$$3(2-3x)=x-4 \           ,\
6-9x=x-4 \           ,\
-10x=-10 \           ,\
x=1$$

\(15\%\) możemy zapisać w formie ułamka dziesiętnego jako \(0,15\). W związku z tym \(15\%\) z \(x\) jest równe \(0,15\cdot x\). Wiemy, że suma \(x\) oraz \(0,15\cdot x\) jest równa \(230\), zatem poszukiwanym równaniem jest:
$$x+0,15\cdot x=230$$

To równanie możemy rozwiązać zarówno metodą podstawiania jak i przeciwnych współczynników. Prościej będzie tutaj chyba użyć tego drugiego sposobu, mnożąc najpierw obie strony drugiego równania przez \(3\).
\begin{cases}
x+3y=5 \           ,\
2x-y=3 \quad\bigg/\cdot3
\end{cases}\begin{cases}
x+3y=5 \           ,\
6x-3y=9
\end{cases}

Dodajemy to równanie stronami i otrzymujemy:
$$7x=14 \           ,\
x=2$$

Podstawiając wartość \(x=2\) do jednego z równań wyznaczymy wartość \(y\):
$$2+3y=5 \           ,\
3y=3 \           ,\
y=1$$

Rozwiązaniem jest więc para liczb: \(x=2\) oraz \(y=1\).

Aby funkcja była rosnąca, to jej współczynnik kierunkowy \(a\) musi być większy od zera. W naszym przypadku \(a=m-2\), zatem funkcja będzie rosnąca dla:
$$m-2\gt0 \           ,\
m\gt2$$

Teoretycznie możemy do wzoru każdej z funkcji podstawić najpierw współrzędne \(A\), później współrzędne punktu \(B\) i sprawdzić w którym przypadku obydwa równania będą poprawne. Możemy jednak samodzielnie wyznaczyć wzór tej funkcji, tworząc pewien układ równań.

Krok 1. Zapisanie układu równań.
Funkcje liniowe są opisane wzorem ogólnym \(y=ax+b\). Stwórzmy więc dwa równania - w pierwszym podstawimy do tego wzoru współrzędne punktu \(A\), w drugim współrzędne punktu \(B\). Otrzymamy w ten sposób:
\begin{cases}
2=1a+b \           ,\
5=-2a+b
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie układu równań i wyznaczenie współczynników \(a\) oraz \(b\).
Odejmując to równanie stronami skrócą nam się współczynniki \(b\), dzięki czemu otrzymamy:
$$2-5=a-(-2a) \           ,\
-3=3a \           ,\
a=-1$$

Podstawiając wartość \(a=-1\) do jednego z równań wyznaczymy wartość współczynnika \(b\):
$$2=-1+b \           ,\
b=3$$

To oznacza, że poszukiwana funkcja ma wzór: \(f(x)=-1x+3\), czyli \(f(x)=-x+3\).

Krok 1. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\).
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma współczynnik \(a=1\) (bo przed \(x\) nie ma żadnej wartości, więc domyślnie jest \(1\)), to druga prosta musi mieć:
$$a\cdot1=-1 \           ,\
a=-1$$

W tym momencie już wiemy, że szukamy prostej o wzorze \(y=-x+b\), co od razu oznacza, że odpowiedzi \(A\) i \(C\) są na pewno błędne.

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu prosta przetnie się z osią \(Oy\). Nasz punkt \(A=(0;5)\) leży właśnie na osi \(Oy\) i to właśnie na jego podstawie jesteśmy w stanie określić, że \(b=5\).

To oznacza, że poszukiwaną prostą jest ta o wzorze \(y=-x+5\).

Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że:
$$a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b)$$

Wiemy, że \(a^2-b^2=200\). Wiemy też, że \(a+b=8\). Podstawiając teraz do powyższego wzoru te dane wyznaczymy wartość wyrażenia \(a-b\), zatem:
$$200=(a-b)\cdot8 \           ,\
a-b=200:8 \           ,\
a-b=25$$

$$|5-2|+|1-6|=|3|+|-5|=3+5=8$$

Logarytmy mają różne podstawy, więc nie pozostaje nam nic innego jak policzyć osobno każdy z nich, a następnie zsumować otrzymane wyniki.
$$\log_{2}4=2\text{, bo }2^2=4 \           ,\
\log_{3}1=0\text{, bo }3^0=1$$

Zatem:
$$\log_{2}4+2\log_{3}1=2+2\cdot0=2$$

To zadanie najprościej jest rozwiązać metodą graficzną. Narysujmy sobie wykres funkcji \(g(x)=x^2\) (funkcja niebieska), a następnie przekształcamy ją przesuwając parabolę o cztery jednostki do dołu, tak aby nowa parabola reprezentowała funkcję \(f(x)=x^2-4\) (funkcja zielona).



Teraz z wykresu bardzo łatwo możemy odczytać, że zbiorem wartości tej funkcji kwadratowej jest \(\langle-4;+\infty)\).

Aby poznać stopień wielomianu (czyli tak naprawdę najwyższą wartość potęgi przy niewiadomej \(x\)) musimy zgodnie z treścią zadania odjąć od siebie te dwa wielomiany. Aby uniknąć błędu dobrze jest sobie to rozpisać przy użyciu nawiasów, wtedy nie pomylimy się ze znakami, zatem:
$$W(x)-V(x)=x^3+3x^2+x-11-(x^3+3x^2+1)= \           ,\
=x^3+3x^2+x-11-x^3-3x^2-1=x-12$$

Otrzymaliśmy wynik równy \(x-12\), zatem jest to wielomian pierwszego stopnia. Jeśli nie jesteś co do tego przekonany, to zawsze można to zapisać jako \(x^1-12\).

Krok 1. Obliczenie wartości iloczynu ciągu geometrycznego.
Znając wartość dwóch kolejnych wyrazów ciągu możemy obliczyć jego iloraz:
$$q=\frac{a_{4}}{a_{3}} \           ,\
q=\frac{15}{5} \           ,\
q=3$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości piątego wyrazu.
Skoro znamy czwarty wyraz tego ciągu oraz iloczyn \(q\) to piąty wyraz możemy obliczyć już niemalże w pamięci, bo wystarczyłoby te dwie liczby przez siebie pomnożyć, czyli wykonać działanie \(15\cdot3=45\).

Gdybyśmy chcieli zapisać to matematycznie (co może się przydać Ci przy innych zadaniach) to można byłoby tu zastosować następujący wzór:
$$a_{n}=a_{k}\cdot q^{n-k}$$

Za pomocą tego wzoru obliczymy wartość \(n\)-tego wyrazu ciągu, jeśli znamy wartość dowolnego innego wyrazu tego ciągu (\(k\)) oraz jeśli znamy iloczyn tego ciągu. Zatem:
$$a_{5}=a_{4}\cdot q^{5-4} \           ,\
a_{5}=15\cdot 3^1 \           ,\
a_{5}=45$$

Aby suma cyfr liczby czterocyfrowej była równa dwa, to ta liczba:
a) musi się składać z cyfr \(0,0,1,1\)
albo
b) musi się składać z cyfr \(0,0,0,2\)

W pierwszym wariancie możemy ułożyć trzy różne liczby: \(1100\), \(1010\), \(1001\). To wszystkie możliwości, bo nie istnieje taka liczba jak np. \(0110\).
W drugim wariancie możemy ułożyć tylko jedną taką liczbę: \(2000\).

To oznacza, że są tylko cztery takie liczby czterocyfrowe.

Skorzystamy z wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

Podstawiając do tego wzoru współrzędne poszczególnych punktów otrzymamy:
$$|AB|=\sqrt{(2-1)^2+(3-(-4))^2} \           ,\
|AB|=\sqrt{1^2+7^2} \           ,\
|AB|=\sqrt{1+49} \           ,\
|AB|=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}$$

Musimy tak naprawdę odpowiedzieć na pytanie - dla jakiego kąta sinus przyjmie tą samą wartość, którą przyjmuje cosinus \(47°\). Aby poznać odpowiedź skorzystamy z jednego ze wzorów redukcyjnych:
$$sinα=cos(90°-α)$$

Wiemy, że \(cos(90°-α)=cos47°\), zatem \(α=43°\).

Sposób I - obliczenie wartości kilku początkowych wyrazów:
W przypadku tego zadania najprościej jest wyznaczyć sobie wartości kilku pierwszych wyrazów i sprawdzić ile z nich będzie ujemnych. Po odpowiedziach widzimy, że dużo liczenia nas nie czeka, bo będą to maksymalnie trzy wyrazy. Zatem:
$$a_{1}=2\cdot1^2-9=2\cdot1-9=2-9=-7 \           ,\
a_{2}=2\cdot2^2-9=2\cdot4-9=8-9=-1 \           ,\
a_{3}=2\cdot3^2-9=2\cdot9-9=18-9=9$$

Widzimy, że tylko dwa pierwsze wyrazy są ujemne, zatem prawidłowa jest odpowiedź \(C\).

Sposób II - obliczenie za pomocą ułożonej nierówności:
Powyższy sposób nie sprawdziłby się nam w zadaniach z trudniejszymi liczbami albo w zadaniach otwartych. Spróbujmy więc dojść do rozwiązania w nieco bardziej matematyczny sposób. Szukamy wyrazów ujemnych, zatem:
$$2n^2-9\lt0 \           ,\
2n^2\lt9 \           ,\
n^2\lt4,5$$

Teraz musimy się zastanowić jakie liczby naturalne podniesione do kwadratu dadzą wynik mniejszy niż \(4,5\) (interesują nas tylko liczby naturalne, bo w ciągach \(n\in N\)). Na pewno takimi liczbami będą \(1\) oraz \(2\) i to są jedyne dwie możliwości. Zatem to oznacza, że w naszym ciągu znajdą się tylko dwa wyrazy ujemne.