Wykonując działania na potęgach i pierwiastkach, a także korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy zapisać, że:
$$(2\sqrt{5}-3)^2=(2\sqrt{5})^2-12\sqrt{5}+9= \           ,\
=4\cdot5-12\sqrt{5}+9=20-12\sqrt{5}+9=29-12\sqrt{5}$$

Nasza funkcja składa się tak jakby z trzech wzorów, które obowiązują dla trzech różnych przedziałów. Musimy więc każdy z tych wzorów przyrównać do zera i sprawdzić, czy otrzymany wynik mieści się w przedziale - jeśli tak, to będzie to miejsce zerowe funkcji.

Krok 1. Sprawdzenie pierwszej części wzoru.
$$2x+4=0 \           ,\
2x=-4 \           ,\
x=-2$$

Ta wartosć mieści się w przedziale \((-\infty,-1\rangle\), zatem \(x=-2\) jest miejscem zerowym.

Krok 2. Sprawdzenie drugiej części wzoru.
$$x^2-1=0 \           ,\
x^2=1 \           ,\
x=-1 \quad\lor\quad x=1$$

Wartość \(x=-1\) nie mieści się w przedziale \((-1,3)\), za to drugie rozwiązanie \(x=1\) się w tym przedziale mieści, czyli tylko \(x=1\) jest miejscem zerowym.

Krok 3. Sprawdzenie trzeciej części wzoru.
$$x+5=0 \           ,\
x=-5$$

Wartość \(x=-5\) nie mieści się w przedziale \(\langle3,+\infty)\), zatem nie jest ona miejscem zerowym.

Krok 4. Obliczenie liczby miejsc zerowych.
Z naszym obliczeń wynika zatem, że tylko \(x=-2\) oraz \(x=1\) są miejscami zerowymi, zatem ta funkcja ma dwa miejsca zerowe.

Musimy znaleźć miejsce zerowe, czyli musimy sprawdzić kiedy \(\sqrt{2}x-2\) będzie równe \(0\), zatem:
$$\sqrt{2}x-2=0 \           ,\
\sqrt{2}x=2 \quad\bigg/:\sqrt{2} \           ,\
x=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować ten trójkąt, zaznaczając na nim wszystkie informacje z treści zadania:



Tworząc rysunek należy pamiętać, że mniejszy kąt ostry trójkąta prostokątnego leży przy dłuższej przyprostokątnej.

Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Korzystając z funkcji cosinus możemy teraz zapisać, że:
$$cos30°=\frac{6}{x} \           ,\
\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{x}$$

Mnożąc na krzyż otrzymujemy:
$$\sqrt{3}x=12 \quad:\sqrt{3} \           ,\
x=\frac{12}{\sqrt{3}} \           ,\
x=\frac{12\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \           ,\
x=\frac{12\sqrt{3}}{3} \           ,\
x=4\sqrt{3}$$

Krok 1. Przekształcenie równania.
Równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(a;b)\) oraz promieniu \(r\) przyjmuje postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Musimy zatem doprowadzić równanie z treści zadania właśnie do takiej postaci (czyli z odejmowaniem w nawiasach i potęgowaniem po prawej stronie), co pozwoli nam wyznaczyć najpierw zarówno współrzędne środka okręgu jak i jego promień. Zrobimy to w następujący sposób:
$$x^2+(y+2)^2=4 \           ,\
(x-0)^2+(y-(-2))^2=2^2$$

Krok 2. Odczytanie współrzędnych środka okręgu.
Przyrównując postać równania okręgu do naszego równania widzimy, że \(a=0\) oraz \(b=-2\), zatem \(S=(0;-2)\).

Krok 3. Odczytanie długości promienia.
Przyrównując postać równania okręgu do naszego równania widzimy, że \(r=2\).

Zgodnie z zasadami rozwiązywania nierówności z wartością bezwzględną możemy zapisać, że:
$$|x+4|\gt2 \           ,\
x+4\gt2 \quad\lor\quad x+4\lt-2 \           ,\
x\gt-2 \quad\lor\quad x\lt-6$$

To oznacza, że zbiorem rozwiązań powyższej nierówności jest zbiór \((-\infty,-6)\cup(-2,+\infty)\).

Krok 1. Zapisanie równania prostej \(l\) w postaci kierunkowej.
Aby móc przystąpić do obliczeń musimy na samym początku przekształcić prostą \(l\) do postaci kierunkowej, czyli postaci typu \(y=ax+b\). Musimy więc przenieść igreki na lewą stronę, a po prawej dać całą resztę, zatem:
$$-2x+5y+1=0 \           ,\
5y=2x-1 \quad\bigg/:5 \           ,\
y=\frac{2}{5}x-\frac{1}{5}$$

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(k\).
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Prosta \(l\) ma współczynnik kierunkowy \(a=\frac{2}{5}\), zatem prosta \(k\) musi mieć ten współczynnik równy:
$$a\cdot\frac{2}{5}=-1 \quad\bigg/\cdot\frac{5}{2} \           ,\
a=-\frac{5}{2}$$

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Skoro pierwszy wyraz jest równy \(a_{1}=-10\), a drugi wyraz jest równy \(a_{2}=-6\), to różnica ciągu arytmetycznego wynosi:
$$r=a_{2}-a_{1} \           ,\
r=-6-(-10) \           ,\
r=-6+10 \           ,\
r=4$$

Krok 2. Obliczenie wartości czterdziestego wyrazu ciągu.
Znamy wartość pierwszego wyrazu, znamy wartość różnicy, zatem możemy obliczyć dowolny wyraz tego ciągu korzystając ze wzoru:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \           ,\
a_{40}=a_{1}+(40-1)r \           ,\
a_{40}=a_{1}+39r \           ,\
a_{40}=-10+39\cdot4 \           ,\
a_{40}=-10+156 \           ,\
a_{40}=-146$$

Aby dowiedzieć się który ciąg jest arytmetyczny moglibyśmy w każdej z odpowiedzi sprawdzić np. kiedy \(a_{3}-a_{2}\) jest równe tyle samo co \(a_{2}-a_{1}\). Tam gdzie w obydwu tych działaniach będzie ten sam wynik, tam będziemy mieć styczność z ciągiem arytmetycznym. Ale nie jest to jedyna metoda. Nieco sprytniejszym sposobem jest wykorzystanie jednej z własności ciągów arytmetycznych, która mówi nam, że:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Jeżeli wskazane w poszczególnych odpowiedziach liczby spełnią tę nierówność, to znaczy że będą one tworzyć ciąg arytmetyczny. Sprawdźmy zatem każdą z odpowiedzi:

Odp. A.
\(4=\frac{2+8}{2} \           ,\
4=\frac{10}{2} \           ,\
4=5 \           ,\
L\neq P\)

Odp. B.
\(3=\frac{9+1}{2} \           ,\
3=\frac{10}{2} \           ,\
3=5 \           ,\
L\neq P\)

Odp. C.
\(\sqrt{2}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{1}}{2} \           ,\
\sqrt{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2} \           ,\
\sqrt{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \           ,\
L\neq P\)

Odp. D.
\(\sqrt{1}=\frac{\sqrt{4}+\sqrt{0}}{2} \           ,\
1=\frac{2+0}{2} \           ,\
1=\frac{2}{2} \           ,\
L=P\)

Tylko w czwartej odpowiedzi uzyskaliśmy prawdziwą równość, zatem ciągiem arytmetycznym jest czwarty zestaw liczb.

Korzystając z własności trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego możemy zapisać, że:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \           ,\
7^2=(x-3)\cdot14 \           ,\
49=14x-42 \           ,\
91=14x \           ,\
x=\frac{91}{14}=\frac{13}{2}$$

Korzystając z działań na pierwiastkach możemy zapisać, że:
$$3\sqrt{27}+9\sqrt{3}+\sqrt{243}=3\sqrt{9\cdot3}+9\sqrt{3}+\sqrt{81\cdot3}= \           ,\
=9\sqrt{3}+9\sqrt{3}+9\sqrt{3}=3\cdot9\sqrt{3}= \           ,\
=27\sqrt{3}=3^3\cdot3^{\frac{1}{2}}=3^{3+\frac{1}{2}}=3^{\frac{7}{2}}$$

Pod pierwiastkami parzystego stopnia mogą znaleźć się jedynie liczby większe lub równe \(0\). W związku z tym musimy sprawdzić i rozwiązać dwie nierówności:
$$15+3x\ge0 \           ,\
3x\ge-15 \           ,\
x\ge-5$$

$$3-x\ge0 \           ,\
x\le3$$

To oznacza, że dziedziną funkcji jest zbiór \(\langle-5,3\rangle\).

Gdyby funkcja była określona wzorem \(f(x)=|x|\) to zbiorem wartości byłby zbiór \(\langle0;+\infty)\), bo wartość bezwzględna jest zawsze większa lub równa \(0\). My od tej naszej wartości bezwzględnej musimy jeszcze odjąć \(12\), zatem zbiór wartości tej funkcji będzie równy \(\langle-12,+\infty)\).

$$16+x^4=0 \           ,\
x^4=-16$$

Z racji tego iż nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do potęgi parzystej daje wynik ujemny, to nasze równanie ma zero rozwiązań.

Liczbą odwrotną do \(7^{\frac{2}{3}}\) byłoby \(\frac{1}{7^{\frac{2}{3}}}\). Konkretnie takiej odpowiedzi w tym zadaniu nie mamy, ale pamiętając o tym, że podnoszenie liczby do potęgi ujemnej jest związane z potęgowaniem odwrotności tej liczby np. \(\left(\frac{1}{7}\right)^{-1}=7\), to możemy zapisać, że \(\frac{1}{7^{\frac{2}{3}}}=7^{-\frac{2}{3}}\).

Krok 1. Ustalenie czy liczba w nawiasie bewzględności jest dodatnia czy ujemna.
Jeżeli w nawiasie bezwzglęności liczba jest większa lub równa zero, to opuszczając nawias daną liczbę/wyrażenie po prostu przepisujemy np. \(|5|=5\). Jednak w przypadku gdy wartość w nawisie jest ujemna, to musimy zmienić znak tej liczby/wyrażenia podczas opuszczania nawiasu np. \(|-5|=-(-5)=5\). Dlatego na początku musimy ustalić, czy ta liczba pod nawiasami wartości bezwzględnej jest dodatnia, czy też ujemna.
$$\sqrt{3}\approx1,73$$

W związku z tym \(1,7=\sqrt{3}\lt0\).

Krok 2. Opuszczenie nawiasów wartości bezwzględnej.
Skoro nasza liczba pod nawiasami wartości bezwzględnej jest ujemna, to opuszczając nawiasy musimy zmienić znak:
$$a=|1,7-\sqrt{3}| \           ,\
a=-(1,7-\sqrt{3}) \           ,\
a=-1,7+\sqrt{3}$$