Krok 1. Zamiana logarytmu na postać potęgi.
Musimy odpowiedzieć do jakiej potęgi trzeba podnieść \(\sqrt{2}\) aby otrzymać \(2\), czyli zamieniając postać logarytmu na postać potęgi musimy rozwiązać następujące równanie:
$$(\sqrt{2})^x=2$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Teraz musimy doprowadzić do sytuacji w której po lewej i prawej stronie równania będziemy mieć te same podstawy potęg. Skoro \(2\) jest równe \((\sqrt{2})^2\) to mamy:
$$(\sqrt{2})^x=(\sqrt{2})^2$$

Podstawy potęg są jednakowe, możemy więc porównać do siebie wykładniki, zatem otrzymamy, że:
$$x=2$$

Krok 1. Rozpisanie podanego działania.
Nie sprowadzimy tych liczb do jednakowej podstawy potęgi, ale za to możemy sprowadzić te liczby do jednakowego wykładnika potęgi. Możemy to rozpisać w następujący sposób:
$$2^{14}\cdot5^{14}\cdot5=5\cdot10^{14}$$

Krok 2. Analiza otrzymanego wyniku.
Zapis \(5\cdot10^{14}\) to nic innego jak zapis w postaci notacji wykładniczej. Ta liczba będzie więc miała piątkę na początku oraz \(14\) zer. W związku z tym będzie miała ona dokładnie \(15\) cyfr.

Jeżeli prowizja wynosiła \(4\%\) i została obniżona o \(1\) punkt procentowy, to nowa prowizja wynosi teraz \(3\%\). W związku z tym nowa prowizja jest o \(\frac{1}{4}\) mniejsza od poprzedniej, czyli zmniejszyła się ona o \(25\%\).

Krok 1. Uproszczenie całego zapisu.
Aby dodawać do siebie ułamki zwykłe to musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. Rozpiszmy więc najpierw to co jesteśmy w stanie obliczyć i uprośćmy tym samym całe działanie:
$$\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{a}=1 \           ,\
\frac{5}{20}+\frac{4}{20}+\frac{1}{a}=\frac{20}{20} \           ,\
\frac{9}{20}+\frac{1}{a}=\frac{20}{20} \           ,\
\frac{1}{a}=\frac{11}{20}$$

Krok 2. Rozwiązanie równania wymiernego.
Powstało nam typowe równanie wymierne (czyli równanie z niewiadomą w mianowniku), więc możemy je rozwiązać np. wykonując mnożenie na krzyż. Otrzymamy wtedy:
$$1\cdot20=11a \           ,\
11a=20 \           ,\
a=\frac{20}{11}$$

Podstawiając parę liczb \(x=2\) oraz \(y=2\) do układu równań otrzymamy:
$$\begin{cases}
a\cdot2+2=4 \           ,\
-2\cdot2+3\cdot2=2a
\end{cases}
\           ,\
\begin{cases}
2a+2=4 \           ,\
-4+6=2a
\end{cases}$$

Z pierwszego równania mamy że \(2a=2\), czyli że \(a=1\).
Z drugiego wychodzi nam identycznie, że \(2=2a\), czyli także \(a=1\).

To oznacza, że ta para liczb jest rozwiązaniem układu dla \(a=1\).

Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego iż na matematyce nie mamy dzielenia przez \(0\), to wartość w mianowniku musi być różna od zera. To oznacza, że:
$$x-3\neq0 \           ,\
x\neq3$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mnożąc obydwie strony równania przez \(x-3\) otrzymamy:
$$(x-1)(x+2)=0$$

Otrzymaliśmy klasyczne równanie kwadratowe w postaci iloczynowej. Aby rozwiązać to równanie musimy przyrównać wartości w nawiasach do zera, zatem:
$$x-1=0 \lor x+2=0 \           ,\
x=1 \lor x=-2$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanych wyników.
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania, żadne z nich nie wyklucza się z założeniami, zatem to równanie ma dwa różne rozwiązania: \(x=1\) oraz \(x=-2\).

Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji musimy sprawdzić kiedy wartość tej funkcji jest równa \(0\), czyli cały wzór musimy przyrównać do \(0\), otrzymując w ten sposób równanie:

$$3(x+1)-6\sqrt{3}=0 \           ,\
3x+3-6\sqrt{3}=0 \quad\bigg/:3 \           ,\
x+1-2\sqrt{3}=0 \           ,\
x=2\sqrt{3}-1$$

Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi igreków. Najmniejszą wartością jest \(-4\) (wierzchołek paraboli), a największą wartością jest \(+\infty\). Zatem zbiorem wartości tej funkcji będzie przedział: \(\langle-4,+\infty)\).

Z rysunku wynika, że we wskazanym przedziale największą wartość funkcja osiąga dla argumentu \(x=4\) i jest to wartość równa \(0\) (jest to punkt na osi iksów).

Osią symetrii będzie prosta, która będzie przechodzić przez wierzchołek paraboli (między ramionami paraboli) i będzie to prosta o równaniu \(x=2\).

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$

Szukamy sumy ośmiu początkowych wyrazów, zatem podstawimy \(n=8\) i do tego podstawimy to co znamy z treści zadania, czyli \(a_{1}=7\) oraz \(a_{8}=-49\). W związku z tym:
$$S_{8}=\frac{a_{1}+a_{8}}{2}\cdot8 \           ,\
S_{8}=\frac{7+(-49)}{2}\cdot8 \           ,\
S_{8}=\frac{-42}{2}\cdot8 \           ,\
S_{8}=-21\cdot8 \           ,\
S_{8}=-168$$

Do zadania możemy podejść na wiele różnych sposobów (dojdziemy nawet do poprawnej odpowiedzi, kiedy założymy sobie że trzeci wyraz jest równy \(9\), a piąty jest równy \(1\), choć w rzeczywistości tak wcale być nie musi).

Najlepszym sposobem będzie rozpisanie sobie lewej strony równania w ten sposób:
$$\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{a_{3}\cdot q^2}{a_{3}}=q^2$$

Z treści zadania wynika, że to co nam wyszło musi być równe \(\frac{1}{9}\), zatem:
$$q^2=\frac{1}{9} \           ,\
q=\frac{1}{3} \quad\lor\quad q=-\frac{1}{3}$$

Ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo gdyby \(q\) było ujemne to nasz ciąg nie miałby wszystkich wyrazów dodatnich. W związku z tym \(q=\frac{1}{3}\).

Korzystając z jedynki trygonometrycznej mamy:
$$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\
(\frac{4}{5})^2+cos^2α=1 \           ,\
\frac{16}{25}+cos^2α=1 \           ,\
cos^2α=\frac{9}{25} \           ,\
cosα=\frac{3}{5} \quad\lor\quad cosα=-\frac{3}{5}$$

W treści zadania mamy informację, że \(α\) jest kątem ostrym, zatem ujemny wynik odrzucamy i zostaje nam \(cosα=\frac{3}{5}\)

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(DCB\).
Odcinek \(CD\) jest średnicą okręgu, a przy okazji będzie też pokrywał się z wysokością trójkąta \(ABC\). W trójkącie równobocznym wysokość trójkąta jest jednocześnie dwusieczną kąta, a to oznacza, że kąt \(DCB\) ma miarę:
$$|\sphericalangle DCB|=60°:2 \           ,\
|\sphericalangle DCB|=30°$$



Krok 2. Obliczenie miary kąta \(α\).
Kąt \(DCB\) (którego miarę policzyliśmy przed chwilą) oraz \(DEB\) (czyli nasz kąt \(α\)) to kąty oparte na tym samym łuku. Skoro tak, to zgodnie z własnościami kątów wpisanych będą one miały jednakowe miary. To oznacza, że:
$$α=30°$$

Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Spójrzmy na trójkąty \(OAK\) oraz \(BPK\). Są to trójkąty podobne i jesteśmy w stanie stwierdzić to na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. W jaki sposób?
Styczna tworzy z promieniem kąt prosty, zatem jeden i drugi trójkąt są prostokątne. Dodatkowo kąty \(AKO\) oraz \(BKP\) są kątami wierzchołkowymi, a zgodnie z własnościami takich kątów będą one miały jednakową miarę. Skoro więc dwa kąty w tych trójkątach mają jednakowe miary, to i trzeci kąt ma tą samą miarę. To oznacza, że na pewno będą to trójkąty podobne.



Krok 2. Zapisanie równania.
Skoro są to trójkąty podobne, to muszą mieć one jednakowe stosunki długości boków. Skoro interesuje nas poznanie odcinka \(OK\) (czyli tak naprawdę przeciwprostokątnej trójkąta \(OAK\)) i znamy długości boków \(OA\) oraz \(BP\), to możemy ułożyć następującą proporcję:
$$\frac{|OA|}{|OK|}=\frac{|BP|}{|KP|} \           ,\
\frac{5}{|OK|}=\frac{3}{|KP|}$$

Krok 3. Wyznaczenie długości odcinka \(OK\).
Mnożąc na krzyż równanie otrzymane w drugim kroku otrzymamy informację, że:
$$5\cdot|KP|=3\cdot|OK| \           ,\
|KP|=\frac{3}{5}\cdot|OK|$$

Z rysunku oraz z treści zadania wynika, że:
$$|OK|+|KP|=16$$

Podstawiając informację o tym, że \(|KP|=\frac{3}{5}\cdot|OK|\) otrzymamy:
$$|OK|+\frac{3}{5}\cdot|OK|=16 \           ,\
1,6\cdot|OK|=16 \           ,\
|OK|=10$$