LekcjeRazem

Rozwiązanie

1. Trójkąty $ABD$ i $ADC$ mają wspólną wysokość z $A$, więc $\dfrac{[ABD]}{[ADC]}=\dfrac{|BD|}{|DC|}=\dfrac{\sqrt3-1}{2}$. Przyjmijmy $|DC|=2$, $|BD|=\sqrt3-1$; wtedy bok $|BC|=|AC|=\sqrt3+1$.
2. W trójkącie $ADC$ ($\angle C=60^\circ$) z twierdzenia cosinusów: $|AD|^2=(\sqrt3+1)^2+2^2-2(\sqrt3+1)\cdot2\cdot\cos60^\circ=6$, więc $|AD|=\sqrt6$.
3. Z twierdzenia sinusów: $\dfrac{|DC|}{\sin\angle DAC}=\dfrac{|AD|}{\sin\angle C}\Rightarrow\sin\angle DAC=\dfrac{2\sin60^\circ}{\sqrt6}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt6}=\dfrac{1}{\sqrt2}$.
4. Kąt $DAC$ jest ostry, więc $\angle DAC=45^\circ$.

Odpowiedź: $\angle DAC=45^\circ$.