Aby móc skorzystać ze standardowych działań na potęgach, musielibyśmy mieć jednakowe podstawy potęg lub wykładniki (a póki co tego nie mamy). Z tego też względu w tym zadaniu należy postąpić nieco sprytniej i rozbić niektóre czynniki w taki sposób, aby móc skrócić licznik z mianownikiem. Całość wyglądałaby następująco:
$$\frac{10^{13}\cdot7^{13}}{14^{13}\cdot5^{10}}=\frac{2^{13}\cdot5^{13}\cdot7^{13}}{2^{13}\cdot7^{13}\cdot5^{10}}=\frac{5^{13}}{5^{10}}=5^{3}$$

Krok 1. Zapisanie liczby odwrotnej.
Liczbą odwrotną otrzymamy zamieniając miejscami licznik z mianownikiem, czyli w tym przypadku byłoby to \(\frac{2}{1+\sqrt{3}}\). Takiej odpowiedzi niestety nie mamy, a to dlatego, że musimy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika.

Krok 2. Usunięcie niewymierności z mianownika
Aby usunąć niewymierność musimy pomnożyć licznik oraz mianownik przez dokładnie to samo wyrażenie co w mianowniku, tylko ze zmienionym znakiem. Pozwoli nam to na skorzystanie ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). W związku z tym:
$$\frac{2}{1+\sqrt{3}}=\frac{2\cdot(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})\cdot(1-\sqrt{3})}=\frac{2-2\sqrt{3}}{1^2-\sqrt{3}^2}= \           ,\
=\frac{2-2\sqrt{3}}{1-3}=\frac{2-2\sqrt{3}}{-2}=-1+\sqrt{3}=\sqrt{3}-1$$

Ze wzorów skróconego mnożenia wynika, że:
$$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$$

Powinniśmy dostrzec, że aby wartość tego wyrażenia była jak najmniejsza, to wartość \(x\) musi być jak najmniejsza, natomiast wartość \(y\) jak największa (bo wtedy dużo odejmiemy). Skoro tak, to najmniejszą wartość osiągniemy dla \(x=2\) oraz \(y=4\), a będzie ona równa:
$$2^2-4^2=4-16=-12$$

Po obniżce o \(20\%\) laptop kosztował:
$$0,8\cdot1500zł=1200zł$$

Potem nastąpiła podwyżka o \(20\%\), więc teraz laptop kosztuje:
$$1,2\cdot1200zł=1440zł$$

Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$3log_{4}2+log_{4}32=log_{4}2^3+log_{4}32=log_{4}8+log_{4}32=log_{4}(8\cdot32)=log_{4}256$$

Wiedząc, że \(256=16\cdot16=4^2\cdot4^2=4^4\) możemy zapisać, że:
$$log_{4}256=log_{4}4^4=4$$

Krok 1. Rozwiązanie nierówności.
Na wstępie powinniśmy zauważyć, że odpowiedzi A oraz C możemy od razu odrzucić, gdyż nie są to liczby całkowite. Aby poznać prawidłową odpowiedź, musimy rozwiązać podaną nierówność:
$$\sqrt{2}\ge\frac{x}{3} \           ,\
3\sqrt{2}\ge x \           ,\
x\le3\sqrt{2}$$

Krok 2. Wyznaczenie największej liczby całkowitej spełniającej nierówność.
Wartość \(3\sqrt{2}\) to w przybliżeniu \(3\cdot1,41\approx4,23\). Nasza niewiadoma \(x\) musi być mniejsza od tej wartości, a skoro tak, to najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność będzie \(4\).

Krok 1. Rozwiązanie równania.
Pierwiastki równania to po prostu rozwiązania równania. Aby rozwiązać podane równanie musimy postąpić tak jak przy postaci iloczynowej, czyli przyrównać wszystkie wartości w nawiasach oraz przed nawiasem do zera. W związku z tym:
$$x=0 \quad\lor\quad x^2+16=0 \quad\lor\quad x-11=0 \quad\lor\quad x+12=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x^2=-16 \quad\lor\quad x=11 \quad\lor\quad x=-12$$

Z drugiego równania nie otrzymamy rozwiązać, bo nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista \(x\), która podniesiona do kwadratu dałaby \(-16\). W związku z tym zostaje nam \(x=0\), \(x=11\) oraz \(x=-12\).

Krok 2. Obliczenie sumy pierwiastków równania.
Suma wszystkich pierwiastków równania będzie więc równa:
$$0+11+(-12)=11-12=-1$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Oś symetrii przebiega zawsze przez wierzchołek paraboli. W związku z tym kluczem do sukcesu będzie poznanie współrzędnej \(p\) tej paraboli.


Krok 2. Wyznaczenie równania osi symetrii.
Wzór funkcji zapisany jest w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\) i przyjmuje on wartość \(f(x)=-2(x+3)^2-4\), czyli tak naprawdę \(f(x)=-2(x-(-3))^2-4\). Teraz bez żadnych wątpliwości widzimy, że \(p\) jest równe \(-3\), a co za tym idzie - osią symetrii będzie prosta o równaniu \(x=-3\).

Funkcja liniowa jest rosnąca wtedy, gdy współczynnik \(a\) jest dodatni. W tym przypadku \(a=m-\sqrt{2}\), zatem:
$$m-\sqrt{2}\gt0 \           ,\
m\gt\sqrt{2}$$

Krok 1. Zapisanie równania prostej w postaci kierunkowej.
Prosta \(k\) zapisana jest w postaci ogólnej, a my potrzebujemy postaci kierunkowej \(y=ax+b\) (bo tylko wtedy będziemy mogli przyrównać współczynniki kierunkowe). Musimy więc przekształcić równanie \(3x+2y-5=0\) w taki sposób, aby po lewej stronie był sam \(y\), a po prawej cała reszta zapisu. Zatem:
$$3x+2y-5=0 \           ,\
2y=-3x+5 \           ,\
y=-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}$$

Krok 2. Ustalenie równania prostej równoległej.
Aby dwie proste były względem siebie równoległe, muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy. Nasza pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-\frac{3}{2}\), więc prosta równoległa będzie się wyrażać równaniem \(y=-\frac{3}{2}x+b\).

Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze obliczenia współczynnika \(b\). W tym celu do równania \(y=-\frac{3}{2}x+b\) musimy podstawić współrzędne punktu \(P\), czyli \(x=2\) oraz \(y=-5\):
$$y=-\frac{3}{2}x+b \           ,\
-5=-\frac{3}{2}\cdot2+b \           ,\
-5=-3+b \           ,\
b=-2$$

To oznacza, że prosta równoległa wyraża się równaniem \(y=-\frac{3}{2}x-2\).

Współrzędne wierzchołka paraboli W=(p;q) możemy obliczyć korzystając ze wzorów \(p=\frac{-b}{2a}\) oraz \(q=\frac{-Δ}{4a}\). Ze wzoru funkcji odczytujemy współczynniki: \(a=3,\;b=-30,\;c=82\) i przy okazji obliczmy jeszcze deltę:
$$Δ=b^2-4ac=(-30)^2-4\cdot3\cdot82=900-984=-84$$

Teraz możemy już obliczyć poszukiwane współrzędne, zaczynając od \(p\):
$$p=\frac{-(-30)}{2\cdot3} \           ,\
p=\frac{30}{6} \           ,\
p=5$$

Współrzędna \(q\) będzie równa:
$$q=\frac{-(-84)}{4\cdot3} \           ,\
q=\frac{84}{12} \           ,\
q=7$$

Wierzchołkiem paraboli będzie więc punkt \(W=(5;7)\).

W tym zadaniu powinniśmy dostrzec, że:
$$a_{3}=a_{5}-2r \           ,\
a_{7}=a_{5}+2r$$

Skoro tak, to:
$$a_{3}+a_{7}=a_{5}-2r+a_{5}+2r=2a_{5}$$

Wiemy, że suma \(a_{3}+a_{7}=28\), więc:
$$2a_{5}=28 \           ,\
a_{5}=14$$

Korzystając z zależności dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego możemy zapisać, że:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \           ,\
6^2=3\cdot(5x+2) \           ,\
36=15x+6 \           ,\
30=15x \           ,\
x=2$$

Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{5}\) oraz \(a_{11}\).
Chcąc obliczyć wartość piątego i jedenastego wyrazu, musimy podstawić do wzoru ciągu odpowiednio \(n=5\) oraz \(n=11\):
$$a_{5}=(-1)^{2\cdot5+1}\cdot\left(2^{5-1}-1\right) \           ,\
a_{5}=(-1)^{10+1}\cdot(2^4-1) \           ,\
a_{5}=(-1)^{11}\cdot(16-1) \           ,\
a_{5}=(-1)\cdot15 \           ,\
a_{5}=-15$$

$$a_{11}=(-1)^{2\cdot11+1}\cdot\left(2^{11-1}-1\right) \           ,\
a_{11}=(-1)^{22+1}\cdot(2^{10}-1) \           ,\
a_{11}=(-1)^{23}\cdot(1024-1) \           ,\
a_{11}=(-1)\cdot1023 \           ,\
a_{11}=-1023$$

Krok 2. Obliczenie sumy \(a_{5}+a_{11}\).
Suma tych wyrazów jest więc równa:
$$a_{5}+a_{11}=(-15)+(-1023) \           ,\
a_{5}+a_{11}=-1038$$

Zbiór wartości odczytujemy z osi \(OY\). Widzimy wyraźnie, że funkcja przyjmuje wartości od \(-6\), aż do \(3\). Ustalmy jeszcze tylko nawiasy. Tutaj największą pułapką jest niezamalowana kropka przy wartości \(-6\). Owszem, dla argumentu \(x=-2\) mamy niezamalowaną kropkę, ale ta funkcja jak najbardziej przyjmuje wartość chociażby dla \(x=-1\) czy też \(x=0\). Przy wartości równej \(3\) tego problemu już nie ma, tutaj nawias będzie otwarty. Z tego względu zbiorem wartości będzie przedział \(\langle-6, 3)\).

W tym zadaniu musimy skorzystać ze wzoru:
$$k=\frac{n-2}{n}\cdot180°$$

Podstawiając \(k=156°\), otrzymamy:
$$156°=\frac{n-2}{n}\cdot180° \           ,\
\frac{156°}{180°}=\frac{n-2}{n} \           ,\
\frac{156}{180}=\frac{n-2}{n}$$

Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$156n=180\cdot(n-2) \           ,\
156n=180n-360 \           ,\
-24n=-360 \           ,\
n=15$$