Matura — Matematyka (Poziom rozszerzony) 2025 — arkusz z rozwiązaniami
Matura — Matematyka (Poziom rozszerzony) 2025 — arkusz z rozwiązaniami
Arkusz maturalny z matematyki (poziom rozszerzony) 2025 — wszystkie zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Rozwiązuj online na matematix.pl.
Liczebność populacji bakterii zmienia się zgodnie z zależnością $N(t)=N_0\cdot k^t$ dla $t\ge0$ ($t$ — czas w godzinach). W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność wynosiła $10\,000$, a po dwóch godzinach — $15\,625$. Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność tej populacji w ciągu każdej godziny.
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ i każdej dodatniej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b\ne\tfrac12 a$, prawdziwa jest nierówność $(a+2b)^3>8a^2b+16ab^2$.
W trójkącie równobocznym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$. Stosunek pola trójkąta $ABD$ do pola trójkąta $ADC$ jest równy $\tfrac{\sqrt3-1}{2}$. Oblicz miarę kąta $DAC$.
Doświadczenie polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jeden raz sześć oczek, pod warunkiem że otrzymamy dokładnie dwa razy pięć oczek.
Rozwiąż nierówność $|x-2|-2\cdot|x+3|<-2$.
Ciąg $(a_n)$ ($n\ge1$) jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu $a_1+a_3=20$ oraz $a_1^2+a_3^2=328$. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki.
W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ punkt $E$ jest środkiem ramienia $AD$, a $F$ — środkiem ramienia $BC$. Stosunek pola trapezu $EFCD$ do pola trapezu $ABFE$ jest równy $\tfrac12$. Wykaż, że $\dfrac{|CD|}{|AB|}=\dfrac15$.
Dane są okręgi $\mathcal{O}_1:(x-1)^2+(y+3)^2=5$ oraz $\mathcal{O}_2:(x-2)^2+(y-4)^2=45$, przecinające się w punktach $A$ i $B$ ($A$ ma dodatnią pierwszą współrzędną). Punkt $M$ spełnia warunek $\overrightarrow{AM}=-2\cdot\overrightarrow{BM}$. Oblicz współrzędne punktów $A$, $B$ oraz $M$.
Rozwiąż równanie $3\cos^2x+\sqrt3\,\sin(2x)-3\sin^2x=0$ w przedziale $[-\pi,\pi]$.
Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Krawędź boczna $SA$ jest wysokością ostrosłupa, a krawędź podstawy ma długość $3\sqrt{34}$. Cosinus kąta $\beta$ między ścianami bocznymi $CDS$ i $BCS$ jest równy $-\tfrac{9}{25}$. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Funkcja $f(x)=(2-m)x^2-2(2m+1)x+m+8$ ($m\ne2$). Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe $x_1,x_2$ tego samego znaku, spełniające warunek $(x_1-x_2)^2\le180$.
Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od $5$, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa $5$. Wykaż, że objętość $V$ stożka jako funkcja wysokości $h$ wyraża się wzorem $V(h)=\dfrac{\pi}{3}\cdot\dfrac{25h^3}{h^2-25}$.
Objętość stożka wyraża się wzorem $V(h)=\dfrac{\pi}{3}\cdot\dfrac{25h^3}{h^2-25}$ dla $h\in(5,+\infty)$. Wyznacz wysokość stożka o najmniejszej objętości oraz oblicz tę najmniejszą objętość.
Pierwszy miesiąc za 0 zł.
Bez zobowiązań. Rezygnujesz, kiedy chcesz.
Załóż konto w 2 minuty. Opłaty pojawiają się dopiero po zalogowaniu i wyborze planu. Możesz zawiesić, zmienić lub anulować plan w każdej chwili. Dołącz do ponad 600 korepetytorów którzy już pracują mądrzej.