Korzystając z działań na potęgach i pierwiastkach, a także pamiętając o wzorze skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), wyjdzie nam, że:
$$(2\sqrt{8}-3\sqrt{2})^2= \           ,\
=(2\sqrt{8})^2-2\cdot2\sqrt{8}\cdot3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^2= \           ,\
=4\cdot8-12\sqrt{16}+9\cdot2= \           ,\
=32-12\cdot4+18= \           ,\
=32-48+18= \           ,\
-16+18=2$$

Jeżeli \(2x=3y\), to w takim razie \(x=\frac{3}{2}y\). Podstawiając teraz tę wartość do naszego wyrażenia, otrzymamy:
$$\frac{(\frac{3}{2}y)^2+y^2}{(\frac{3}{2}y)\cdot y}=\frac{\frac{9}{4}y^2+y^2}{\frac{3}{2}y^2}= \           ,\
=\frac{\frac{13}{4}y^2}{\frac{3}{2}y^2}=\frac{\frac{13}{4}}{\frac{3}{2}}= \           ,\
=\frac{13}{4}:\frac{3}{2}=\frac{13}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{26}{12}=\frac{13}{6}$$

Korzystając z działań na logarytmach możemy zapisać, że:
$$4log_{4}2+2log_{4}8=log_{4}2^4+log_{4}8^2=log_{4}16+log_{4}64$$

Obliczmy teraz wartość każdego z otrzymanych logarytmów:
\(log_{4}16\) jest równy \(2\), ponieważ \(4^2=16\)
\(log_{4}{64}\) jest równy \(3\), ponieważ \(4^3=64\)

To oznacza, że:
$$log_{4}16+log_{4}64=2+3=5$$

Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - początkowa cena działki
\(0,9x\) - cena działki po pierwszej obniżce
\(0,9\cdot0,9x=0,81x\) - cena działki po drugiej obniżce

Skoro więc po drugiej obniżce wynosi \(78 732 zł\), to:
$$0,81x=78732 \           ,\
x=97200$$

Korzystając z działań na potęgach i pierwiastkach, możemy zapisać, że:
$$3^{2+\frac{1}{4}}=3^2\cdot3^{\frac{1}{4}}=3^2\cdot\sqrt[4]{3}$$

Celem zadania jest po prostu rozwiązanie podanego układu równań. Możemy to zrobić na wiele sposobów, ale najprościej będzie chyba wymnożyć pierwsze równanie przez \(2\) i następnie dodać te równania stronami:
\begin{cases}
11x-11y=1 \bigg/\cdot2 \\
22x+22y=-1
\end{cases}

\begin{cases}
22x-22y=2 \           ,\
22x+22y=-1
\end{cases}

Dodając teraz równania stronami, otrzymamy:
$$44x=1 \           ,\
x=\frac{1}{44}$$

Znając wartość \(x=\frac{1}{44}\) możemy teraz obliczyć wartość \(y\). W tym celu wystarczy podstawić \(x=\frac{1}{44}\) do jednego z równań z układu (np. pierwszego), otrzymując:
$$11x-11y=1 \           ,\
11\cdot\frac{1}{44}-11y=1 \           ,\
\frac{11}{44}-11y=1 \           ,\
\frac{1}{4}-11y=1 \           ,\
-11y=\frac{3}{4} \           ,\
y=-\frac{3}{44}$$

To oznacza, że \(x_{0}\gt0\) i \(y_{0}\lt0\).

Celem zadania jest rozwiązania nierówności. Aby tego dokonać, najlepiej będzie zacząć od wymnożenia wszystkich wyrazów przez \(15\), dzięki czemu od razu pozbędziemy się ułamków:
$$\frac{2}{5}-\frac{x}{3}\gt\frac{x}{5} \quad\bigg/\cdot15 \           ,\
6-5x\gt3x \           ,\
6\gt8x \           ,\
\frac{6}{8}\gt x \           ,\
x\lt\frac{3}{4}$$

To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział \((-\infty,\frac{3}{4})\).

Chcąc rozwiązać podane równanie, wystarczy zachować się tak, jak przy postaci iloczynowej - czyli wystarczy przyrównać odpowiednie wartości do zera, zatem:
$$2x=0 \quad\lor\quad x^2-9=0 \quad\lor\quad x+1=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x^2=9 \quad\lor\quad x=-1 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=-1$$

Iloczyn tych wszystkich rozwiązań będzie równy:
$$0\cdot3\cdot(-3)\cdot(-1)=0$$

Z wykresu musimy odczytać wartości, jakie przyjmuje funkcja dla \(x=-3\), \(x=0\) oraz \(x=4\). Widzimy, że:
$$f(-3)=-2 \           ,\
f(0)=1 \           ,\
f(4)=4$$

Iloczyn ten będzie więc równy:
$$(-2)\cdot1\cdot4=-8$$

W tym zadaniu trzeba wykazać się wiedzą na temat przekształceń funkcji. Widzimy, że funkcja \(g(x)\) powstała w wyniku przesunięcia funkcji \(f(x)\) o \(2\) jednostki w lewo. Musimy pamiętać, że przesunięcia w lewo/prawo są tymi mniej intuicyjnymi i chcąc zapisać wzór funkcji przesuniętej w lewo, będziemy musieli dać w nawiasie znak dodawania. Skoro tak, to wzorem tej funkcji będzie \(g(x)=f(x+2)\).

Miejsce zerowe to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą zero. Musimy więc sprawdzić kiedy \(-\frac{1}{3}(x+3)+5\) będzie równe \(0\), czyli musimy rozwiązać następujące równanie:
$$-\frac{1}{3}(x+3)+5=0 \           ,\
-\frac{1}{3}x-1+5=0 \           ,\
-\frac{1}{3}x+4=0 \           ,\
-\frac{1}{3}x=-4 \quad\bigg/\cdot(-3) \           ,\
x=12$$

Postać kanoniczna związana jest z wierzchołkiem paraboli \(W=(p;q)\) i wygląda następująco:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

Podstawiając współrzędne wierzchołka \(W=(-3,2)\), otrzymamy:
$$f(x)=a(x-(-3))^2+2 \           ,\
f(x)=a(x+3)^2+2$$

Do pełnego wzoru brakuje nam znajomości współczynnika \(a\). Z zapisanej postaci ogólnej funkcji kwadratowej \(f(x)=3x^2+bx+c\) wynika, że współczynnik \(a=3\). Skoro tak, to poszukiwanym przez nas wzorem jest:
$$f(x)=3(x+3)^2+2$$

Aby wyznaczyć wartość \(a_{7}\), wystarczy podstawić do wzoru ciągu wartość \(n=7\), zatem:
$$a_{7}=\frac{2\cdot7^2-30\cdot7}{7} \           ,\
a_{7}=\frac{2\cdot49-210}{7} \           ,\
a_{7}=\frac{98-210}{7} \           ,\
a_{7}=\frac{-112}{7} \           ,\
a_{7}=-16$$

Widzimy, że w treści zadania mamy podane wartości piątego i dziesiątego wyrazu. Z własności ciągów arytmetycznych powinniśmy zauważyć, że:
$$a_{10}=a_{5}+5r$$

Skoro tak, to podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy informację, że:
$$-66=-31+5r \           ,\
-35=5r \           ,\
r=-7$$

Skoro \(9a_{5}=4a_{3}\), to dzieląc obie strony tego równania przez \(9\) otrzymamy informację, że \(a_{5}=\frac{4}{9}a_{3}\).

Z własności ciągów geometrycznych wynika, że:
$$a_{5}=a_{3}\cdot q^2$$

Podstawiając do tego równania \(a_{5}=\frac{4}{9}a_{3}\), otrzymamy:
$$\frac{4}{9}a_{3}=a_{3}\cdot q^2 \quad\bigg/:a_{3} \           ,\
\frac{4}{9}=q^2 \           ,\
q=\frac{2}{3} \quad\lor\quad q=-\frac{2}{3}$$

Teoretycznie obydwa rozwiązania są poprawne, ale jedno z nich musimy odrzucić. Z treści zadania wynika, że ciąg ma wszystkie wyrazy dodatnie, a skoro tak, to odrzucić musimy \(q=-\frac{2}{3}\). To oznacza, że iloraz tego ciągu jest równy \(q=\frac{2}{3}\)

W tym zadaniu musimy zauważyć, że przykładowo \(cos12°=sin78°\), a \(sin12°=cos78°\) (wynika to wprost ze wzorów redukcyjnych). Skoro tak, to cały zapis możemy przekształcić do postaci:
$$sin78°\cdot sin78°+cos 78°\cdot cos 78°=(sin78°)^2+(cos78°)^2$$

Teraz z pomocą przyjdzie nam tak zwana jedynka trygonometryczna. Skoro \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\), to analogicznie \((sin78°)^2+(cos78°)^2=1\).