Naszym zadaniem jest tak naprawdę wyłączenie czynników przed znak pierwiastka i zapisanie wyniku w formie potęgi o wykładniku wymiernym (czyli w formie ułamka). Zatem:
$$2\sqrt{18}-\sqrt{32}=2\sqrt{9\cdot2}-\sqrt{16\cdot2}=2\cdot3\sqrt{2}-4\sqrt{2}= \           ,\
=6\sqrt{2}-4\sqrt{2}=2\sqrt{2}=2^1\cdot2^{\frac{1}{2}}=2^{1+\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}}$$

$$\frac{\sqrt[5]{-32}\cdot2^{-1}}{4}\cdot2^2=\frac{-2\cdot\frac{1}{2}}{4}\cdot4=-1$$

Cena brutto to cena netto plus podatek VAT wyliczany z ceny netto. Tego zadania nie możemy więc rozwiązać mnożąc \(45\;018zł\) przez \(0,77\) (tak jak robimy to w przypadku obliczania podatku od np. lokat). Oto jak powinniśmy podejść do takiego zadania:

Krok 1. Zapisanie odpowiednich relacji między ceną netto i brutto.
\(x\) - cena netto
\(0,23x\) - podatek VAT
\(x+0,23x=1,23x\) - cena brutto

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Skoro cena brutto to \(45\;018zł\), to:
$$1,23x=45\;018zł \           ,\
x=36\;600zł$$

Cena netto samochodu jest więc równa \(36\;600zł\).

Z całego wyrażenia możemy wyłączyć przed nawias trójkę, a powstałą wartość znajdującą się w nawiasie zapiszemy w postaci wzoru skróconego mnożenia. Całość obliczeń wygląda następująco:
$$3a^2-12ab+12b^2=3\cdot(a^2-4ab+4b^2)=3\cdot(a-2b)^2$$

W tym zadaniu wystarczy tak naprawdę tylko podstawić do pierwszego równania \(x=2\) oraz \(y=1\) i obliczyć w ten sposób parametr \(a\):
$$x+ay=5 \           ,\
2+1a=5 \           ,\
a=3$$

Krok 1. Obliczenie delty.
Współczynniki: \(a=2,\;b=11,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=11^2-4\cdot2\cdot3=121-24=97$$

Delta wyszła nam dodatnia, więc równanie ma na pewno dwa rozwiązania. Musimy jeszcze tylko ustalić czy są to rozwiązania dodatnie, czy też ujemne.

Krok 2. Określenie, czy rozwiązania są dodatnie czy ujemne.
Najprościej będzie określić znak obliczając po prostu wartości \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\):
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{97}\approx9,8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11-9,8}{2\cdot2}=\frac{-20,8}{4}=-5,2 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11+9,8}{2\cdot2}=\frac{-1,2}{4}=-0,3$$

Krok 1. Obliczenie wartości \(sin120°\).
W tablicach trygonometrycznych mamy kąty tylko i wyłącznie do \(90°\). Aby wyznaczyć wartość kąta rozwartego musimy posłużyć się wzorami redukcyjnymi. Wynika z nich, że:
$$sin(90°+α)=cosα$$

Jeśli podstawimy \(α=30°\), to otrzymamy:
$$sin(90°+30°)=cos30° \           ,\
sin120°=cos30°$$

Krok 2. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
Nasze wyrażenie jest więc równe:
$$sin120°-cos30°=cos30°-cos30°=0=sin0°$$

Wyłączając wspólną część przed nawias otrzymamy:
$$3sin^3αcosα+3sinαcos^3α=3sinαcosα(sin^2α+cos^2α)$$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), tak więc całe wyrażenie udało nam się przekształcić do \(3sinαcosα\).

Krok 1. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) mówi nam o tym gdzie dana prosta przecina się z osią \(Oy\). Skoro nasza prosta przechodzi przez punkt \((0;-2)\) to już wiemy, że \(b=-2\).

Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\).
Po uzyskaniu informacji, że \(b=-2\) wiemy, że wzór naszej funkcji przyjmuje postać \(y=ax-2\). Podstawiając pod ten wzór współrzędne punktu \((6;2)\) wyznaczymy wartość współczynnika \(a\), zatem:
$$y=ax-2 \           ,\
2=6a-2 \           ,\
6a=4 \           ,\
a=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

Krok 1. Ustalenie wzoru prostej \(k\).
Na podstawie informacji z zadania możemy określić wzór naszej prostej \(k\). Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\), zatem nasza prosta \(k\) ma na pewno \(a=-3\). Skoro prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;6)\) to wiemy też, że współczynnik \(b=6\). To oznacza, że wzór naszej prostej to:
$$y=-3x+6$$

Krok 2. Wyznaczenie miejsca przecięcia się prostej \(k\) z osią \(Ox\).
Miejsce przecięcia się z osią \(Ox\) to nic innego jak miejsce zerowe funkcji. Aby więc poznać współrzędne takiego punktu przecięcia wystarczy przyrównać wzór prostej do zera, tak więc:
$$0=-3x+6 \           ,\
-6=-3x \           ,\
x=2$$

Prosta \(k\) przecina się więc z osią \(Ox\) w punkcie o współrzędnych \((2;0)\).

Krok 1. Wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania.
Równanie mamy przedstawione w postaci iloczynowej, tak więc:
$$x^2(x+5)(2x-3)(x^2-7)=0 \           ,\
x^2=0 \quad\lor\quad x+5=0 \quad\lor\quad 2x-3=0 \quad\lor\quad x^2-7=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x=-5 \quad\lor\quad x=\frac{3}{2} \quad\lor\quad x=\sqrt{7} \quad\lor\quad x=-\sqrt{7}$$

Krok 2. Określenie ilości rozwiązań niewymiernych.
Liczby niewymierne to takie, których nie da się przedstawić w formie ułamka zwykłego, w którym licznik i mianownik byłyby liczbami całkowitymi. W naszym przypadku takimi liczbami będą \(\sqrt{7}\) oraz \(-\sqrt{7}\), tak więc są dwa niewymierne rozwiązania tego równania.

Funkcja jest rosnąca tylko i wyłącznie w przedziale \(\langle5;6\rangle\).

Krok 1. Obliczenie wartości ilorazu \(q\).
Aby wyznaczyć wartość ilorazu \(q\) obliczmy sobie najpierw wartość pierwszego i drugiego wyrazu tego ciągu:
$$a_{n}=2n \           ,\
a_{1}=2^1=2 \           ,\
a_{2}=2^2=4$$

$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{4}{2}=2$$

Krok 2. Obliczenie sumy dziesięciu pierwszych wyrazów.
Znając wartość ilorazu \(q\) oraz wartość pierwszego wyrazu, możemy skorzystać z następującego wzoru:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \           ,\
S_{10}=2\cdot\frac{1-2^{10}}{1-2} \           ,\
S_{10}=2\cdot\frac{1-2^{10}}{-1} \           ,\
S_{10}=-2\cdot(1-2^{10})$$

Wartość dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego obliczymy za pomocą wzoru:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

Czyli:
$$a_{1}=a_{1}+0r \           ,\
a_{3}=a_{1}+2r \           ,\
a_{4}=a_{1}+3r \           ,\
a_{6}=a_{1}+5r$$

Porównajmy sobie teraz sumy pierwszego i szóstego wyrazu z sumą wyrazu trzeciego i czwartego:
$$a_{1}+a_{6}=a_{1}+a_{1}+5r=2a_{1}+5r \           ,\
a_{3}+a_{4}=a_{1}+2r+a_{1}+3r=2a_{1}+5r$$

Otrzymaliśmy identyczne wartości, co pozwala nam zapisać równość:
$$a_{1}+a_{6}=a_{3}+a_{4}$$

W związku z tym skoro wiemy, że suma pierwszego i szóstego wyrazu jest równa \(13\), to w takim razie suma trzeciego i czwartego wyrazu będzie także równa \(13\).

Oznaczmy sobie poszczególne miary kątów jako \(3α, 4α, 5α\). Skoro są to kąty wewnątrz trójkąta, to prawdziwa będzie równość:
$$3α+4α+5α=180° \           ,\
12α=180° \           ,\
α=15°$$

Najmniejszy kąt miał miarę \(3α\), a więc \(3\cdot15=45°\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Skoro \(|BD|=|CD|\), to znaczy że trójkąt \(DBC\) jest trójkątem równoramiennym o podstawie \(BC\). Kąty przy podstawie mają jednakową miarę, zatem oznaczmy sobie \(\sphericalangle DBC\) oraz \(\sphericalangle DCB\) jako \(α\).

Wiemy też, że \(|AC|=|BC|\), a więc trójkąt \(ABC\) jest również równoramienny i tym samym także ma równe kąty przy podstawie. Jeden z kątów przy podstawie oznaczyliśmy już sobie przed chwilą jako \(α\), więc kąt \(\sphericalangle CAB\) także ma miarę równą \(α\).



Krok 2. Obliczenie miary kąta \(BCD\).
Aby wyznaczyć miarę kąta \(α\) wystarczy dodać do siebie wszystkie kąty trójkąta \(ABC\), wiedząc że ich suma musi być równa \(180°\). To pozwala nam ułożyć i rozwiązać następujące równanie:
$$α+α+21°+α=180° \           ,\
3α+21°=180° \           ,\
3α=159° \           ,\
α=53°$$