Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$(\sqrt{3}-\sqrt{6})^2=\sqrt{3}^2-2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}+\sqrt{6}^2=3-2\sqrt{18}+6=9-2\sqrt{18}$$

Takiej odpowiedzi niestety nie mamy, bowiem musimy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka, rozpisując \(\sqrt{18}\) jako \(\sqrt{9\cdot2}\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$9-2\sqrt{18}=9-2\sqrt{9\cdot2}=9-2\cdot3\sqrt{2}=9-6\sqrt{2}$$

Nierówności z wartością bezwzględną rozwiązujemy w następujący sposób:
$$|x|\le4 \           ,\
x\le4 \quad\land\quad x\ge-4$$

Widzimy wyraźnie, że rozwiązaniem nierówności są liczby, które jednocześnie będą mniejsze lub równe \(4\) i większe lub równe \(-4\). To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział \(\langle-4,4\rangle\).

Korzystając z działań na logarytmach możemy zapisać, że:
$$3log2+log5^3=3log2+3log5=3\cdot(log2+log5)= \           ,\
=3\cdot log(2\cdot5)=3\cdot log10=3\cdot1=3$$

Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - początkowa cena towaru
\(0,8x\) - cena towaru po pierwszej obniżce
\(0,9\cdot0,8x=0,72x\) - cena towaru po drugiej obniżce

Skoro na początku cena towaru wynosiła \(x\), a po dwóch obniżkach wynosi \(0,72x\), to końcowa cena tego towaru jest niższa o \(x-0,72x=0,28x\). Musimy tę wartość wyrazić w procentach, zatem skoro obniżka wyniosła \(0,28x\) z \(x\) to procentowo będzie ona równa:
$$\frac{0,28x}{x}\cdot100\%=28\%$$

Krok 1. Zapisanie liczby \(0,3(7)\) w postaci ułamka zwykłego.
Procedura zamiany ułamków okresowych na zwykłe wygląda następująco:
\(x=0,3(7)=0,37777... \           ,\
10x=3,7777... \           ,\
100x=37,7777... \           ,\
90x=37,7777-3,7777=34\)

Skoro \(90x=34\), to: \(x=\frac{34}{90}\). Jako \(x\) oznaczyliśmy sobie ułamek okresowy \(0,3(7)\), zatem wiemy już, że \(0,3(7)=\frac{34}{90}\)

Krok 2. Zapisanie liczby \(0,(7)\) w postaci ułamka zwykłego.
Analogicznie jak w poprzedniej sytuacji:
\(x=0,(7)=0,7777... \           ,\
10x=7,7777... \           ,\
9x=7,7777-0,7777=7\)

Skoro \(9x=7\), to \(x=\frac{7}{9}\). Jako Jako \(x\) oznaczyliśmy sobie ułamek okresowy \(0,(7)\), zatem wiemy już, że \(0,(7)=\frac{7}{9}\).

Krok 3. Obliczenie sumy liczb.
Na sam koniec musimy dodać do siebie te dwie otrzymane wartości:
$$\frac{34}{90}+\frac{7}{9}=\frac{34}{90}+\frac{70}{90}=\frac{104}{90}=\frac{52}{45}$$

Krok 1. Wypisanie największych dzielników (będących liczbami pierwszymi) liczb, które znalazły się w odpowiedziach.
Patrząc się na odpowiedzi musimy ustalić jakie są największe dzielniki (będące liczbami pierwszymi) liczb \(21,22,25\) oraz \(28\).

Największym dzielnikiem liczby \(21\), który jest liczbą pierwszą, będzie \(7\).
Największym dzielnikiem liczby \(22\), który jest liczbą pierwszą, będzie \(11\).
Największym dzielnikiem liczby \(25\), który jest liczbą pierwszą, będzie \(5\).
Największym dzielnikiem liczby \(28\), który jest liczbą pierwszą, będzie \(7\).

Możemy więc zapisać, że:
$$f(21)=7 \           ,\
f(22)=11 \           ,\
f(25)=5 \           ,\
f(28)=7$$

Krok 2. Weryfikacja poprawności odpowiedzi.
Przeanalizujmy teraz każdą z odpowiedzi:
Odp. A. To prawda, bo \(f(22)=11\) oraz \(f(28)=7\).
Odp. B. To prawda, bo \(f(21)=7\) oraz \(f(28)=7\).
Odp. C. To prawda, bo \(f(25)=5\).
Odp. D. To nieprawda, bo \(f(28)=7\)

Szukaliśmy fałszywego zapisu, zatem poprawna jest ostatnia odpowiedź.

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji pomoże nam wyznaczyć współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\), przez którą będzie przechodzić poszukiwana oś symetrii.

Funkcja kwadratowa jest zapisana w postaci iloczynowej, co bardzo ułatwia nam obliczenia. Szukamy miejsc zerowych, czyli musimy tak naprawdę rozwiązać równanie kwadratowe:
$$\frac{1}{7}(x-5)(x+9)=0$$

Aby wartość równania była równa \(0\), to któraś z wartości znajdujących się w nawiasach musi być równa \(0\), zatem:
$$x-5=0 \quad\lor\quad x+9=0 \           ,\
x=5 \quad\lor\quad x=-9$$

Wyszło nam więc, że nasza funkcja ma dwa miejsca zerowe: \(x=-9\) oraz \(x=5\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli.
Współrzędną wierzchołka \(p\) możemy wyliczyć na różne sposoby. Teoretycznie moglibyśmy nawet przekształcić wzór funkcji do postaci ogólnej i wtedy moglibyśmy skorzystać ze wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\). My skorzystamy tutaj z szybszej metody, bowiem współrzędna \(p\) wierzchołka paraboli jest zawsze dokładnie pośrodku między miejscami zerowymi. Możemy zatem zapisać, że:
$$p=\frac{-9+5}{2} \           ,\
p=\frac{-4}{2} \           ,\
p=-2$$

Krok 3. Wyznaczenie równania osi symetrii.
Oś symetrii to prosta, która przechodzi przechodzi przez współrzędną \(p\) i która wygląda w ten sposób:


To oznacza, że osią symetrii będzie prosta o równaniu \(x=-2\).

Krok 1. Zapisanie nierówności.
Aby funkcja liniowa była rosnąca, to współczynnik kierunkowy \(a\) musi być większy od \(0\). W naszym przypadku współczynnik \(a\) jest równy \(m^2-3\), zatem musimy rozwiązać nierówność:
$$m^2-3\gt0$$

Krok 2. Rozwiązanie nierówności.
Naszym zadaniem jest teraz rozwiązanie powstałej nierówności kwadratowej. Tradycyjnie na początku musimy obliczyć miejsca zerowe wielomianu, przyrównując wartość \(m^2-3\) do zera. Możemy to zrobić metodą delty (pamiętając, że w tej sytuacji współczynnik \(b=0\)), ale w tym konkretnym przypadku możemy te miejsca zerowe wyznaczyć znacznie szybciej:
$$m^2-3=0 \           ,\
m^2=3 \           ,\
m=\sqrt{3} \quad\lor\quad m=-\sqrt{3}$$

Mając miejsca zerowe możemy przystąpić do rysowania paraboli. Zaznaczamy na osi wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę, która ma ramiona skierowane do góry (bo współczynnik \(a\) jest dodatni).


Interesują nas wartości większe od zera, czyli wszystko to, co znalazło się nad osią iksów. Z rysunku jasno wynika, że rozwiązaniem naszej nierówności (a tym samym całego zadania) jest przedział \(m\in(-\infty,-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},\infty)\).

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(OBC\).
Z treści zadania wynika, że nasz trójkąt jest równoramienny, a skoro tak, to kąty przy jego podstawie będą miały jednakową miarę. To z kolei oznacza, że kąt \(|\sphericalangle ABC|=70°\). Przez ten kąt \(ABC\) poprowadzono dwusieczną kąta, zatem:
$$|\sphericalangle OBC|=70°:2 \           ,\
|\sphericalangle OBC|=35°$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(COB\).
Skoro kąty przy podstawie mają po \(70°\), to:
$$|\sphericalangle ACB|=180°-70°-70°=40°$$

Przez ten kąt poprowadzono dwusieczną kąta, zatem:
$$|\sphericalangle COB|=40°:2 \           ,\
|\sphericalangle COB|=20°$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(α\).
Spójrzmy na trójkąt \(COB\). Znamy już miary dwóch kątów w tym trójkącie, zatem:
$$α=180°-35°-20° \           ,\
α=125°$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wyglądać będzie następująco:


Wskazany odcinek o długości \(4cm\) łączy środki ramion trapezu. Z własności trapezów wynika, że długość łącząca środki trapezu jest równa połowie długości sumy dolnej i górnej podstawy, czyli że:
$$\frac{a+b}{2}=4 \           ,\
a+b=8$$

Jeżeli jednak nie pamiętamy o tej własności (a nie ukrywajmy, jest ona bardzo specyficzna i rzadko wykorzystywana), to wystarczy dorysować sobie obok drugi (odwrócony) trapez i wtedy dostrzeżemy, że \(a+b=2\cdot4=8\).


Krok 2. Obliczenie wysokości trapezu.
Korzystając ze wzoru na pole trapezu i wiedząc, że \(P=20cm^2\) oraz że \(a+b=8\) możemy obliczyć wysokość trapezu:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \           ,\
20=\frac{1}{2}\cdot8\cdot h \           ,\
20=4\cdot h \           ,\
h=5[cm]$$

Nie możemy podzielić obydwu stron równania przez \((3x+2)\), bo nie mamy pewności, że przypadkiem nie podzielimy tego równania przez \(0\). To równanie należy rozwiązać w następujący sposób:
$$(2x-5)(3x+2)=(3x+2)(x+5) \           ,\
(2x-5)(3x+2)-(3x+2)(x+5)=0 \           ,\
(3x+2)\cdot[(2x-5)-(x+5)]=0 \           ,\
(3x+2)\cdot[(2x-5)-x-5]=0 \           ,\
(3x+2)\cdot(x-10)=0$$

Powstało nam równanie kwadratowe w postaci iloczynowej. Aby to równanie było równe \(0\), to któryś z nawiasów musi nam to równanie wyzerować, zatem:
$$3x+2=0 \quad\lor\quad x-10=0 \           ,\
3x=-2 \quad\lor\quad x=10 \           ,\
x=-\frac{2}{3} \quad\lor\quad x=10$$

Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej trójkąta.
Do obliczenia sinusa potrzebujemy poznać długość przeciwprostokątnej trójkąta, a poznamy ją korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2 \           ,\
2^2+6^2=c^2 \           ,\
4+36=c^2 \           ,\
c^2=40 \           ,\
c=\sqrt{40} \quad\lor\quad c=-\sqrt{40}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość przeciwprostokątnej jest dodatnia. To oznacza, że \(c=\sqrt{40}\), co po wyłączeniu czynnika przed znak pierwiastka możemy jeszcze zapisać jako:
$$c=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot10}=2\sqrt{10}$$

Krok 2. Obliczenie wartości sinusa.
Sinus odpowiada stosunkowi długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do długości przeciwprostokątnej, zatem:
$$sinα=\frac{2}{2\sqrt{10}} \           ,\
sinα=2:2\sqrt{10} \           ,\
sinα=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{10}} \           ,\
sinα=\frac{1}{\sqrt{10}}$$

Nasz wynik jest już poprawny, ale aby dopasować się do odpowiedzi musimy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez \(\sqrt{10}\):
$$sinα=\frac{1\cdot\sqrt{10}}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}} \           ,\
sinα=\frac{\sqrt{10}}{10}$$

Na rysunku mamy przedstawioną jedną z form wykresu funkcji typu \(f(x)=\frac{a}{x}\) (tak zwana proporcjonalność odwrotna). Ten wykres nazywamy hiperbolą. Na rysunku widzimy wyraźnie, że funkcja jest rosnąca zarówno w swoim pierwszym fragmencie, jak i drugim. To oznacza, że funkcja jest rosnąca zarówno w przedziale \((-\infty,0)\) jak i \((0,+\infty)\).

Krok 1. Rozpisanie wartości pierwszego wyrazu.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{6}=a_{1}+5r \           ,\
\text{czyli:} \           ,\
a_{1}=a_{6}-5r$$

Skoro \(a_{6}\) jest równe \(0\), to wychodzi nam, że:
$$a_{1}=0-5r \           ,\
a_{1}=-5r$$

Krok 2. Obliczenie sumy jedenastu pierwszych wyrazów tego ciągu.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \           ,\
S_{11}=\frac{2a_{1}+(11-1)r}{2}\cdot11 \           ,\
S_{11}=\frac{2\cdot(-5r)+10r}{2}\cdot11 \           ,\
S_{11}=\frac{-10r+10r}{2}\cdot11 \           ,\
S_{11}=\frac{0}{2}\cdot11 \           ,\
S_{11}=0$$

Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego wiemy, że:
$$a_{6}=a_{3}\cdot q^3$$

Podstawiając do powyższego wzoru dane z treści zadania otrzymamy:
$$\frac{1}{16}=\frac{1}{2}\cdot q^3 \quad\bigg/\cdot2 \           ,\
q^3=\frac{1}{8} \           ,\
q=\frac{1}{2}$$

Krok 2. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu geometrycznego.
Patrząc się na odpowiedzi widzimy, że szukamy wartości drugiego wyrazu. Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego wiemy, że:
$$a_{3}=a_{2}\cdot q$$

Skoro \(a_{3}=\frac{1}{2}\) oraz \(q=\frac{1}{2}\), to:
$$\frac{1}{2}=a_{2}\cdot\frac{1}{2} \quad\bigg/\cdot2 \           ,\
a_{2}=1$$