Krok 1. Zapisanie założeń.
W mianowniku ułamka pojawia nam się niewiadoma \(a\), więc musimy zapisać założenia. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość mianownika musi być różna od zera, zatem:
$$2a+1\neq0 \           ,\
2a\neq-1 \           ,\
a\neq-\frac{1}{2}$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Zaczynając od wymnożenia obu stron nierówności przez \(2a+1\), możemy zapisać, że:
$$2+a=\frac{9a}{2a+1} \quad\bigg/\cdot(2a+1) \           ,\
(2+a)\cdot(2a+1)=9a \           ,\
4a+2+2a^2+a=9a \           ,\
2a^2+5a+2=9a \           ,\
2a^2-4a+2=0 \           ,\
a^2-2a+1=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem w ruch musi pójść obliczenie delty.

Współczynniki: \(a=1,\;b=-2,\;c=1\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot1=4-4=0$$

Delta wyszła równa \(0\), zatem to równanie będzie mieć tylko jedno rozwiązanie:
$$a=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanego wyniku.
Musimy jeszcze sprawdzić, czy otrzymany wynik nie wyklucza się z założeniami. W tym przypadku tak nie jest, bo wynik wyszedł inny niż \(-\frac{1}{2}\), zatem rozwiązaniem tego równania jest \(a=1\).

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz z działań na potęgach. Możemy więc zapisać, że:
$$1-(2^7-1)^2=1-(2^{14}-2\cdot2^7+1)= \           ,\
=1-(2^{14}-2^8+1)=1-2^{14}+2^8-1=-2^{14}+2^8=2^8-2^{14}$$

Logarytm możemy rozwiązać na różne sposoby, ale najprościej będzie tutaj zastosować po prostu definicję logarytmu, czyli:
$$log_{\sqrt{2}}4^8=x \quad\Leftrightarrow\quad \sqrt{2}^x=4^8$$

Aby rozwiązać równanie \(\sqrt{2}^x=4^8\) musimy doprowadzić lewą i prawą stronę do jednakowej podstawy potęgi. W naszym przypadku najprościej będzie sprowadzić obydwie liczby do dwójki, pamiętając o tym, że \(\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\) i że \(4=2^2\). W związku z tym:
$$(\sqrt{2})^x=4^8 \           ,\
{2^{\frac{1}{2}}}^x={2^2}^8 \           ,\
2^{\frac{1}{2}x}=2^{16}$$

Doprowadziliśmy do jednakowych podstaw potęg, zatem możemy porównać wykładniki:
$$\frac{1}{2}x=16 \           ,\
x=32$$

To oznacza, że rozwiązaniem tego logarytmu jest właśnie liczba \(32\).

Błąd bezwzględny obliczymy ze wzoru: \(Δx=|x-p|\), gdzie \(x\) to wartość dokładna, a \(p\) to wartość przybliżona. Z treści zadania wynika, że \(x=1,989\cdot10^{30}kg\), natomiast przybliżenie wynosi \(p=2\cdot10^{30}kg\). To oznacza, że:

$$Δx=|1,989\cdot10^{30}kg-2\cdot10^{30}kg| \           ,\
Δx=|-0,011\cdot10^{30}kg| \           ,\
Δx=0,011\cdot10^{30}kg$$

Krok 1. Rozwiązanie nierówności.
Rozwiązywanie nierówności najprościej będzie zacząć od wymnożenia obydwu stron przez \(6\), dzięki czemu pozbędziemy się wszystkich ułamków. Musimy jednak uważanie te wyrazy wymnożyć, gdyż po lewej stronie mamy odejmowanie, a po prawej dodawanie:
$$\frac{1}{6}-x\ge\frac{2}{3}x+4 \quad\bigg/\cdot6 \           ,\
1-6x\ge4x+24 \           ,\
-10x\ge23 \quad\bigg/:(-10) \           ,\
x\le-2,3$$

Krok 2. Wyznaczenie największej liczby całkowitej spełniającą nierówność.
Musimy jeszcze ustalić, jaka jest największa liczba całkowita, która spełnia tę nierówność. Największą liczbą całkowitą, która jest mniejsza od \(-2,3\), będzie \(-3\) i taka też jest nasza odpowiedź.

Krok 1. Zapisanie założeń.
W mianowniku ułamka mamy niewiadomą \(x\) dlatego musimy zapisać odpowiednie założenia. Wartość mianownika musi być różna od zera (bo na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero), zatem:
$$x\neq0$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Rozwiązanie równania możemy zacząć od wymnożenia całości przez \(x\):
$$\frac{1-x}{x}=2x \quad\bigg/\cdot x \           ,\
1-x=2x^2 \           ,\
-2x^2-x+1=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam wyliczenie delty:

Współczynniki: \(a=-2,\;b=-1,\;c=1\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot(-2)\cdot1=1-(-8)=9 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{1-3}{2\cdot(-2)}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2} \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{1+3}{2\cdot(-2)}=\frac{4}{-4}=-1$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Na początek musimy sprawdzić, czy otrzymane rozwiązania nie wykluczają się z założeniem, że \(x\neq0\). W tym przypadku tak nie jest, zatem żadnego rozwiązania nie wykluczamy.

Nasze zadanie polega na ustaleniu, ile rozwiązań całkowitych ma nasze równanie. Takie rozwiązanie jest tylko jedno, czyli \(x=-1\).

Krok 1. Ustalenie, która prosta jest prostą \(AC\), a która \(BC\).
Skąd wiemy, która prosta jest opisana równaniem \(y=\frac{2}{3}x+2\), a która \(y=-x+2\)? By to stwierdzić, nie musimy tutaj wykonywać żadnych większych obliczeń. Wystarczy zauważyć, że jedna prosta jest rosnąca (czyli jej współczynnik kierunkowy \(a\) musi być dodatni), a druga jest malejąca (czyli jej współczynnik \(a\) musi być ujemny). To prowadzi nas do wniosku, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=\frac{2}{3}x+2\), natomiast prosta \(BC\) wyraża się równaniem \(y=-x+2\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktów \(A\), \(B\) oraz \(C\).
Zacznijmy od punktu \(A\). Widzimy, że leży on na osi \(Ox\), czyli jego współrzędna \(y=0\). Skoro punkt \(A\) leży na prostej \(y=\frac{2}{3}x+2\), to podstawiając do tego równania \(y=0\), otrzymamy:
$$0=\frac{2}{3}x+2 \           ,\
-2=\frac{2}{3}x \           ,\
x=-3$$

To oznacza, że \(A=(-3;0)\).

Analogicznie podchodzimy do punktu \(B\), bo tutaj także \(y=0\), ale tym razem równaniem prostej przechodzącej przez ten punkt będzie \(y=-x+2\), tak więc:
$$0=-x+2 \           ,\
x=2$$

To oznacza, że \(B=(2;0)\).

Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\) jest najprostsze, ponieważ jest to punkt leżący na osi \(Oy\), a więc z pomocą przyjdzie nam współczynnik \(b\) prostej, która przez ten punkt przechodzi. Widzimy wyraźnie, że zarówno jedna, jak i druga prosta, mają współczynnik \(b=2\), tak więc \(C=(2;0)\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABC\).
Nanosząc na rysunek obliczone współrzędne, otrzymamy taką oto sytuację:


Licząc nawet po kratkach widzimy, że podstawa naszego trójkąta ma długość \(a=5\), natomiast wysokość tego trójkąta to \(h=2\). Skoro tak, to korzystając ze standardowego wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}ah \           ,\
P=\frac{1}{2}\cdot5\cdot2 \           ,\
P=5$$

Aby obliczyć wartość parametru \(m\) wystarczy do wzoru funkcji podstawić współrzędne punktu \(P\), zatem:
$$7=(2m-1)\cdot(-3)+5 \           ,\
7=-6m+3+5 \           ,\
7=-6m+8 \           ,\
-1=-6m \           ,\
m=\frac{1}{6}$$

Z tablicy wzorów wynika, że współrzędną \(q\) wierzchołka paraboli, możemy obliczyć korzystając ze wzoru:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$

Obliczmy zatem deltę, którą za chwilę podstawimy do tego wzoru:
Współczynniki: \(a=-1,\;b=6,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot(-1)\cdot4=36-(-16)=52$$

Teraz możemy już przejść do obliczenia współrzędnej \(q\). Podstawiając \(Δ=52\) oraz \(a=-1\), otrzymamy:
$$q=\frac{-Δ}{4a} \           ,\
q=\frac{-52}{4\cdot(-1)} \           ,\
q=\frac{-52}{-4} \           ,\
q=13$$

Dzieląc liczbę naturalną przez \(4\) możemy otrzymać resztę równą \(0\), \(1\), \(2\) lub \(3\). Przykładowo:
$$20:4=5\;r.0 \           ,\
21:4=5\;r.1 \           ,\
22:4=5\;r.2 \           ,\
23:4=5\;r.3$$

To oznacza, że zbiorem wartości funkcji \(f\) jest \(\{0,1,2,3\}\).

Krok 1. Ustalenie znaku współczynnika \(a\).
Zaczynamy od tego, co jest najprostsze, czyli od ustalenia znaku współczynnika \(a\). Ramiona paraboli są skierowane do dołu, co sugeruje nam, że współczynnik \(a\) musi być ujemny, więc \(a\lt0\).

Krok 2. Ustalenie znaku współczynnika \(b\).
Co do zasady, to ze współczynnikiem \(b\) w funkcji kwadratowej nie są związane jakieś szczególne własności (nie mylmy tego ze współczynnikiem \(b\) w funkcji liniowej, który mówi nam o miejscu przecięcia się wykresu z osią \(OY\)).

Mimo tego znak tego współczynnika możemy poznać, dzięki informacji o wierzchołku paraboli. Widzimy, że współrzędna \(p\) wierzchołka paraboli jest na pewno dodatnia. Z pomocą przyjdzie nam wzór \(p=\frac{-b}{2a}\). Wiemy już, że \(a\) jest ujemne, więc wartość mianownika także jest ujemna. Co się zatem musi stać, aby \(p\) było dodatnie? Musimy mieć także ujemny licznik. W liczniku mamy wartość \(-b\), zatem samo \(b\) będzie dodatnie.

To prowadzi nas do wniosku, że \(a\lt0\) oraz \(b\gt0\).

Dwie proste są względem siebie prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=m-2\), natomiast druga ma \(a=\frac{3}{4}\). W związku z tym musimy rozwiązać następujące równanie:

$$(m-2)\cdot\frac{3}{4}=-1 \           ,\
\frac{3}{4}m-\frac{3}{2}=-1 \           ,\
\frac{3}{4}m=\frac{1}{2} \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3} \           ,\
m=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że \(a_{2}=a_{4}-2r\) oraz że \(a_{6}=a_{4}+2r\). Skoro tak, to sumę \(a_{2}+a_{6}\) możemy rozpisać jako:
$$a_{2}+a_{6}=a_{4}-2r+a_{4}+2r=2a_{4}$$

Z treści zadania wiemy, że \(a_{4}=2020\), zatem:
$$2a_{4}=2\cdot2020=4040$$

I sposób - obliczając wartość iloczynu ciągu geometrycznego.
Krok 1. Obliczenie wartości iloczynu \(q\).
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że \(a_{5}=a_{2}\cdot q^3\). Znamy wartości \(a_{2}\) oraz \(a_{5}\), więc możemy bez problemu obliczyć wartość \(q\):
$$a_{5}=a_{2}\cdot q^3 \           ,\
-48=6\cdot q^3 \           ,\
q^3=-8 \           ,\
q=-2$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(a_{6}\), \(a_{7}\) oraz \(a_{8}\).
Patrząc się na odpowiedzi, potrzebujemy poznać wartości \(a_{6}\), \(a_{7}\) oraz \(a_{8}\), zatem:
$$a_{6}=a_{2}\cdot q^4 \           ,\
a_{6}=6\cdot(-2)^4 \           ,\
a_{6}=6\cdot16 \           ,\
a_{6}=96$$

$$a_{7}=a_{2}\cdot q^5 \           ,\
a_{7}=6\cdot(-2)^5 \           ,\
a_{7}=6\cdot(-32) \           ,\
a_{7}=-192$$

$$a_{8}=a_{2}\cdot q^6 \           ,\
a_{8}=6\cdot2^6 \           ,\
a_{8}=6\cdot64 \           ,\
a_{8}=384$$

Krok 3. Weryfikacja poprawności odpowiedzi.
Spoglądając na proponowane odpowiedzi widzimy, że prawdziwą nierównością jest jedynie \(a_{7}\lt0\), ponieważ \(a_{7}=-192\).

II sposób - metodą dedukcji.
Powinniśmy dostrzec, wartość \(a_{2}\) jest dodatnia, a wartość \(a_{5}\) jest ujemna, co prowadzi nas do wniosku, że ten ciąg musi być niemonotoniczny. To oznacza, że wyrazy w tym ciągu muszą być naprzemiennie dodatnie i ujemne:
\(a_{2}\) jest dodatnie
\(a_{3}\) jest ujemne
\(a_{4}\) jest dodatnie
\(a_{5}\) jest ujemne
\(a_{6}\) jest dodatnie
\(a_{7}\) jest ujemne
\(a_{8}\) jest dodatnie

Teraz analizując podane odpowiedzi możemy stwierdzić, że prawdą na temat tego ciągu jest to, że \(a_{7}\lt0\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wygląda mniej więcej w ten sposób:


Kluczem do sukcesu jest pamiętanie o tym, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest jednocześnie średnicą okręgu, który jest opisany na tym trójkącie. To oznacza, że środek okręgu będzie jednocześnie środkiem odcinka \(AB\).

Krok 2. Obliczenie współrzędnych środka okręgu.
Środek okręgu będzie środkiem odcinka \(AB\), zatem korzystając ze wzoru na środek odcinka możemy zapisać, że:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right) \           ,\
S=\left(\frac{80+(-6)}{2};\frac{-1+(-19)}{2}\right) \           ,\
S=\left(\frac{74}{2};\frac{-20}{2}\right) \           ,\
S=(37;-10)$$