📄 Treść zadania
Ciąg \((a_{n})\) jest określony dla \(n\ge1\) wzorem: \(a_{n}=2n-1\). Suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
A
\(101\)
B
\(121\)
C
\(99\)
D
\(81\)
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Do obliczenia sumy jedenastu początkowych wyrazów skorzystamy ze wzoru:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Widzimy wyraźnie, że brakuje nam tutaj znajomości wartości pierwszego wyrazu \(a_{1}\) oraz różnicy ciągu \(r\). Zacznijmy od wyznaczenia \(a_{1}\). Aby wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu musimy po prostu do wzoru ciągu podstawić \(n=1\). Otrzymamy wtedy:
$$a_{n}=2n-1 \ ,\
a_{1}=2\cdot1-1 \ ,\
a_{1}=2-1 \ ,\
a_{1}=1$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Różnicę ciągu możemy tak naprawdę odczytać wprost ze wzoru - jest to liczba znajdująca się przed \(n\), czyli w tym przypadku \(r=2\). Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to wystarczy obliczyć wartość drugiego wyrazu i odjąć od niej wartość wyrazu pierwszego (którą już znamy). Zatem:
$$a_{n}=2n-1 \ ,\
a_{2}=2\cdot2-1 \ ,\
a_{2}=4-1 \ ,\
a_{2}=3$$
W związku z tym:
$$r=a_{2}-a_{1} \ ,\
r=3-1 \ ,\
r=2$$
Krok 3. Obliczenie sumy jedenastu początkowych wyrazów ciągu.
Podstawiając do wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego znane nam wartości \(a_{1}=1\), \(r=2\) oraz \(n=11\) (bo mamy obliczyć sumę jedenastu wyrazów) otrzymamy, że:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \ ,\
S_{11}=\frac{2\cdot1+(11-1)\cdot2}{2}\cdot11 \ ,\
S_{11}=\frac{2+10\cdot2}{2}\cdot11 \ ,\
S_{11}=\frac{2+20}{2}\cdot11 \ ,\
S_{11}=\frac{22}{2}\cdot11 \ ,\
S_{11}=11\cdot11 \ ,\
S_{11}=121$$