Zamieniając liczbę \(49\) na \(7^2\) oraz korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$49^{-6}:7^{-15}=(7^2)^{-6}:7^{-15}=7^{-12}:7^{-15}= \           ,\
=7^{-12-(-15)}=7^{-12+15}=7^3$$

Aby rozwiązać ten logarytm skorzystamy ze wzoru na różnicę logarytmów:
$$log_{a}b-log_{a}c=log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)$$

Korzystając z tego wzoru możemy rozpisać logarytmy znajdujące się w nawiasie, otrzymując w ten sposób:
$$log_{3}(log30-log3)=log_{3}\left(log\frac{30}{3}\right)=log_{3}(log10)$$

Teraz musimy pamiętać o tym, że jeśli logarytm nie ma zapisanej podstawy, to domyślnie podstawa jest równa \(10\), czyli \(log10\) to tak naprawdę \(log_{10}10\). A ile jest równy \(log_{10}10\)? Taki logarytm jest równy \(1\), bo \(10^1=10\). W związku z tym:
$$log_{3}(log10)=log_{3}1=0$$

Wartość tego logarytmu jest równa \(0\), bo \(3^0=1\).

Aby otrzymać liczbę odwrotną wystarczy zamienić miejscami licznik z mianownikiem. W ten sposób otrzymamy liczbę \(\frac{3}{\sqrt{6}-3}\). To jednak nie koniec zadania, bo dodatkowo będziemy musieli wykonać jeszcze usunięcie niewymierności z mianownika. Całość będzie wyglądać w następujący sposób:
$$\frac{3}{\sqrt{6}-3}=\frac{3\cdot(\sqrt{6}+3)}{(\sqrt{6}-3)\cdot(\sqrt{6}+3)}= \           ,\
=\frac{3\sqrt{6}+9)}{(6-9)}=\frac{3\sqrt{6}+9)}{-3}=-\sqrt{6}-3$$

Krok 1. Zapisanie danych z treści zadania.
Błąd względny obliczymy korzystając ze wzoru \(δ=\frac{|x-p|}{x}\), gdzie:
\(δ\) - błąd względny
\(x\) - dokładna wartość
\(p\) - wartość przybliżona

W naszym przypadku:
\(x=235,40\)
\(p=240\), bo \(240\) jest przybliżeniem do pełnych dziesiątek liczby \(235,40\)

Krok 2. Obliczenie błędu względnego.
Korzystając z powyższych informacji błąd względny obliczymy w następujący sposób:
$$\frac{|235,40-240|}{235,40}=\frac{|-4,60|}{235,40}=\frac{4,60}{235,40}\approx0,0195\approx1,95\%$$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$2-2(\sqrt{3}-1)^2=2-2\cdot(3-2\sqrt{3}+1)=2-2\cdot(4-2\sqrt{3})= \           ,\
=2-8+4\sqrt{3}=-6+4\sqrt{3}\approx-6+6,92\approx0,92$$

To oznacza, że ta liczba należy do przedziału \((0;1)\).

Najprościej będzie rozpocząć rozwiązywanie naszej nierówności od pomnożenia obydwu stron przez \(6\), pozbędziemy się wtedy wszystkich ułamków. Trzeba tutaj pamiętać, że po lewej stronie mamy odejmowanie, zatem musimy przez \(6\) wymnożyć każdy jednomian:
$$\frac{1}{3}-\frac{1}{2}x\lt \frac{1}{6} \quad\bigg/\cdot6 \           ,\
2-3x\lt1 \           ,\
-3x\lt-1 \quad\bigg/:(-3) \           ,\
x\gt\frac{1}{3}$$

Pamiętaj, że dzieląc lub mnożąc nierówność przez liczbę ujemną trzeba zmienić znak na przeciwny, tak jak przy tym ostatnim przekształceniu.

Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego, iż nie istnieje w matematyce dzielenie przez \(0\), to wartość w mianowniku musi być różna od \(0\). W związku z tym:
$$x-3\neq0 \           ,\
x\neq3$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Po zapisaniu założeń możemy przejść do rozwiązywania równania, zaczynając od wymnożenia obu stron przez wartość, która znajduje się w mianowniku, czyli przez \(x-3\):
$$\frac{3x(x^2-9)}{x-3}=0 \quad\bigg/\cdot(x-3) \           ,\
3x(x^2-9)=0$$

Aby to równanie było równe \(0\), to albo \(3x\) albo \(x^2-9\) musi być równe \(0\), zatem:
$$3x=0 \quad\lor\quad x^2-9=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x^2=9 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

Krok 3. Zapisanie rozwiązań równania.
Musimy teraz zweryfikować nasze rozwiązania i sprawdzić czy jakieś rozwiązanie nie wyklucza się z naszymi założeniami z kroku pierwszego. Okazuje się, że jedno rozwiązanie (\(x=3\)) musimy wykluczyć ze względu właśnie na założenia, dlatego równanie ma tylko dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=-3\).

Przedział argumentów dla których funkcja jest rosnąca odczytujemy z osi iksów. Widzimy wyraźnie, że funkcja rośnie od argumentu \(x=-3\) aż do argumentu \(x=0\), zatem przedziałem w którym ta funkcja rośnie będzie \(\langle-3;0\rangle\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby wiedzieć co będziemy liczyć, to zróbmy sobie prosty rysunek pomocniczy:


Z rysunku wynika, że jak poznamy współrzędne punktóW \(A\) oraz \(B\) to tak naprawdę poznamy długości boków naszego trójkąta, a stąd będzie już prosta droga do obliczenia pola figury.

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(A\).
Punkt \(A\) będzie miejscem przecięcia się funkcji z osią igreków. Funkcja przecina się z osią igreków dla argumentu \(x=0\), zatem już wiemy, że \(A=(0;y)\). Podstawiając \(x=0\) otrzymamy współrzędną igrekową punktu \(A\), czyli:
$$f(0)=\frac{8-3\cdot0}{2} \           ,\
f(0)=\frac{8-0}{2} \           ,\
f(0)=\frac{8}{2} \           ,\
f(0)=4$$

To oznacza, że funkcja przecina oś igreków w punkcie \(A=(0;4)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Punkt \(B\) będzie miejscem przecięcia się funkcji z osią iksów. Funkcja przecina się z osią iksów dla wartości \(y=0\), zatem już wiemy, że \(B=(x;0)\). Podstawiając \(y=0\) otrzymamy współrzędną iksową punktu \(B\), czyli:
$$0=\frac{8-3x}{2} \           ,\
0=8-3x \           ,\
3x=8 \           ,\
x=\frac{8}{3}$$

To oznacza, że funkcja przecina oś iksów w punkcie \(B=\left(\frac{8}{3};0\right)\).

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trójkąta.
Po wyznaczeniu współrzędnych punktów \(A\) oraz \(B\) i po spojrzeniu na nasz szkicowych rysunek jasno wynika, że podstawa trójkąta ma długość \(a=\frac{8}{3}\), natomiast wysokość trójkąta to \(h=4\). Pole tego trójkąta będzie więc równe:
$$P=\frac{1}{2}ah \           ,\
P=\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{3}\cdot4 \           ,\
P=\frac{32}{6} \           ,\
P=5\frac{1}{3}$$

Wykresem naszej funkcji kwadratowej będzie parabola o ramionach skierowanych do dołu, bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny (mamy minus przed postacią iloczynową). To oznacza, że nasza funkcja będzie mieć mniej więcej taki oto wygląd:


Możemy więc już wywnioskować, że zbiorem wartości będzie przedział od \(-\infty\) aż do wartości w wierzchołku paraboli.

Współrzędne wierzchołka możemy zapisać jako \(W=(p;q)\). Szukamy wartości przyjmowanej w tym wierzchołku, czyli szukamy współrzędnej \(q\) (gdybyśmy szukali odpowiedzi na pytanie dla jakiego argumentu ta wartość jest przyjmowana, to wtedy szukalibyśmy współrzędnej \(p\)). I teraz możemy dojść do tej współrzędnej \(q\) na dwa sposoby:

I sposób - wyznaczając wartość współrzędnej \(p\) i podstawiając ją do wzoru funkcji:
Z postaci iloczynowej możemy odczytać, że miejscami zerowymi naszej funkcji są \(-7\) oraz \(3\). Współrzędna \(p\) wierzchołka paraboli będzie dokładnie pomiędzy tymi dwoma miejscami zerowymi (to wynika z własności wierzchołka), zatem moglibyśmy zapisać, że:
$$p=\frac{-7+3}{2} \           ,\
p=\frac{-4}{2} \           ,\
p=-2$$

Teraz znając wartość \(p=-2\) możemy podstawić \(x=-2\) do wzoru funkcji, dzięki czemu otrzymamy wartość funkcji przyjmowaną w wierzchołku. Zatem:
$$f(-2)=-(-2+7)(-2-3) \           ,\
f(-2)=-(5)(-5) \           ,\
f(-2)=25$$

To oznacza, że wartość przyjmowana w wierzchołku paraboli jest równa \(25\), czyli zbiorem wartości funkcji będzie \((-\infty ;25\rangle\).

II sposób - obliczając wartość \(q\) ze wzoru z tablic:
W tej metodzie skorzystamy ze wzoru:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$

Aby jednak móc skorzystać z tego wzoru musimy najpierw doprowadzić równanie do postaci ogólnej, a następnie musimy policzyć tak zwaną deltę.

Krok 1. Zapisanie równania w postaci ogólnej.
Aby móc obliczyć wartość \(q\) musimy najpierw doprowadzić równanie do postaci ogólnej, zatem:
$$-(x+7)(x-3)=-(x^2-3x+7x-21)= \           ,\
=-(x^2+4x-21)=-x^2-4x+21$$

Krok 2. Obliczenie delty.
Mając postać ogólną możemy już policzyć deltę, która znalazła się w liczniku wzoru na \(q\), zatem:
Współczynniki: \(a=-1,\;b=-4,\;c=21\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot(-1)\cdot21=16-(-84)=16+84=100$$

Krok 3. Wyznaczenie wartości współrzędnej \(q\).
Znając deltę możemy zapisać, że:
$$q=\frac{-Δ}{4a} \           ,\
q=\frac{-100}{4\cdot(-1)} \           ,\
q=\frac{-100}{-4} \           ,\
q=25$$

To oznacza, że zbiorem wartości tej funkcji będzie przedział \((-\infty ;25\rangle\).

Chcąc zapisać wzór funkcji przesuniętej w prawo/lewo musimy zmienić wartość stojącą przy iksie. Przesunięcie o dwie jednostki w prawo oznacza, że wartość iksa należy pomniejszyć o \(2\) (gdybyśmy przesuwali w lewo, to wartość iksa należałoby powiększyć o \(2\)). Skoro więc iks znajduje się w potędze, to musimy pomniejszyć wykładnik tej potęgi o \(2\), zatem \(g(x)=-3^{x-2}\).

Krok 1. Zapisanie i rozwiązanie nierówności.
Aby sprawdzić ile dodatnich wyrazów ma ten ciąg wystarczy rozwiązać prostą nierówność:
$$-2n+2018\gt0 \           ,\
-2n\gt-2018 \           ,\
n\lt1009$$

Uwaga na zmianę znaku - kiedy mnożymy lub dzielimy nierówność przez liczbę ujemną, to musimy zmienić znak na przeciwny.

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Wiemy, że w ciągach \(n\) jest liczbą naturalną. Musimy więc ustalić ile jest liczb naturalnych mniejszych od \(1009\) (bo \(n\) wyszło nam mniejsze od \(1009\)). Takich liczb będzie oczywiście \(1008\) (od \(1\) do \(1008\)), zatem tyle też będziemy mieli dodatnich wyrazów naszego ciągu.

Krok 1. Ustalenie jaki jest to ciąg.
Musimy na początku ustalić jaki jest to ciąg i jakie są jego kluczowe parametry. Na pewno nie jest to ciąg arytmetyczny, bo drugi wyraz jest o \(2\) większy od pierwszego, a trzeci wyraz jest o \(3\) większy od drugiego. Powinniśmy dostrzec, że nasz ciąg jest geometryczny, bo każdy wyraz jest \(1,5\) razy większy od poprzedniego. Iloraz ciągu możemy nawet obliczyć w następujący sposób:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \           ,\
q=\frac{6}{4} \           ,\
q=\frac{3}{2}$$

Możemy więc powiedzieć, że nasz ciąg jest geometryczny, a kluczowymi liczbami dla tego ciągu będą \(q=\frac{3}{2}\) oraz \(a_{1}=4\).

Krok 2. Obliczenie sumy \(n\) początkowych wyrazów.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów i podstawiając dane, które przed chwilą sobie wyznaczyliśmy otrzymamy:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \           ,\
S_{n}=4\cdot\frac{1-\left(\frac{3}{2}\right)^n}{1-\frac{3}{2}} \           ,\
S_{n}=4\cdot\frac{1-\left(\frac{3}{2}\right)^n}{-\frac{1}{2}} \           ,\
S_{n}=4\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right):\left(-\frac{1}{2}\right) \           ,\
S_{n}=4\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right)\cdot(-2) \           ,\
S_{n}=-8\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right)$$

Musimy się jeszcze dopasować do proponowanych odpowiedzi i aby lepiej zrozumieć to przekształcenie to możemy zamienić \(-8\) na \(8\cdot(-1)\), otrzymując:
$$S_{n}=8\cdot(-1)\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right) \           ,\
S_{n}=8\cdot\left(-1+\left(\frac{3}{2}\right)^n\right) \           ,\
S_{n}=8\cdot\left(\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right)$$

Krok 1. Rozpisanie sumy dwóch i trzech pierwszych wyrazów.
Suma dwóch pierwszych wyrazów to tak naprawdę \(a_{1}+a_{2}\). Suma trzech pierwszych wyrazów to \(a_{1}+a_{2}+a_{3}\). Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy napisać, że \(a_{2}=a_{1}+r\) oraz \(a_{3}=a_{1}+2r\). Jeżeli tak rozpiszemy sobie tę sytuację to otrzymamy:
$$a_{1}+a_{2}=5\frac{1}{2} \           ,\
a_{1}+a_{1}+r=5\frac{1}{2} \           ,\
2a_{1}+r=5\frac{1}{2} \           ,\
\text{oraz} \           ,\
a_{1}+a_{2}+a_{3}=12 \           ,\
a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=12 \           ,\
3a_{1}+3r=12$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu arytmetycznego.
Z naszych równań otrzymanych w pierwszym kroku możemy ułożyć teraz układ równań:
\begin{cases}
2a_{1}+r=5\frac{1}{2} \           ,\
3a_{1}+3r=12
\end{cases}

Ten układ równań najlepiej jest rozwiązać metodą podstawiania, wyznaczając wartość \(r\) z pierwszego równania:
\begin{cases}
r=5\frac{1}{2}-2a_{1} \           ,\
3a_{1}+3r=12
\end{cases}

Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$3a_{1}+3\cdot\left(5\frac{1}{2}-2a_{1}\right)=12 \           ,\
3a_{1}+16\frac{1}{2}-6a_{1}=12 \           ,\
-3a_{1}=-4\frac{1}{2} \           ,\
a_{1}=1\frac{1}{2}$$

Tangens przyjmuje wartość \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) dla kąta \(30°\). W związku z tym:
$$\frac{α}{3}=30° \           ,\
α=90°$$