Korzystając z działań na potęgach i pierwiastkach całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$16\sqrt[3]{4}=4^2\cdot4^{\frac{1}{3}}=(2^2)^2\cdot(2^2)^{\frac{1}{3}}=2^{2\cdot2}\cdot2^{2\cdot\frac{1}{3}}=2^4\cdot2^{\frac{2}{3}}=2^{4+\frac{2}{3}}=2^{\frac{14}{3}}$$

Miejsce zerowe to taki argument \(x\) dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Możemy sprawdzić każdą z odpowiedzi po kolei, podstawiając poszczególne liczby do wzorów funkcji (pamiętając jedynie o tym, by do dobrego wzoru podstawić poszczególne argumenty - tu musimy zobaczyć do jakiego przedziału należy nasz podstawiany \(x\)). Jeżeli tak będziemy chcieli podejść do tego zadania, to:
Dla \(x=-4\) mamy pierwszy wzór, czyli \((-4)^2-1=15\)
Dla \(x=-2\) mamy drugi wzór, czyli \(5\cdot(-2)+10=0\)
Dla \(x=-1\) mamy drugi wzór, czyli \(5\cdot(-1)+10=5\)
Dla \(x=1\) mamy drugi wzór, czyli \(5\cdot1+10=15\)

W ten oto sposób obliczyliśmy, że wartość funkcji jest równa \(0\) dla argumentu \(x=-2\).

Jeżeli chcemy to miejsce zerowe wyliczyć samodzielnie, to musimy sprawdzić po kolei każdy z trzech wzorów, przyrównując każde z wyrażeń do zera.
Pierwsze wyrażenie:
\(x^2-1=0 \           ,\
x^2=1 \           ,\
x=1 \quad\lor\quad x=-1\)

Obydwa rozwiązania nie mieszczą się w przedziale \(x\in (-\infty,-4 \rangle\), zatem obydwa przypadki odrzucamy.

Drugie wyrażenie:
\(5x+10=0 \           ,\
5x=-10 \           ,\
x=-2\)

Rozwiązanie mieści się w przedziale \(x\in(-4,2)\), zatem \(x=-2\) jest miejscem zerowym funkcji.

Trzecie wyrażenie:
\(x+4=0 \           ,\
x=-4\)

Rozwiązanie nie mieści się w przedziale \(x\in(-4,2)\), zatem ten przypadek odrzucamy.

Musimy odpowiedzieć kiedy funkcja przyjmuje wartości ujemne, czyli tak naprawdę musimy rozwiązać nierówność \(x^2-3x-4\lt0\).

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Skorzystamy tutaj z tradycyjnej metody delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-3,\;c=-4\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-4)=9-(-16)=25 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-5}{2\cdot1}=\frac{3-5}{2}=\frac{-2}{2}=-1 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+5}{2\cdot1}=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsca zerowe i przystępujemy do rysowania paraboli. Kółka przy miejscach zerowych muszą być niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\).



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas argumenty, dla których nierówność przyjmuje wartości mniejsze od zera. W związku z tym: \(x\in(-1;4)\).

Korzystając z własności działań na logarytmach \(a^{log_{a}b}=b\) oraz \(a\;log_{b}c=log_{b}c^a\) możemy zapisać, że:
$$25^{\log_{5}2}=(5^2)^{\log_{5}2}=5^{2\log_{5}2}=5^{\log_{5}4}=4$$

Krok 1. Ułożenie nierówności.
Aby dowiedzieć się ile jest dodatnich wyrazów tego ciągu to musimy rozwiązać nierówność:
$$-n^2+16\gt0 \quad\bigg/\cdot(-1) \           ,\
n^2-16\lt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz musimy obliczyć miejsca zerowe wielomianu, przyrównując wartość \(n^2-16\) do zera. Możemy to zrobić standardową deltą, ale to jest jedna z tych nierówności którą da się obliczyć niemalże w pamięci:
$$n^2-16=0 \           ,\
n^2=16 \           ,\
n=4 \quad\lor\quad n=-4$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Znając miejsca zerowe wielomianu możemy przystąpić do szkicowania wykresu paraboli. Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo przed \(n^2\) nie ma żadnej ujemnej wartości:



Krok 4. Odczytanie i interpretacja rozwiązania.
Szukamy argumentów, dla których nierówność przyjmuje wartości mniejsze od zera. W związku z tym: \(n\in(-4;4)\).

Jak teraz zinterpretować to rozwiązanie? Z treści zadania (i ogólnie z wiedzy o ciągach) wiemy, że \(n\ge1\). Wiemy też, że \(n\) jest liczbą naturalną. W związku z tym skoro nasze \(n\) musi być większe lub równe \(1\) i jednocześnie musi się mieścić w przedziale \(n\in(-4;4)\), to mamy tylko trzy liczby które spełniają te warunki: \(n=1, n=2, n=3\). W związku z tym ten ciąg ma tylko trzy dodatnie wyrazy.

Do rozwiązania zadania skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek:
$$K_{n}=K\cdot(1+p)^n$$

\(K_{n}\) to kwota po naliczeniu odsetek
\(K\) to kapitał początkowy
\(p\) to oprocentowanie w okresie pojedynczej kapitalizacji
\(n\) to liczba kapitalizacji

Z treści zadania wynika, że:
\(K=10000\)
\(p=0,03:4=0,0075\)
\(n=4\cdot4=16\)

Dlaczego \(p=0,0075\)?
Oprocentowanie lokaty w skali roku wynosi \(3\%\), czyli \(0,03\). Gdyby lokata była kapitalizowana raz w roku, to wtedy \(p=0,03\). Jednak nasza lokata jest kapitalizowana \(4\) razy w roku (co kwartał), zatem na każdy okres kapitalizacji przypada nam oprocentowanie rzędu \(p=0,03:4=0,0075\).

Dlaczego \(n=16\)?
Lokata jest na \(4\) lata, a odsetki naliczane są co kwartał czyli \(4\) razy w roku. W związku z tym w trakcie całej lokaty odsetki będą naliczone \(4\cdot4=16\) razy.

Nie pozostaje nam nic innego jak podstawić poszczególne dane do wzoru:
$$K_{16}=10000\cdot(1+0,0075)^{16}$$

Naszym zadaniem jest po prostu ustalenie, która z tych liczb jest najmniejsza, a która największa i ustawienie tych liczb w porządku rosnącym. To zadanie nie jest więc w żaden sposób związane z ciągami jako takimi.

Teoretycznie moglibyśmy przyjąć przybliżenie \(\sqrt{5}\approx2,23\) i obliczyć na kalkulatorze wartość każdej z tych liczb. I prawdopodobnie byłaby to najszybsza metoda, bo od razu otrzymalibyśmy, że:
$$x\approx\frac{3}{2,23-2}=\frac{3}{0,23}=13,04 \           ,\
y\approx\frac{12}{2,23-1}+1=\frac{12}{1,23}+1=9,76+1=10,76 \           ,\
z\approx3\sqrt{5}+2=3\cdot2,23+2=8,69$$

Gdybyśmy jednak chcieli do tego zadania podejść nieco bardziej matematycznie, to kluczem do sukcesu byłoby po prostu usunięcie niewymierności z każdego z podanych ułamków. Otrzymamy wtedy:
$$x=\frac{3}{\sqrt{5}-2}=\frac{3\cdot(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)\cdot(\sqrt{5}+2)}=\frac{3\sqrt{5}+6}{5-4}=\frac{3\sqrt{5}+6}{1}=3\sqrt{5}+6 \           ,\
y=\frac{12}{\sqrt{5}-1}+1=\frac{12\cdot(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)\cdot(\sqrt{5}+1)}+1= \           ,\
=\frac{12\sqrt{5}+12}{5-1}+1=\frac{12\sqrt{5}+12}{4}+1=3\sqrt{5}+3+1=3\sqrt{5}+4 \           ,\
z=3\sqrt{5}+2$$

Zarówno z pierwszego jak i drugiego sposobu wynika, że najmniejsza jest liczba \(z\), największa to \(x\), zatem ten ciąg tworzą po kolei liczby \(z,y,x\).

Zastanówmy się co tak naprawdę musimy policzyć. Musimy obliczyć sumę wyrazów, które tworzą ciąg arytmetyczny z liczb parzystych w stylu:
$$2,4,6,8,...$$

O tym ciągu możemy powiedzieć, że jego pierwszym wyrazem jest na pewno \(a_{1}=2\) oraz że różnica ciągu wynosi \(r=2\). Musimy teraz obliczyć sumę tych wszystkich wyrazów, a skoro tak, to zapiszmy wzór na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$

Rozpisując \(a_{n}\) ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) otrzymamy:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \           ,\
S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$

Wiemy, że mamy mieć \(2n\) wyrazów (czyli musimy pod \(n\) podstawiać \(2n\)), wiemy też że różnica ciągu arytmetycznego jest równa \(r=2\) i wiemy że \(a_{1}=2\), zatem:
$$S_{2n}=\frac{2\cdot2+(2n-1)\cdot2}{2}\cdot2n \           ,\
S_{2n}=\frac{4+4n-2}{2}\cdot2n \           ,\
S_{2n}=\frac{4n+2}{2}\cdot2n \           ,\
S_{2n}=(2n+1)\cdot2n \           ,\
S_{2n}=4n^2+2n$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby uniknąć działań na ułamkach zapiszmy sobie, że podstawa trójkąta ma długość \(2x\), natomiast wysokość jest równa \(4x\).



Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Spójrzmy na otrzymany trójkąt prostokątny, bo to z niego teraz będziemy korzystać przy wyznaczeniu wartości sinusa. Do obliczenia sinusa potrzebna nam jest znajomość przeciwprostokątnej trójkąta, a tę wyliczymy z Twierdzenia Pitagorasa. W podstawie trójkąta prostokątnego znajduje się bok długości \(x\) (bo wysokość trójkąta równoramiennego dzieli podstawę na dwie równe części), natomiast druga przyprostokątna ma długość \(4x\). W związku z tym:
$$x^2+(4x)^2=c^2 \           ,\
x^2+16x^2=c^2 \           ,\
17x^2=c^2 \           ,\
c=\sqrt{17}x \quad\lor\quad c=-\sqrt{17}x$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo długość nie może być ujemna, zatem \(c=\sqrt{17}x\).

Krok 3. Zapisanie wartości sinusa.
Sinus opisuje nam relacje między długością przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta oraz długością przeciwprostokątej. W związku z tym:
$$sinα=\frac{4x}{\sqrt{17}x} \           ,\
sinα=\frac{4}{\sqrt{17}} \           ,\
sinα=\frac{4\cdot\sqrt{17}}{\sqrt{17}\cdot\sqrt{17}} \           ,\
sinα=\frac{4\sqrt{17}}{17}$$

W matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), więc w mianowniku naszego ułamka musi się pojawić liczba różna od zera. Musimy więc sprawdzić kiedy \(x^2+4\) jest równe \(0\) i wykluczyć te argumenty z dziedziny funkcji. Równanie \(x^2+4=0\) można rozwiązywać standardową deltą, ale tak naprawdę możemy to obliczyć w pamięci:
$$x^2+4=0 \           ,\
x^2=-4$$

Z racji tego, iż nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu da wynik ujemny, to z naszej dziedziny nie wykluczymy żadnego rozwiązania, bo w mianowniku nigdy nie otrzymamy zera. To oznacza, że dziedziną funkcji jest po prostu cały zbiór liczb rzeczywistych.

Aby poznać liczbę przeciwną wystarczy dopisać z przodu minusa, zatem liczbą przeciwną w tym przypadku będzie \(-5^{\frac{2}{3}}\).

Jeżeli wykres funkcji \(f(x)\) przesuwamy o \(10\) jednostek w dół, to wzór nowej funkcji możemy zapisać jako \(y=f(x)-10\).

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na kostce może wypaść jeden z sześciu wyników, zatem liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=6\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Liczbami pierwszymi są \(2, 3, 5\). Liczba \(1\) nie jest liczbą pierwszą! W związku z tym tylko trzy przypadki spełniają warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=3\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{6}$$

Krok 1. Rozpisanie tangensa jako ilorazu sinusa i cosinusa.
Z trygonometrii wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Korzystając z tej własności możemy zapisać, że:
$$tgα=\frac{12}{5} \           ,\
\frac{sinα}{cosα}=\frac{12}{5}$$

Mnożąc to na krzyż otrzymamy:
$$5sinα=12cosα$$

Krok 2. Obliczenie wartości cosinusa.
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). Z poprzedniego kroku wyszło nam, że \(5sinα=12cosα\), czyli że \(sinα=\frac{12}{5}cosα\). W związku z tym:
$$\left(\frac{12}{5}cosα\right)^2+cos^2α=1 \           ,\
\frac{144}{25}cos^2α+cos^2α=1 \           ,\
\frac{169}{25}cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{25}{169} \           ,\
cos^2α=\frac{25}{169} \           ,\
cosα=\frac{5}{13} \quad\lor\quad cosα=-\frac{5}{13}$$

Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo kąt \(α\) jest ostry, a dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie, zatem zostaje nam \(cosα=\frac{5}{13}\).

Powyższy wielomian możemy rozpisać w następujący sposób:
$$W(x)=x^3-2x^2-4x+8 \           ,\
W(x)=x^2(x-2)-4(x-2) \           ,\
W(x)=(x^2-4)(x-2) \           ,\
W(x)=(x+2)(x-2)(x-2) \           ,\
W(x)=(x+2)(x-2)^2$$