LekcjeRazem

Rozwiązanie

1. Badamy $g(h)=\dfrac{h^3}{h^2-25}$. $g'(h)=\dfrac{3h^2(h^2-25)-h^3\cdot2h}{(h^2-25)^2}=\dfrac{h^2(h^2-75)}{(h^2-25)^2}$.
2. Dla $h>5$ znak $g'$ zależy od $h^2-75$: $g'<0$ dla $h<5\sqrt3$, $g'>0$ dla $h>5\sqrt3$ — minimum w $h=5\sqrt3$.
3. $h^2=75$, $h^3=375\sqrt3$, $h^2-25=50$: $g(5\sqrt3)=\dfrac{375\sqrt3}{50}=\dfrac{15\sqrt3}{2}$. $V=\dfrac{\pi}{3}\cdot25\cdot\dfrac{15\sqrt3}{2}=\dfrac{125\sqrt3}{2}\pi$.

Odpowiedź: $h=5\sqrt3$, $V_{\min}=\dfrac{125\sqrt3}{2}\pi$.