Korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$\frac{8^{-40}}{2^{10}}=\frac{(2^3)^{-40}}{2^{10}}=\frac{2^{-120}}{2^{10}}=2^{-120-10}=2^{-130}$$

Korzystając z działań na logarytmach, możemy zapisać, że:
$$log_{2}32-log_{2}8=log_{2}\left(\frac{32}{8}\right)=log_{2}4=2$$

W tym zadaniu musimy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). W związku z tym:
$$(5-2\sqrt{3})^2=5^2-2\cdot5\cdot2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2= \           ,\
=25-20\sqrt{3}+4\cdot3=25-20\sqrt{3}+12=37-20\sqrt{3}$$

Aby rozpisać tę sytuację, musimy pamiętać, że obniżka ceny o np. \(30\%\) sprawia, iż nowa cena towaru stanowi \(70\%\) poprzedniej ceny, czyli \(0,7\) tej wartości. W związku z tym:

\(x\) - początkowa cena towaru
\(0,7\cdot x=0,7x\) - cena towaru po pierwszej obniżce
\(0,8\cdot0,7x=0,56x\) - cena towaru po drugiej obniżce

Gdybyśmy wymnożyli te wszystkie nawiasy i uporządkowali zapis, to powstanie nam równanie trzeciego stopnia, którego raczej samodzielnie (na poziomie podstawowym) nie damy rady rozwiązać.

Do zadania można byłoby więc podejść nieco inaczej. Przykładowo można byłoby podstawić każdą z proponowanych odpowiedzi i sprawdzić, kiedy lewa strona równania będzie równa stronie prawej. Najlepszym jednak sposobem będzie dostrzeżenie, że w nawiasach mamy tą samą wartość, czyli \(x+1\), co pozwoli nam na rozwiązanie tego w następujący sposób:
$$5(x+1)-x^2(x+1)=0 \           ,\
(5-x^2)\cdot(x+1)=0$$

Teraz postępujemy tak, jak przy postaci iloczynowej, czyli przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, zatem:
$$5-x^2=0 \quad\lor\quad x+1=0 \           ,\
x^2=5 \quad\lor\quad x=-1 \           ,\
x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-1$$

Samo równanie ma więc trzy rozwiązania, a w proponowanych odpowiedziach znalazła się odpowiedź \(x=-1\).

Zaczynając od mnożenia obu stron przez \(4\), otrzymamy:
$$\frac{8x-3}{4}\gt6x \quad\bigg/\cdot4 \           ,\
8x-3\gt24x \           ,\
-16x-3\gt0 \           ,\
-16x\gt3 \quad\bigg/:(-16) \           ,\
x\lt-\frac{3}{16}$$

Zwróć uwagę, że dzieląc obydwie strony nierówności przez \(-16\), należało zmienić znak nierówności na przeciwny (to największa pułapka w tym zadaniu).

To oznacza, że zbiorem rozwiązań tej nierówności będzie przedział \(\left(-\infty;-\frac{3}{16}\right)\).

W tym zadaniu musimy postąpić tak, jak przy postaci iloczynowej, czyli musimy przyrównać wartość każdego z nawiasów do zera. W związku z tym:
$$2x-1=0 \quad\lor\quad 2x-2=0 \quad\lor\quad x+2=0 \           ,\
2x=1 \quad\lor\quad 2x=2 \quad\lor\quad x=-2 \           ,\
x=\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=1 \quad\lor\quad x=-2$$

Suma rozwiązań tego równania wynosi więc:
$$\frac{1}{2}+1+(-2)=-\frac{1}{2}$$

Podstawiając współrzędne punktu \(A\) do wzoru funkcji, otrzymamy:
$$2=(m^2-3)\cdot1^3-m^2+m+1 \           ,\
2=(m^2-3)\cdot1-m^2+m+1 \           ,\
2=m^2-3-m^2+m+1 \           ,\
2=-2+m \           ,\
m=4$$

Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy współczynnik \(a\) (czyli liczba znajdująca się przed iksem) jest większy od zera. W naszym przypadku \(a=2m-5\), więc funkcja będzie rosnąca dla:
$$2m-5\gt0 \           ,\
2m\gt5 \           ,\
m\gt2,5$$

Krok 1. Zapisanie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Z treści zadania wynika, że nasza funkcja kwadratowa ma ramiona skierowane do góry (przed \(x^2\) nie stoi żadna liczba, więc współczynnik \(a=1\)) i że przyjmuje ona najmniejszą wartość \(y=4\) dla argumentu \(x=2\). W przypadku tej funkcji kwadratowej ta najmniejsza wartość musi być przyjmowana w wierzchołku \(W=(p;q)\), a to oznacza, że \(W=(2;4)\).


Krok 2. Obliczenie wartości współczynnika \(b\).
Skorzystamy ze wzoru na pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, czyli \(p=\frac{-b}{2a}\). Podstawiając do tego wzoru \(p=2\) oraz \(a=1\), otrzymamy:
$$2=\frac{-b}{2\cdot1} \           ,\
2=\frac{-b}{2} \           ,\
4=-b \           ,\
b=-4$$

Krok 3. Obliczenie wartości współczynnika \(c\).
Znając wartość współczynnika \(b\), możemy wrócić do wzoru naszej funkcji i podstawić do niej wszystkie znane nam dane, otrzymując:
$$4=2^2-4\cdot2+c \           ,\
4=4-8+c \           ,\
4=-4+c \           ,\
c=8$$

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Funkcja jest zapisana w postaci iloczynowej, więc wyznaczenie miejsc zerowych będzie bardzo proste, ponieważ wystarczy sprawdzić, kiedy \(-2(x-2)(x+1)=0\). Musimy więc rozwiązać równanie kwadratowe w postaci iloczynowej, a dokonamy tego przyrównując wartości w nawiasach do zera. Zatem:
$$x-2=0 \quad\lor\quad x+1=0 \           ,\
x=2 \quad\lor\quad x=-1$$

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli.
Podana funkcja ma ramiona skierowane do dołu, ponieważ współczynnik \(a=-2\). To oznacza, że funkcja będzie rosnąć od minus nieskończoności aż do wierzchołka, co dobrze wyjaśni poniższy rysunek:


Musimy zatem wyznaczyć współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli, a w tym celu posłużymy się jedną z własności parabol - wierzchołek znajduje się dokładnie między miejscami zerowymi, zatem:
$$p=\frac{2+(-1)}{2} \           ,\
p=\frac{1}{2}$$

To oznacza, że funkcja jest rosnąca w zbiorze \((-\infty; \frac{1}{2}\rangle\).

Zapis \(g(x)=f(x-1)\) oznacza, że funkcja \(g(x)\) jest przesunięciem funkcji \(f(x)\) o \(1\) jednostkę w prawo. To oznacza, że dziedziną tej funkcji będzie zbiór \(\langle-1;6)\).

Aby sprawdzić, czy liczba \(10\) jest wyrazem naszych ciągów, musimy rozwiązać równania \(3n=10\) oraz \(4n-2=10\) i sprawdzić, kiedy otrzymamy wynik będący liczbą naturalną (bo w ciągach \(n\) jest zawsze liczbą naturalną większą od zera - mamy to zresztą zapisane w treści zadania). W związku z tym:

Ciąg \(a_{n}\):
$$3n=10 \           ,\
n=3\frac{1}{3}$$

Otrzymany wynik oznacza, że liczba \(10\) nie jest wyrazem ciągu.

Ciąg \(b_{n}\):
$$4n-2=10 \           ,\
4n=12 \           ,\
n=3$$

Otrzymany wynik oznacza, że liczba \(10\) jest wyrazem ciągu (i możemy dodać, że jest to trzeci wyraz tego ciągu).

Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Z treści zadania wynika, że \(a_{2}=2\) oraz \(q=2\). To oznacza, że pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
$$a_{1}=a_{2}:q \           ,\
a_{1}=2:2 \           ,\
a_{1}=1$$

Krok 2. Obliczenie sumy pięciu początkowych wyrazów ciągu.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego możemy zapisać, że:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \           ,\
S_{5}=1\cdot\frac{1-2^{5}}{1-2} \           ,\
S_{5}=1\cdot\frac{1-32}{-1} \           ,\
S_{5}=1\cdot\frac{-31}{-1} \           ,\
S_{5}=1\cdot31 \           ,\
S_{5}=31$$

Spójrzmy na pierwszą część zadania. Wynika z niej, że trzy maszyny wyprodukują \(1200\) guzików w dwie godziny, czyli wyprodukują one \(1200:2=600\) guzików na godzinę. To oznacza, że "wydajność" każdej z maszyn to \(200\) guzików na godzinę.

To z kolei oznacza, że pięć takich maszyn będzie w stanie wyprodukować \(5\cdot200=1000\) guzików w ciągu jednej godziny.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na trójkąt długości boków z treści zadania (musimy przy okazji uważać na oznaczenia, tak aby przeciwprostokątną był bok \(AB\)), otrzymamy taką oto sytuację:


Krok 2. Obliczenie długości przyprostokątnej \(BC\).
Znamy długości dwóch boków trójkąta prostokątnego, więc obliczymy brakującą długość przyprostokątnej korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$|AC|^2+6^2=(3\sqrt{5})^2 \           ,\
|AC|^2+36=9\cdot5 \           ,\
|AC|^2+36=45 \           ,\
|AC|^2=9 \           ,\
|AC|=3 \quad\lor\quad |AC|=-3$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, więc zostaje nam \(|AC|=3\).

Krok 3. Obliczenie tangensa kąta \(CAB\).
Tangens to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko danego kąta, względem przyprostokątnej leżącej przy tym kącie. W naszym przypadku oznacza to, że:
$$tg\alpha=\frac{|BC|}{|AC|} \           ,\
tg\alpha=\frac{3}{6} \           ,\
tg\alpha=\frac{1}{2}$$