Wykonując działania na potęgach i pierwiastkach otrzymamy:
$$\frac{\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}\cdot4^{-\frac{1}{4}}}{0,25}=
\frac{-\frac{1}{2}\cdot(2^2)^{-\frac{1}{4}}}{\frac{1}{4}}= \           ,\
=\frac{-2^{-1}\cdot2^{-\frac{1}{2}}}{2^{-2}}=
\frac{-1\cdot2^{-1}\cdot2^{-\frac{1}{2}}}{2^{-2}}= \           ,\
=\frac{-1\cdot2^{-1-\frac{1}{2}}}{2^{-2}}=
\frac{-1\cdot2^{-\frac{3}{2}}}{2^{-2}}= \           ,\
=-1\cdot2^{-\frac{3}{2}}:{2^{-2}}=
-1\cdot2^{-\frac{3}{2}-(-2)}= \           ,\
=-1\cdot2^{\frac{1}{2}}=
-1\cdot\sqrt{2}=
-\sqrt{2}$$

W zadaniu proszą nas o podanie drugiej potęgi otrzymanej liczby, czyli proszą nas tak naprawdę o podniesienie otrzymanego wyniku do kwadratu:
$$(-\sqrt{2})^2=2$$

Jedyną prawdziwą równością jest ta z ostatniej odpowiedzi:
$$\frac{log_{5}50-log_{5}2}{2}=\frac{log_{5}\frac{50}{2}}{2}=\frac{log_{5}25}{2}=\frac{2}{2}=1$$

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - pensja w październiku
\(1,1x\) - pensja w listopadzie
\(0,6x\) - pensja w grudniu

Krok 2. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Średnia arytmetyczna pensji wynosi:
$$\frac{x+1,1x+0,6x}{3}=\frac{2,7x}{3}=0,9x$$

Skoro w październiku pan Jan zarabiał \(x\), a średnia zarobków z trzech miesięcy jest równa \(0,9x\), to znaczy że średnia pensja jest o \(10\%\) mniejsza niż pensja październikowa.

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Z racji tego iż mamy nierówność zapisaną w formie iloczynowej, to chcąc wyznaczyć miejsca zerowe wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera, stąd też:
$$x-2=0 \quad\lor\quad 2+x=0 \           ,\
x=2 \quad\lor\quad x=-2$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry (bo po wymnożeniu nawiasów przed \(x^2\) nie stałaby żadna liczba ujemna). Zaznaczamy wyznaczone miejsca zerowe i powstaje nam taki oto wykres:



Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności.
Interesują nas wartości mniejsze od zera, zatem rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział \((-2,2)\).

Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość w mianowniku musi być różna od zera. Stąd też:
$$x(x+3)\neq0 \           ,\
x\neq0 \quad\lor\quad x\neq-3$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Na początek musimy wymnożyć obie strony równania przez \(x(x+3)\), pozbywając się w ten sposób mianownika:
$$\frac{-3(9-x^2)(x+3)}{x(x+3)}=0 \quad\bigg/\cdot x(x+3) \           ,\
-3(9-x^2)(x+3)=0 \quad\bigg/:-3 \           ,\
(9-x^2)(x+3)=0$$

Otrzymaliśmy postać iloczynową, zatem aby wartość równania była równa zero, to któryś z nawiasów musi nam tę równość wyzerować. W związku z tym:
$$9-x^2=0 \quad\lor\quad x+3=0 \           ,\
x^2=9 \quad\lor\quad x=-3 \           ,\
x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=-3$$

Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymaliśmy dwa możliwe rozwiązania: \(x=3\) oraz \(x=-3\). Jednak z założeń wynika, że \(x\neq-3\) i dlatego też to ujemne rozwiązanie musimy odrzucić. To oznacza, że to równanie ma tylko jedno rozwiązanie i jest nim \(x=3\).

Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy wykonywać obliczenia to musimy jeszcze uwzględnić fakt, że mianownik ułamka musi być różny od zera, zatem:
$$a+1\neq0 \           ,\
a\neq-1$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie tego równania dokładnie tak samo jak rozwiązujemy inne równania wymierne (czyli z niewiadomą w mianowniku). Najprościej będzie więc wykonać mnożenie na krzyż:
$$\frac{2+\sqrt{3}}{a+1}=\frac{1}{2-\sqrt{3}} \           ,\
a+1=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) \           ,\
a+1=4-3 \           ,\
a+1=1 \           ,\
a=0$$

Otrzymany wynik nie jest sprzeczny z założeniami, dlatego ostatecznym rozwiązaniem będzie \(a=0\).

Obydwa równania prostych są zapisane w postaci kierunkowej, zatem aby obydwie te proste były względem siebie równoległe, to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy (czyli liczbę stojącą przed iksem). W związku z tym:
$$m+2=2m-1 \           ,\
-m=-3 \           ,\
m=3$$

Pierwiastki równania to tak naprawdę rozwiązania równania. Nasze równanie jest zapisane w postaci iloczynowej, zatem aby jego wartość była równa zero, to któryś z nawiasów musi dać wartość równą zero, zatem:
$$x-2=0 \quad\lor\quad x+1=0 \quad\lor\quad x-3=0 \           ,\
x=2 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=3$$

Suma pierwiastków (czyli rozwiązań) jest równa:
$$2-1+3=4$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Funkcja \(f(-x)\) jest tak naprawdę odbiciem lustrzanym (względem osi igreków) funkcji \(f(x)\). Możemy więc sobie narysować taką funkcję i odczytywać z niej to co jest nam potrzebne:



Krok 2. Odczytanie najmniejszej wartości.
Wartości funkcji odczytujemy z osi igreków. Interesują nas jedynie wartości przyjmowane dla argumentów z przedziału \(\langle-4,-1\rangle\), a w nim funkcja przyjmuje najmniejszą wartość równą \(0\) (dla \(x=-4\)).

Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań składającego się z dwóch prostych jest ich punkt przecięcia się (czyli dokładnie to czego szukamy, bo przecież dwusieczna kąta musi przechodzić przez punkt przecięcia się prostych). W związku z tym:
$$\begin{cases}
y=x-1 \           ,\
y=-x+1
\end{cases}$$

$$x-1=-x+1 \           ,\
2x=2 \           ,\
x=1$$

Znając wartość współrzędnej iksowej możemy obliczyć wartość współrzędnej igrekowej, podstawiając \(x=1\) do jednego z równań:
$$y=1-1 \           ,\
y=0$$

To oznacza, że poszukiwanym punktem jest \(P=(1;0)\).

Z tabelki wynika wprost, że z każdym kolejnym argumentem \(x\) funkcja rośnie o dwie jednostki. Już z tej prostej obserwacji jesteśmy w stanie zapisać, że \(f(2)=f(1)+2\), czyli \(f(2)=-2+2=0\). Gdybyśmy tego nie dostrzegli, to moglibyśmy nawet narysować wykres tej funkcji albo moglibyśmy wyznaczyć wręcz jej wzór z którego obliczymy wartość dla dowolnego argumentu. Podstawiając pod równanie prostej \(y=ax+b\) dwóch dowolnych punktów z tabeli otrzymamy przykładowo:
$$\begin{cases}
-6=-1\cdot a+b \           ,\
-4=0\cdot a+b
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
-6=-a+b \           ,\
-4=b
\end{cases}$$

Podstawiając drugie równanie do pierwszego otrzymamy:
$$-6=-a-4 \           ,\
-2=-a \           ,\
a=2$$

Obliczyliśmy w ten sposób współczynnik kierunkowy \(a=2\). Znamy też już wartość współczynnika \(b\), bo wyszło nam wprost z jednego równania, że \(b=-4\). W związku z tym wiemy, że prosta ta jest opisana wzorem:
$$y=2x-4$$

Skoro szukamy wartości \(f(2)\) to pod iksa do wzoru tej funkcji musimy podstawić \(x=2\), zatem:
$$y=2\cdot2-4 \           ,\
y=4-4 \           ,\
y=0$$

W ten oto sposób wyszło nam, że \(f(2)=0\).

Jeżeli współczynnik \(b\) jest równy \(-3\), a iloczyn \(ab\lt0\), to:
$$ab\lt0 \           ,\
-3a\lt0 \quad\bigg/:(-3) \           ,\
a\gt0$$

Dodatni współczynnik kierunkowy \(a\) oznacza, że prosta jest rosnąca.

Krok 1. Odczytanie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Funkcja jest określona wzorem w postaci kanonicznej, czyli takiej z której łatwo możemy odczytać współrzędne wierzchołka paraboli. Funkcja opisana wzorem \(f(x)=a(x-p)^2+q\) ma współrzędne wierzchołka równe \(W=(p;q)\). W naszym przypadku \(p=1\) oraz \(q=2\), zatem wierzchołek paraboli leży w punkcie \(W=(1;2)\).

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego i odczytanie zbioru wartości.
Ta funkcja jest kwadratowa, czyli jej wykresem będzie parabola. Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo po wykonaniu potęgowania przed iksem nie będzie stać żadna wartość ujemna. Zaznaczamy współrzędne wierzchołka \(W=(1;2)\) i całość będzie wyglądać w następujący sposób:



Zbiór wartości odczytujemy z osi igreków. Z rysunku wyraźnie wynika, że zbiorem wartości tej funkcji są wszystkie liczby większe lub równe \(2\), czyli \(\langle2,+\infty)\).

Krok 1. Ustalenie wzoru funkcji \(h(x)\).
Zapis \(h(x)=g(x+1)\) mówi nam, że aby otrzymać funkcję \(h(x)\) to musimy pod iksa z funkcji \(g(x)\) podstawić \(x+1\). Dodatkowo na końcu wzoru funkcji \(h(x)\) pojawia się jeszcze wartość \(-4\), zatem dodatkowo będziemy musieli jeszcze tę czwórkę odjąć. W związku z tym:
$$h(x)=3^{(x+1)-1}+1-4 \           ,\
h(x)=3^{x+1-1}-3 \           ,\
h(x)=3^{x}-3$$

Krok 2. Obliczenie miejsca zerowego funkcji \(h(x)\).
Musimy znaleźć miejsce zerowe \(h(x)\), czyli musimy sprawdzić kiedy \(3^x-3\) będzie równe \(0\), zatem:
$$3^{x}-3=0 \           ,\
3^x=3 \           ,\
3^x=3^1 \           ,\
x=1$$

W tym przykładzie dobrze jest na początku wymnożyć licznik naszego ułamka i uprościć w ten sposób cały zapis:
$$x-1\le\frac{x(x-1)-x^2}{2}\le1 \           ,\
x-1\le\frac{x^2-x-x^2}{2}\le1 \           ,\
x-1\le\frac{-x}{2}\le1$$

Teraz możemy dla przejrzystości działań rozbić ten zapis na dwie nierówności:
$$x-1\le\frac{-x}{2} \quad\land\quad \frac{-x}{2}\le1 \           ,\
2x-2\le-x \quad\land\quad -x\le2 \           ,\
3x-2\le0 \quad\land\quad x\ge-2 \           ,\
3x\le2 \quad\land\quad x\ge-2 \           ,\
x\le\frac{2}{3} \quad\land\quad x\ge-2$$

Szukamy więc liczb całkowitych, które są mniejsze lub równe od \(\frac{2}{3}\) i jednocześnie większe lub równe niż \(-2\). Istnieją tylko trzy takie liczby: \(-2,-1,0\).