Podstawiając wartości \(a\) oraz \(b\) do naszego wyrażenia otrzymamy:
$$\frac{a+b}{a\cdot b}=\frac{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{\frac{4}{6}+\frac{3}{6}}{\frac{2}{6}}=\frac{\frac{7}{6}}{\frac{2}{6}}= \           ,\
=\frac{7}{6}:\frac{2}{6}=\frac{7}{6}\cdot\frac{6}{2}=\frac{7}{2}$$

\(x\) - początkowa cena towaru
\(0,8x\) - cena towaru po pierwszej obniżce
\(0,8\cdot0,8x=0,64x\) - cena towaru po drugiej obniżce

To oznacza, że cena towaru spadła o \(x-0,64x=0,36x\), czyli o \(36\%\).

Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$\frac{5^{12}\cdot9^5}{15^{10}}=\frac{5^{12}\cdot(3^2)^5}{5^{10}\cdot3^{10}}=\frac{5^{12}\cdot3^{10}}{5^{10}\cdot3^{10}}=\frac{5^{12}}{5^{10}}=5^{12-10}=5^2=25$$

Na początku musimy podzielić na kalkulatorze \(2:7\) i zapisać wynik w postaci ułamka dziesiętnego okresowego:
$$0,285714285714...=0,(285714)$$

Teraz musimy ustalić jaka cyfra znajdzie się na trzydziestym miejscu. Skoro na szóstym miejscu znalazła się czwórka, to na dwunastym, osiemnastym, dwudziestym czwartym i tym samym na trzydziestym miejscu także będziemy mieć czwórkę.

Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie tej nierówności, stosując przybliżenie \(\sqrt{3}\approx1,73\).
$$\frac{x}{4}-\sqrt{3}\lt0 \           ,\
\frac{x}{4}\lt\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot4 \           ,\
x\lt4\sqrt{3} \           ,\
x\lt4\cdot1,73 \           ,\
x\lt4\cdot1,73 \           ,\
x\lt6,92$$

Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność jest oczywiście \(6\).

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy zapisać, że:
$$9-(y-3)^2=9-(y^2-6y+9)=9-y^2+6y-9=-y^2+6y$$

Krok 1. Przekształcenie i uproszczenie równania.
$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{25}{4}=0 \           ,\
x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{25}{4}=0 \quad\bigg/\cdot4 \           ,\
x^2-x-\frac{24}{4}=0 \           ,\
x^2-x-6=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które obliczymy korzystając oczywiście z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1-(-24)=1+24=25 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 3. Obliczenie iloczynu liczb spełniających równanie.
Musimy jeszcze obliczyć iloczyn tych rozwiązań, czyli:
$$x_{1}\cdot x_{2}=-2\cdot3=-6$$

Wykres funkcji \(f(x+2)\) jest przekształcony względem funkcji \(f(x)\) w taki sposób, że parabola będzie przesunięta o \(2\) miejsca w lewo. Nie jest dla nas istotne, czy jest to parabola z ramionami do góry (patrz rysunek: linia ciągła), czy z ramionami do dołu (patrz rysunek: linia przerywana). Jeśli wierzchołek \(f(x)\) był w punkcie \((2;2)\), to wierzchołek \(g(x)\) będzie w punkcie \((0;2)\) w obydwu przypadkach i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.

Krok 1. Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji.
Na początek sprawdźmy kiedy funkcja przyjmuje jakiekolwiek miejsca zerowe, czyli kiedy \(x+3m\) jest równe zero:
$$x+3m=0 \           ,\
x=-3m$$

Krok 2. Ustalenie kiedy miejsce zerowe jest większe od \(2\).
Teraz musimy sprawdzić kiedy argument funkcji dla którego przyjmowane jest to miejsce zerowe jest większy od \(2\), czyli:
$$-3m\gt2 \quad\bigg/\cdot-\frac{1}{3} \           ,\
m\lt-\frac{2}{3}$$

Pamiętaj, że dzieląc lub mnożąc nierówność przez liczby ujemne zmieniamy znak nierówności.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie na początku jak będzie wyglądała ta druga funkcja, która powstanie po przekształceniu względem osi igreków:



Krok 2. Zapisanie wzoru nowej funkcji.
Nowa funkcja jest po prostu przesunięciem starej funkcji o \(4\) jednostki w lewą stronę. To oznacza, że wzorem nowej funkcji będzie \(y=f(x+4)\).

Zwróć uwagę na znak w nawiasie, bo nie jest on intuicyjny. Gdyby funkcja była przesunięta w prawą stronę o \(4\) jednostki, to mielibyśmy wzór \(y=f(x-4)\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Oś symetrii każdej paraboli przechodzi przez wierzchołek. To oznacza, że musimy znaleźć najpierw współrzędne wierzchołka paraboli (wystarczy nam tak naprawdę współrzędna iksowa wierzchołka, oznaczana zazwyczaj jako \(p\)):



Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej iksowej wierzchołka paraboli (czyli współrzędnej \(p\)).
Współrzędną \(p\) wyznaczymy korzystając ze wzoru:
$$p=\frac{-b}{2a}$$

Współczynnik \(b\) oraz \(a\) odczytamy ze wzoru funkcji: \(b=-8\) oraz \(a=-2\), zatem:
$$p=\frac{-(-8)}{2\cdot(-2)} \           ,\
p=\frac{8}{-4} \           ,\
p=-2$$

Krok 3. Zapisanie równania prostej będącej osią symetrii.
Aby prosta była osią symetrii paraboli to musi przyjąć postać \(x=p\), czyli w naszym przypadku \(x=-2\).

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Do obliczenia sumy jedenastu początkowych wyrazów skorzystamy ze wzoru:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$

Widzimy wyraźnie, że brakuje nam tutaj znajomości wartości pierwszego wyrazu \(a_{1}\) oraz różnicy ciągu \(r\). Zacznijmy od wyznaczenia \(a_{1}\). Aby wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu musimy po prostu do wzoru ciągu podstawić \(n=1\). Otrzymamy wtedy:
$$a_{n}=2n-1 \           ,\
a_{1}=2\cdot1-1 \           ,\
a_{1}=2-1 \           ,\
a_{1}=1$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Różnicę ciągu możemy tak naprawdę odczytać wprost ze wzoru - jest to liczba znajdująca się przed \(n\), czyli w tym przypadku \(r=2\). Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to wystarczy obliczyć wartość drugiego wyrazu i odjąć od niej wartość wyrazu pierwszego (którą już znamy). Zatem:
$$a_{n}=2n-1 \           ,\
a_{2}=2\cdot2-1 \           ,\
a_{2}=4-1 \           ,\
a_{2}=3$$

W związku z tym:
$$r=a_{2}-a_{1} \           ,\
r=3-1 \           ,\
r=2$$

Krok 3. Obliczenie sumy jedenastu początkowych wyrazów ciągu.
Podstawiając do wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego znane nam wartości \(a_{1}=1\), \(r=2\) oraz \(n=11\) (bo mamy obliczyć sumę jedenastu wyrazów) otrzymamy, że:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \           ,\
S_{11}=\frac{2\cdot1+(11-1)\cdot2}{2}\cdot11 \           ,\
S_{11}=\frac{2+10\cdot2}{2}\cdot11 \           ,\
S_{11}=\frac{2+20}{2}\cdot11 \           ,\
S_{11}=\frac{22}{2}\cdot11 \           ,\
S_{11}=11\cdot11 \           ,\
S_{11}=121$$

Korzystając ze wzoru ogólnego na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{10}=a_{1}+(10-1)r \           ,\
a_{10}=a_{1}+9r \           ,\
\quad\           ,\
a_{100}=a_{1}+(100-1)r \           ,\
a_{100}=a_{1}+99r$$

To oznacza, że:
$$a_{100}-a_{10}=a_{1}+99r-(a_{1}+9r) \           ,\
a_{100}-a_{10}=a_{1}+99r-a_{1}-9r \           ,\
a_{100}-a_{10}=90r$$

Podstawiając teraz do naszego równania wartości setnego i dziesiątego wyrazu otrzymamy:
$$111-11=90r \           ,\
100=90r \           ,\
r=\frac{100}{90} \           ,\
r=\frac{10}{9}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Narysujmy sobie ten trójkąt by przede wszystkim dostrzec w którym miejscu znajdzie się większy z kątów ostrych:



Cosinus zaznaczonego kąta będzie więc stosunkiem długości przyprostokątnej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej.
$$cosα=\frac{2}{c}$$

Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$2^2+5^2=c^2 \           ,\
4+25=c^2 \           ,\
c^2=29 \           ,\
c=\sqrt{29}$$

Krok 3. Obliczenie wartości cosinusa.
Możemy teraz wrócić do obliczenia wartości cosinusa, a tak naprawdę wystarczy już tylko podstawić obliczoną przed chwilą długość przeciwprostokątnej:
$$cosα=\frac{2}{\sqrt{29}}$$

Korzystając z tego, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy zapisać, że:
$$3sinα-\sqrt{3}cosα=0 \           ,\
3sinα=\sqrt{3}cosα \quad\bigg/:cosα \           ,\
\frac{3sinα}{cosα}=\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{3} \           ,\
\frac{sinα}{cosα}=\frac{\sqrt{3}}{3} \           ,\
tgα=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W sześciokącie foremnym mamy trzy dłuższe przekątne równej miary, które przecinają się w połowie swojej długości. Wiemy, że każda taka dłuższa przekątna ma miarę \(2\sqrt{2}\), zatem cała sytuacja będzie więc wyglądać mniej więcej w ten sposób:



Krok 2. Obliczenie pola powierzchni pojedynczego trójkąta.
Powstało nam sześć trójkątów równobocznych, każdy o boku \(a=\sqrt{2}\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocz