szkicowego wynika wprost, że tym argumentem będzie \(x=7\).

Przy okazji zwróć uwagę, że \(x=-3\) nie jest miejscem zerowym, bo mamy tutaj niezamalowaną kropkę, więc ten punkt nie należy do wykresu funkcji.

Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że \(a_{5}=a_{2}+3r\). Skoro tak, to w podanej w zadaniu równości podstawmy pod \(a_{5}\) wartość \(a_{2}+3r\) i rozwiążmy powstałe równanie:
$$a_{2}+20=a_{2}+3r+50 \           ,\
20=3r+50 \           ,\
-30=3r \           ,\
r=-10$$