Usuwając niewymierność z mianownika otrzymamy:
$$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{5}\cdot(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)\cdot(\sqrt{2}+1)}= \           ,\
=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{5}}{2-1}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{5}}{1}=\sqrt{10}+\sqrt{5}$$

Powyższa funkcja składa się tak jakby z trzech wzorów/części, które obowiązują dla trzech różnych przedziałów. Naszym zadaniem jest więc przyrównanie do zera każdej z części i sprawdzenie, czy otrzymany wynik mieści się w przedziale - jeśli tak, to będzie to miejsce zerowe funkcji.

Krok 1. Sprawdzenie pierwszej części wzoru.
$$x^2-1=0 \           ,\
x^2=1 \           ,\
x=-1 \quad\lor\quad x=1$$

Wartości \(x=-1\) oraz \(x=1\) nie mieszczą się w przedziale \((-\infty,-2\rangle\), zatem nie są to miejsca zerowe naszej funkcji.

Krok 2. Sprawdzenie drugiej części wzoru.
$$-\frac{1}{3}x+1=0 \           ,\
-\frac{1}{3}x=-1 \           ,\
x=3$$

Wartość \(x=3\) nie mieści się w przedziale \((-2,3)\), zatem nie jest to miejsce zerowe naszej funkcji.

Krok 3. Sprawdzenie trzeciej części wzoru.
$$2x-8=0 \           ,\
2x=8 \           ,\
x=4$$

Wartość \(x=4\) mieści się w przedziale \(\langle3,+\infty)\), zatem jest to nasze miejsce zerowe.

Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$\frac{\left(2^3\right)^4}{2^{-5}}=\frac{2^{3\cdot4}}{2^{-5}}=\frac{2^{12}}{2^{-5}}=2^{12}:2^{-5}=2^{12-(-5)}=2^{17}$$

W tego typu zadaniach należy pamiętać, że druga obniżka/podwyżka jest od ceny już obniżonej/podwyższonej za pierwszym razem. W naszym przypadku wyglądałoby to następująco:
\(x\) - początkowa cena towaru
\(0,9x\) - cena towaru po pierwszej obniżce
\(0,85\cdot0,9x=0,765x\) - cena towaru po drugiej obniżce

To oznacza, że towar potaniał o \(\frac{x-0,765x}{x}\cdot100\%=23,5\%\).

Błąd względny obliczymy w następujący sposób:
$$δ=\frac{|x-x_{0}|}{x}$$

\(δ\) - błąd względny pomiaru
\(x\) - dokładna wartość
\(x_{0}\) - przybliżona wartość

W naszym przykładzie dokładną wartością jest \(x=\frac{2}{3}\), natomiast wartością przybliżoną będzie \(x_{0}=0,67\). W związku z tym:
$$δ=\frac{|\frac{2}{3}-0,67|}{\frac{2}{3}}$$

Jak teraz rozwiązać to równanie? Musimy zamienić ułamek \(0,67\) na ułamek zwykły i sprowadzić występujące w równaniu ułamki do wspólnego mianownika:
$$δ=\frac{|\frac{200}{300}-\frac{201}{300}|}{\frac{200}{300}} \           ,\
δ=\frac{|-\frac{1}{300}|}{\frac{200}{300}} \           ,\
δ=\frac{\frac{1}{300}}{\frac{200}{300}} \           ,\
δ=\frac{1}{300}\cdot\frac{300}{200} \           ,\
δ=\frac{1}{200}$$

My zgodnie z naszymi odpowiedziami musimy podać wartość w procentach (co jest dość częstą praktyką), zatem ułamek \(\frac{1}{200}\) musimy zamienić na procenty:
$$\frac{1}{200}\cdot100\%=\frac{1}{2}\%$$

Do wzoru tej funkcji musimy po prostu podstawić współrzędne naszego punktu \(A\), otrzymując w ten sposób równanie:
$$8=\frac{a}{-\frac{1}{4}} \quad\bigg/\cdot(-\frac{1}{4}) \           ,\
a=-2$$

Krok 1. Zapisanie równania w postaci kierunkowej.
Aby cokolwiek zacząć liczyć, to musimy najpierw przekształcić podane równanie z postaci ogólnej do postaci kierunkowej typu \(y=ax+b\), zatem:
$$6x+10y+7=0 \           ,\
10y=-6x-7 \           ,\
y=-\frac{6}{10}x-\frac{7}{10} \           ,\
y=-\frac{3}{5}x-\frac{7}{10}$$

Krok 2. Określenie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej.
Aby dwie proste były prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Nasza pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-\frac{3}{5}\), to znaczy że druga prosta ma ten współczynnik równy:
$$a\cdot-\frac{3}{5}=-1 \quad\bigg/\cdot-\frac{5}{3} \           ,\
a=\frac{5}{3}$$

Krok 1. Obliczenie sumy dwóch pierwszych wyrazów.
Podstawiając do wzoru \(n=2\) dowiemy się ile wynosi suma dwóch pierwszych wyrazów tego ciągu (czyli ile jest równe \(a_{1}+a_{2}\)):
$$S_{n}=5n^2-7n \           ,\
S_{2}=5\cdot2^2-7\cdot2 \           ,\
S_{2}=5\cdot4-7\cdot2 \           ,\
S_{2}=20-14 \           ,\
S_{2}=6$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Podstawiając do wzoru \(n=1\) dowiemy się ile wynosi "suma jednego wyrazu", czyli po prostu ile jest równy pierwszy wyraz (czyli \(a_{1}\)) tego ciągu:
$$S_{1}=5n^2-7n \           ,\
S_{1}=5\cdot1^2-7\cdot1 \           ,\
S_{1}=5\cdot1-7\cdot1 \           ,\
S_{1}=5-7 \           ,\
S_{1}=-2$$

Krok 3. Obliczenie wartości drugiego wyrazu.
Wiemy już, że \(a_{1}+a_{2}=6\) oraz że \(a_{1}=-2\). W związku z tym \(a_{2}\) jest równe:
$$-2+a_{2}=6 \           ,\
a_{2}=8$$

W zadaniu wykorzystamy tak zwaną regułę mnożenia, zatem musimy ustalić na ile różnych sposobów da się wpisać cyfry na dane miejsce naszej trzycyfrowej liczby.

Na pierwszym miejscu naszej liczby może się pojawić jedna z dziewięciu cyfr od \(1\) do \(9\). W związku z tym pierszym czynnikiem będzie \(9\).

Na drugim miejscu może się znaleźć jedna z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), ale skoro cyfry mają być różne, to odpadnie nam z tej puli ta cyfra, która była wylosowana na pierwszym miejscu. To oznacza, że będziemy mieli tutaj \(10-1=9\) różnych sposobów wpisania cyfry.

Na trzecim miejscu może znaleźć się jedna z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), poza tymi które były już wylosowane za pierwszym i drugim razem. To oznacza, że będziemy mieli tutaj \(10-2=8\) różnych sposobów wpisania cyfry.

Zgodnie z regułą mnożenia możemy więc zapisać, że trzycyfrowych liczb naturalnych o różnych cyfrach jest: \(9\cdot9\cdot8\).

Krok 1. Rozwiązanie równania.
Nasze równanie jest równaniem kwadratowym, zapisanym w wygodnej postaci iloczynowej. To oznacza, że aby rozwiązać to równanie wystarczy przyrównać wartości zapisane w nawiasach do zera:
$$x+7=0 \quad\lor\quad x+1=0 \           ,\
x=-7 \quad\lor\quad x=-1$$

Krok 2. Obliczenie różnicy.
Większym rozwiązaniem jest \(-1\). Mniejszym jest \(-7\). Różnica między większym i mniejszym rozwiązaniem jest równa:
$$-1-(-7)=-1+7=6$$

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy rozpisać to wyrażenie w następujący sposób:
$$\require{cancel}W=\frac{16x^2-25}{16x^2+40x+25} \           ,\
W=\frac{(4x-5)(4x+5)}{(4x+5)^2} \           ,\
W=\frac{(4x-5)\cancel{(4x+5)}}{(4x+5)\cancel{(4x+5)}} \           ,\
W=\frac{4x-5}{4x+5}$$

Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to nasz mianownik musi być różny od zera. To oznacza, że z dziedziny funkcji musimy wykluczyć rozwiązania równania:
$$x^2+4x=0 \           ,\
x(x+4)=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x=-4$$

W związku z tym dziedziną funkcji będzie zbiór liczb rzeczywistych oprócz \(0\) oraz \(-4\), czyli w matematycznym zapisie będzie to \(\mathbb{R}\backslash\{-4,0\}\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby wiedzieć co trzeba policzyć dobrze jest narysować sobie szkic wykresu tej funkcji. Jest to funkcja kwadratowa, czyli rysujemy parabolę. Jej ramiona będą skierowane do dołu, bo współczynnik kierunkowy jest ujemny, zatem całość będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:



Z rysunku wynika, że nasza funkcja przyjmuje wartości od minus nieskończoności do współrzędnej igrekowej wierzchołka tej paraboli (zapisywanej w matematyce symbolem \(q\)).

Krok 2. Obliczenie współrzędnej \(q\).
Współrzędną \(q\) możemy obliczyć ze wzoru: \(q=\frac{-Δ}{4a}\). Musimy zatem obliczyć deltę, a zrobimy to w następujący sposób:
Współczynniki: \(a=-1,\;b=-4,\;c=5\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot(-1)\cdot5=16-(-20)=16+20=36$$

W związku z tym współrzędna \(q\) będzie równa:
$$q=\frac{-Δ}{4a} \           ,\
q=\frac{-36}{4\cdot(-1)} \           ,\
q=\frac{-36}{-4} \           ,\
q=9$$

Krok 4. Ustalenie zbioru wartości funkcji.
Zgodnie z naszym szkicowym rysunkiem i obliczeniami możemy zapisać, że zbiorem wartości naszej funkcji jest przedział:
$$y\in(-\infty,q\rangle \           ,\
y\in(-\infty,9\rangle$$

Podane w treści zadania równanie jest równaniem trzeciego stopnia, ale takim które damy radę przeanalizować niemalże w pamięci. Przekształcając to równanie otrzymamy postać:
$$81+x^3=0 \           ,\
x^3=-81$$

Po prawej stronie równania otrzymaliśmy wartość ujemną. Gdyby po lewej stronie równania była liczba podniesiona do potęgi parzystej (np. do \(2\)) to równanie nie miałoby żadnych rozwiązań, bo nie istnieje żadna liczba podniesiona do kwadratu, która daje wynik ujemny. W naszym przypadku mamy po lewej stronie potęgę nieparzystą, zatem ujemny wynik jest możliwy do uzyskania i stanie się tak wtedy gdy będziemy potęgować liczbę ujemną (np. \((-4)^3=-64\)). To oznacza, że jest jedno rozwiązanie rzeczywiste tego równania i możemy nawet sobie dopowiedzieć, że jest nią jakaś liczba ujemna bliska \(-4\) (dokładnie rzecz ujmując będzie to \(x=-\sqrt[3]{81}\)).

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). Podstawiając do tego równania wartość sinusa z treści zadania bez problemu obliczymy wartość cosinusa:
$$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\
\left(\frac{12}{13}\right)^2+cos^2α=1 \           ,\
\frac{144}{169}+cos^2α=1 \           ,\
cos^2α=\frac{25}{169} \           ,\
cosα=\frac{5}{13} \quad\lor\quad cosα=-\frac{5}{13}$$

Zazwyczaj odrzucamy ujemne rozwiązanie, bo zazwyczaj w treści zadania informują nas że \(α\) jest kątem ostrym. Tym razem wyjątkowo \(α\) jest kątem rozwartym, a dla kątów rozwartych cosinus przyjmuje zawsze wartości ujemne, zatem tutaj musimy odrzucić dodatnie rozwiązanie, dzięki czemu zostaje nam, że \(cosα=-\frac{5}{13}\).

Aby otrzymać liczbę przeciwną wystarczy przed naszą liczbą postawić minusa. Zatem liczbą przeciwną będzie \(-10^{-\frac{5}{3}}\).