Wykonując działania na potęgach, pierwiastkach i logarytmach możemy zapisać, że:
$$log_{2}\frac{1}{\sqrt{8}}=log_{2}(\sqrt{8})^{-1}=log_{2}(8^{\frac{1}{2}})^{-1}=log_{2}8^{-\frac{1}{2}}= \           ,\
=log_{2}(2^3)^{-\frac{1}{2}}=log_{2}2^{-\frac{3}{2}}=-\frac{3}{2}\cdot log_{2}2=-\frac{3}{2}\cdot1=-\frac{3}{2}$$

Ideą tego zadania jest tak naprawdę usunięcie niewymierności z mianownika. Za chwilę sobie ten sposób omówimy, ale można to zadanie rozwiązać także na kalkulatorze. Stosując przybliżenie \(\sqrt{2}\approx1,41\) możemy zapisać, że:
$$a=\frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{2}-3} \           ,\
a\approx\frac{14\cdot1,41}{1,41-3} \           ,\
a\approx\frac{19,74}{-1,59} \           ,\
a\approx-12,42$$

Chcąc rozwiązać to zadanie bardziej matematycznie możemy zapisać, że:
$$a=\frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{2}-3} \           ,\
a=\frac{(14\sqrt{2})\cdot(\sqrt{2}+3)}{(\sqrt{2}-3)\cdot(\sqrt{2}+3)} \           ,\
a=\frac{14\cdot2+42\sqrt{2}}{2-9} \           ,\
a=\frac{28+42\sqrt{2}}{-7} \           ,\
a=-4-6\sqrt{2} \           ,\
a\approx-4-6\cdot1,41 \           ,\
a\approx-12,46$$

W obydwu metodach wyszło nam, że liczba \(a\) należy do przedziału \(\langle-13,-12)\).

Krok 1. Zapisanie liczby \(x\) w postaci wyrażenia algebraicznego.
Zastanówmy się co to znaczy, że po podzieleniu liczby \(x\) przez \(9\) mamy resztę równa \(7\). Przykładowo takimi liczbami mogą być \(16\), \(25\) lub też \(34\). Mielibyśmy wtedy taką sytuację:
$$16=9\cdot1+7 \           ,\
25=9\cdot2+7 \           ,\
34=9\cdot3+7$$

To oznacza, że taką liczbę \(x\) możemy zapisać jako:
$$x=9\cdot k+7 \quad (k\in N)$$

Krok 2. Obliczenie wartości liczby \(x^2\).
Teraz naszym zadaniem jest odpowiedzenie na pytanie jaką resztę otrzymamy kiedy to podzielimy \(x^2\) przez \(9\). Obliczmy zatem najpierw ile jest równe to nasze \(x^2\), a z pomocą przyjdą nam tutaj wzory skróconego mnożenia.
$$x^2=(9k+7)^2 \           ,\
x^2=81k^2+126k+49$$

Krok 3. Obliczenie reszty z dzielenia \(x^2\) przez \(9\).
Wiemy już ile jest równe nasze \(x^2\) i teraz musimy odpowiedzieć na pytanie jaka jest reszta z dzielenia \(81k^2+126k+49\) przez \(9\). Musimy więc zapisać tę naszą liczbę w taki sposób, by przed nawias wyłączyć dziewiątkę, a za nawiasem by mieć jakąś konkretną liczbę naturalną (która będzie resztą z takiego dzielenia). \(81\) oraz \(126\) są podzielne przez \(9\), natomiast \(49\) podzielne przez \(9\) nie jest. Z tego też względu będziemy musieli rozbić to \(49\) na np. \(45+4\). Całość wyglądać będzie następująco:
$$x^2=81k^2+126k+49 \           ,\
x^2=81k^2+126k+45+4 \           ,\
x^2=9\cdot(9k^2+14k+5)+4$$

To oznacza, że liczba \(x^2\) podzielona przez \(9\) daje wynik \(9k^2+14k+5\) i resztę równą \(4\).

Krok 1. Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej \(l\).
Jesteśmy w stanie wyznaczyć pełny wzór prostej \(l\) (bo znamy współrzędne dwóch punktów przez które ona przechodzi, więc możemy skorzystać np. z metody układu równań), ale nam do tego zadania wystarczy poznanie współczynnika kierunkowego tej prostej, a wyznaczyć go możemy z następującego wzoru:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} \           ,\
a=\frac{3-(-7)}{-10-6} \           ,\
a=\frac{3+7}{-16} \           ,\
a=\frac{10}{-16} \           ,\
a=-\frac{5}{8}$$

Krok 2. Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej \(k\).
Prosta \(k\) jest symetralną do odcinka \(AB\). My wiemy, że symetralna do odcinka jest zawsze prostą prostopadłą. Wniosek dla nas z tego płynie taki, że prosta \(k\) jest prostopadła do prostej \(l\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro wiec prosta \(l\) ma współczynnik \(a=-\frac{5}{8}\), to prosta \(k\) będzie miała ten współczynnik równy \(a=\frac{8}{5}\), bo \(-\frac{5}{8}\cdot\frac{8}{5}=-1\).

Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{3}\).
Podstawiając do wzoru \(n=3\) otrzymamy:
$$a_{3}=\frac{2\cdot3+1}{3+3} \           ,\
a_{3}=\frac{6+1}{6} \           ,\
a_{3}=\frac{7}{6}$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(a_{5}\).
Podstawiając do wzoru \(n=5\) otrzymamy:
$$a_{5}=\frac{2\cdot5+1}{5+3} \           ,\
a_{5}=\frac{10+1}{8} \           ,\
a_{5}=\frac{11}{8}$$

Krok 3. Obliczenie wartości \(x\).
Wiemy, że \(a_{3}, x, a_{5}\) są trzema sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego. Z własności ciągów arytmetycznych wynika, że w takiej sytuacji wartość środkowego z tych trzech wyrazów jest równa średniej arytmetycznej dwóch wyrazów skrajnych, czyli w naszym przypadku:
$$x=\frac{a_{3}+a_{5}}{2} \           ,\
2x=a_{3}+a_{5} \           ,\
2x=\frac{7}{6}+\frac{11}{8} \           ,\
2x=\frac{56}{48}+\frac{66}{48} \           ,\
2x=\frac{122}{48} \           ,\
x=\frac{61}{48}$$

Krok 1. Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji.
Musimy znaleźć miejsce zerowe tej funkcji (przy okazji możemy wyczytać, że będzie tylko jedno takie miejsce), zatem musimy rozwiązać równanie:
$$x^2-4\sqrt{3}x+12=0$$

Teraz możemy przejść do obliczenia delty, choć jeśli jesteśmy spostrzegawczy to wyjątkowo tutaj liczenie delty możemy pominąć. Dlaczego? Skoro jest jedno miejsce zerowe, to delta na pewno wyjdzie równa \(0\) (wiemy to bez liczenia). Możemy więc od razu przejść do obliczenia miejsca zerowego ze wzoru \(x=\frac{-b}{2a}\). Jeżeli jednak tego nie dostrzegliśmy, to możemy to zadanie rozwiązać jak każde inne:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-4\sqrt{3},\;c=12\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4\sqrt{3})^2-4\cdot1\cdot12=16\cdot3-48=48-48=0$$

Otrzymaliśmy deltę równą \(0\) zatem mamy tylko jedno rozwiązanie równania kwadratowego:
$$x_{1}=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4\sqrt{3})}{2\cdot1}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$$

Krok 2. Podniesienie wyniku do potęgi trzeciej.
Zgodnie z treścią zadania to jeszcze nie jest koniec rozwiązania, bo proszą nas o podanie trzeciej potęgi obliczonej przed chwilą liczby, zatem:
$$(2\sqrt{3})^3=2\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}=8\cdot3\sqrt{3}=24\sqrt{3}$$

Naszym zadaniem jest podstawienie do wzoru każdego z tych czterech proponowanych punktów. I faktycznie możemy podstawiać po kolei wartości współrzędnych tych punktów, sprawdzając kiedy lewa strona równania będzie równa prawej, ale jak się przyjrzymy odpowiedziom to okaże się, że wystarczy podstawić do tego wzoru \(x=-\frac{1}{2}\) oraz \(x=2\) (bo tylko takie mamy współrzędne iksowe w odpowiedziach) i sprawdzić jakie otrzymamy wyniki.

Dla \(x=-\frac{1}{2}\):
$$f\left(-\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}=(4^{-1})^{-\frac{1}{2}}=4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$$

Dla \(x=2\):
$$f(2)=\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{16}$$

To oznacza, że do funkcji należy punkt \(A=\left(-\frac{1}{2},2\right)\), bo podstawiając \(x=-\frac{1}{2}\) otrzymaliśmy rzeczywiście wartość równą \(2\).

Krok 1. Ustalenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Z treści zadania wynika, że:
$$a_{7}+a_{8}=0 \           ,\
a_{8}=-a_{7}$$

Teraz musimy się zastanowić co z tego wynika. Skoro ósmy wyraz ma być równy \(-a_{7}\) to znaczy, że ósmy wyraz powstał po pomnożeniu \(a_{7}\) przez \(-1\). Czyli z tego wniosek jest taki, że w tym ciągu \(q=-1\).

Krok 2. Obliczenie sumy tysiąca początkowych wyrazów.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego możemy zapisać, że:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \           ,\
S_{1000}=a_{1}\cdot\frac{1-(-1)^{1000}}{1-(-1)} \           ,\
S_{1000}=a_{1}\cdot\frac{1-1}{1+1} \           ,\
S_{1000}=a_{1}\cdot\frac{0}{2} \           ,\
S_{1000}=a_{1}\cdot0 \           ,\
S_{1000}=0$$

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(OAB\).
Musimy zauważyć, że trójkąt \(ABO\) jest trójkątem równoramiennym - jego ramionami są długości promienia poprowadzone z punktu \(O\). Z własności trójkątów równoramiennych wynika, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę, zatem:
$$|\sphericalangle OAB|=70°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(BAC\).
Teraz spójrzmy na trójkąt \(ABC\). Jest to trójkąt w którym jeden z boków pokrywa się ze średnicą okręgu. Skoro tak, to musi to być trójkąt prostokątny, zatem:
$$|\sphericalangle BAC|=90°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(DAC\).
Kąt \(DAC\) jest tak naprawdę różnicą między kątem prostym \(BAC\) oraz kątem \(OAB\), zatem:
$$|\sphericalangle DAC|=|\sphericalangle BAC|-|\sphericalangle OAB| \           ,\
|\sphericalangle DAC|=90°-70° \           ,\
|\sphericalangle DAC|=20°$$

Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa.
Jeżeli jeden trójkąt jest podobny do drugiego w skali \(k\), to powierzchnia tego drugiego trójkąta będzie \(k^2\) razy większa od tego pierwszego. W naszym przypadku będziemy więc mogli ułożyć następujące równanie:
$$k^2=\frac{P_{DEF}}{P_{ABC}} \           ,\
k^2=\frac{60}{12} \           ,\
k^2=5 \           ,\
k=\sqrt{5}$$

Krok 2. Obliczenie obwodu trójkąta \(DEF\).
Z naszych obliczeń wynika, że skala podobieństwa jest równa \(k=\sqrt{5}\), czyli trójkąt \(DEF\) ma \(\sqrt{5}\) razy dłuższe boki od trójkąta \(ABC\). Skoro więc trójkąt \(ABC\) ma obwód równy \(16\), to trójkąt \(DEF\) ma obwód równy \(16\sqrt{5}\). Chcąc zapisać to bardziej matematycznie to otrzymamy:
$$k=\frac{Obw_{DEF}}{Obw_{ABC}} \           ,\
\sqrt{5}=\frac{Obw_{DEF}}{16} \quad\bigg/\cdot16 \           ,\
Obw_{DEF}=16\sqrt{5}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli wykres naszej funkcji przechodzi przez \(II\) i \(IV\) ćwiartkę, to musi wyglądać on w ten sposób:



Krok 2. Ustalenie wartości parametru \(m\).
Z rysunku wynika, że nasza prosta jest malejąca, a skoro tak, to współczynnik kierunkowy \(a\) musi być ujemny. W naszym przypadku współczynnik kierunkowy jest równy \(4m-2\), czyli powstanie nam następująca nierówność:
$$a\lt0 \           ,\
4m-2\lt0 \           ,\
4m\lt2 \           ,\
m\lt\frac{1}{2}$$

To oznacza, że odpowiedzi A i D możemy od razu odrzucić.

Krok 3. Ustalenie wartości parametru \(k\).
Z rysunku możemy jeszcze wywnioskować, że prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych (nie ma innej możliwości, skoro przechodzi tylko przez te dwie ćwiartki). Mając równanie prostej w postaci \(y=ax+b\) współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu prosta przecina oś igreków. W naszym przypadku prosta przecina oś igreków dla \(y=0\), zatem współczynnik \(b=0\). Współczynnikiem \(b\) w naszej funkcji jest wyrażenie \(k-3\), zatem:
$$b=0 \           ,\
k-3=0 \           ,\
k=3$$

To oznacza, że prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź C.

Jeżeli funkcję \(f(x)\) przekształcimy symetralnie względem osi iksów, to powstanie nam funkcja \(-f(x)\). Nasza funkcja wyraża się wzorem \(x^2-4\), zatem funkcja powstała w wyniku symetrii względem osi igreków będzie mieć wzór \(-(x^2-4)\), czyli \(-x^2+4\).

W związku z tym, że w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to mianownik naszego ułamka musi być różny od zera. To oznacza, że musimy sprawdzić kiedy \(x^2-4x+4=0\). Z racji tego iż jest to równanie kwadratowe, to najprościej będzie je policzyć tradycyjną metodą delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-4,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=16-16=0$$

Delta równa zero oznacza, że równanie ma jedno rozwiązanie:
$$x_{1}=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4)}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$

Otrzymaliśmy informację, że mianownik jest równy \(0\) dla \(x=2\), dlatego musimy odrzucić dwójkę z dziedziny funkcji. To oznacza, że dziedziną funkcji jest: \(x\in\mathbb{R}\backslash\{2\}\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować wskazany trójkąt prostokątny, zaznaczając na nim informacje z treści zadania. Kluczowe jest tutaj umiejscowienie kąta \(30°\). Jest to na pewno najmniejszy kąt w tym trójkącie, czyli musi leżeć przy dłuższej przyprostokątnej:



Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a konkretniej z tangensa) możemy zapisać, że:
$$tg30°=\frac{x}{x+4} \           ,\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x}{x+4}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$3x=\sqrt{3}(x+4) \           ,\
3x=\sqrt{3}x+4\sqrt{3} \           ,\
3x-\sqrt{3}x=4\sqrt{3} \           ,\
(3-\sqrt{3})x=4\sqrt{3} \           ,\
x=\frac{4\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} \           ,\
x=\frac{(4\sqrt{3})\cdot(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})\cdot(3+\sqrt{3})} \           ,\
x=\frac{12\sqrt{3}+12}{9-3} \           ,\
x=\frac{12\sqrt{3}+12}{6} \           ,\
x=2\sqrt{3}+2$$

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Jak to w standardowej nierówności kwadratowej bywa - na początku musimy obliczyć miejsca zerowe. Nie musimy tutaj potęgować tego wyrażenia w nawiasie. Wyrażenie \((3x+9)^2\) będzie równe \(0\) tylko i wyłącznie wtedy, kiedy wartość w nawiasie będzie równa \(0\). Zatem:
$$3x+9=0 \           ,\
3x=-9 \           ,\
x=-3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Gdybyśmy wykonali potęgowanie, to przed \(x^2\) nie stałaby żadna wartość ujemna, zatem współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, a co za tym idzie, parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy na osi miejsce zerowe (kropka niezamalowana, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i sz