Aby obliczyć błąd względny musimy posłużyć się następującym wzorem:
$$δ=\frac{|x-x_{o}|}{x}$$

W naszym przykładzie:
$$x=\frac{5}{8}=0,625 \           ,\
x_{o}=0,6 \           ,\
\text{więc} \           ,\
δ=\frac{|0,625-0,6|}{0,625} \           ,\
δ=\frac{0,025}{0,625} \           ,\
δ=0,04=4\%$$

Spróbujmy narysować sobie szkic tej sytuacji, całość będzie wyglądać następująco:



Z rysunku widać, że kompletnie nie interesuje nas promień okręgu, dlatego zupełnie nie ma co się przejmować tak dużymi liczbami. My musimy skupić się tylko na środkach okręgów. Odległość między środkami okręgów jest równa \(6+6=12\) jednostek.

Równanie jest przedstawione w postaci iloczynowej, tak więc aby jego wartość była równa zero, to któraś z wartości w nawiasach musi zerować nam to równanie. Zatem:
$$(x^3-8)(x-5)(2x+1)=0 \           ,\
x^3-8=0 \quad\lor\quad x-5=0 \quad\lor\quad 2x+1=0 \           ,\
x^3=8 \quad\lor\quad x=5 \quad\lor\quad 2x=-1 \           ,\
x=2 \quad\lor\quad x=5 \quad\lor\quad x=-\frac{1}{2}$$

Komplet rozwiązań znalazł się więc w trzeciej odpowiedzi.

Przyjmijmy cenę początkową jako \(x\).
Po pierwszej podwyżce cena towaru wyniosła \(x\) plus \(30\%\) z ceny \(x\), czyli \(1,3x\).
Po drugiej podwyżce cena towaru wzrosła o \(10\%\), ale nie z ceny \(x\), tylko z \(1,3x\). Zatem mamy \(1,1\cdot1,3x=1,43x\).

Cena towaru wzrosła o \(1,43x-x=0,43=43\%\).

Krok 1. Obliczenie wartości kilku argumentów obydwu funkcji.
Spróbujmy obliczyć wartości kilku charakterystycznych argumentów, tak aby móc za chwilę wykonać szkic rysunku obydwu funkcji:
$$f(0)=-5\cdot0+1=0+1=1 \           ,\
f(1)=-5\cdot1+1=-5+1=-4 \           ,\
f(-1)=-5\cdot(-1)+1=5+1=6 \           ,\
\text{oraz} \           ,\
g(0)=5^0=1 \           ,\
g(1)=5^1=5 \           ,\
g(-1)=5^{-1}=\frac{1}{5}$$

Krok 2. Sporządzenie szkicu wykresów obydwu funkcji.
Nanieśmy wyznaczone przed chwilą punkty i sprawdźmy ile punktów wspólnych będą mieć wykresy tych funkcji.



Widzimy wyraźnie, że te dwie funkcje mają jeden punkt wspólny i jest to punkt o współrzędnych \((0;1)\).

Wbrew pozorom w tym zadaniu nie chodzi o użycie wzorów skróconego mnożenia, bo tradycyjne wzory związane są z dwoma wyrazami, a tutaj w nawiasie mamy aż trzy wyrazy. Najprościej będzie to po prostu wymnożyć na piechotę, porządkując na koniec cały zapis:
$$(3x+1+y)^2=(3x+1+y)\cdot(3x+1+y)= \           ,\
=9x^2+3x+3xy+3x+1+y+3xy+y+y^2= \           ,\
=9x^2+y^2+6xy+6x+2y+1$$

Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie poniższego równania:
$$\frac{1}{2}\cdot(4^{28}+4^{28}+4^{28}+4^{28})=...$$

Warto zauważyć, że mamy cztery razy dodawanie liczby \(4^{28}\), co możemy zapisać oczywiście jako \(4\cdot4^{28}\). Dostrzeżenie tego faktu jest tak naprawdę kluczem do rozwiązywania tego typu zadań. Na sam koniec musimy już tylko wykonać poprawnie działania na potęgach, tak aby w podstawie potęgi znalazła się liczba \(2\).
$$\frac{1}{2}\cdot4\cdot4^{28}=2\cdot4^{28}= \           ,\
=2\cdot(2^2)^{28}=2^1\cdot2^{56}=2^{57}$$

Krok 1. Określenie wartości współczynników kierunkowych obu prostych.
Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej jest równy \(a=-\frac{3}{4}\), natomiast drugiej prostej jest równy \(a=0\) (jest to funkcja stała).

Krok 2. Weryfikacja poszczególnych odpowiedzi.
\(Odp. A.\): Aby dwie przecinały się pod kątem \(90°\) (czyli aby proste były względem siebie prostopadłe) to iloczyn ich współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). W naszym przypadku tak nie jest, więc odrzucamy tą odpowiedź.

\(Odp. B.\) oraz \(Odp. D.\): Aby dwie proste były równoległe względem siebie (niezależnie od tego czy się pokrywają czy nie) to muszą mieć identyczny współczynnik kierunkowy. Tą odpowiedź także musimy odrzucić, bo u nas współczynniki są różne.

Jedyną odpowiedzią, która nam zostaje jest \(Odp. C\). i faktycznie te dwie proste przetną się pod kątem innym niż \(90°\), co możemy jeszcze zweryfikować na rysunku:

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Narysujmy sobie układ współrzędnych i oznaczmy na nim (przynajmniej mniej więcej) poszczególne punkty. Pamiętaj, że \(\sqrt{2}\approx1,41\) oraz \(\sqrt{6}\approx2,45\).



Krok 2. Obliczenie miary kąta.
Powstał nam trójkąt prostokątny w którym znamy tak naprawdę długości dwóch przyprostokątnych:
$$|BC|=\sqrt{2} \           ,\
|AC|=\sqrt{6}$$

Aby obliczyć miarę kąta \(BAC\) możemy skorzystać z funkcji tangensa:
$$tgα=\frac{|BC|}{|AC|} \           ,\
tgα=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} \           ,\
tgα=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}} \           ,\
tgα=\frac{\sqrt{12}}{6} \           ,\
tgα=\frac{\sqrt{4\cdot3}}{6} \           ,\
tgα=\frac{2\sqrt{3}}{6} \           ,\
tgα=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Z tablic trygonometrycznych odczytujemy, że tangens przyjmuje wartość \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) dla kąta o mierze \(30°\).

Musimy odpowiedzieć tak naprawdę na pytanie - jakie są ostatnie cyfry liczb, które są wynikami podniesienia liczby do kwadratu. Przykładowo:
Liczby zakończone na \(2\):
$$2^2=\color{blue}{4} \           ,\
72^2=518\color{blue}{4} \           ,\
82^2=672\color{blue}{4} \           ,\
92^2=846\color{blue}{4}$$

Liczby zakończone na \(3\):
$$3^2=\color{blue}{9} \           ,\
73^2=532\color{blue}{9} \           ,\
83^2=688\color{blue}{9} \           ,\
93^2=864\color{blue}{9}$$

Liczby zakończone na \(9\):
$$9^2=8\color{blue}{1} \           ,\
79^2=624\color{blue}{1} \           ,\
89^2=792\color{blue}{1} \           ,\
99^2=980\color{blue}{1}$$

Widzimy wyraźnie, że istnieje zbieżność, między ostatnią cyfrą liczby podniesioną do kwadratu, a kwadratem tej liczby. Gdybyśmy rozpatrzyli tak wszystkie możliwe przypadki (końcówki liczb od \(0\) do \(9\)) to zauważymy, że:
Ostatnia cyfra \(0\) - Kwadrat liczby kończy się na \(0\)
Ostatnia cyfra \(1\) - Kwadrat liczby kończy się na \(1\)
Ostatnia cyfra \(2\) - Kwadrat liczby kończy się na \(4\)
Ostatnia cyfra \(3\) - Kwadrat liczby kończy się na \(9\)
Ostatnia cyfra \(4\) - Kwadrat liczby kończy się na \(6\)
Ostatnia cyfra \(5\) - Kwadrat liczby kończy się na \(5\)
Ostatnia cyfra \(6\) - Kwadrat liczby kończy się na \(6\)
Ostatnia cyfra \(7\) - Kwadrat liczby kończy się na \(9\)
Ostatnia cyfra \(8\) - Kwadrat liczby kończy się na \(4\)
Ostatnia cyfra \(9\) - Kwadrat liczby kończy się na \(1\)

Z naszych rozważań wynika, że na końcach kwadratów znaleźć się może jedna z sześciu liczb: \(0, 1, 4, 5, 6, 9\). W związku z tym zbiór wartości funkcji \(f\) składa się z \(6\) elementów.

Wbrew pozorom nie można tego zadania rozwiązać tak jak rozwiązujemy standardowe proporcje. W zadaniu mamy przykład wielkości ODWROTNIE proporcjonalnej, więc metody typu "mnożenie na krzyż" nie zaprowadzą nas do skutecznego rozwiązania. Jak więc to powinniśmy rozwiązać?

I sposób:
Skoro \(25\) pracowników wykonuje tą pracę przez \(156\) dni, to jeden pracownik potrzebowałby na to:
$$25\cdot156dni=3900dni$$

Jeśli chcemy wykonać tę pracę w \(100\) dni to potrzebujemy:
$$3900:100=39\text{ [pracowników]}$$

Skoro mamy \(25\) pracowników, a potrzebujemy \(39\), to musimy zatrudnić dodatkowe \(14\) osób.

II sposób:
Wprowadźmy sobie niewiadomą \("praca"\), która będzie nam symbolizować jak dużo pracy trzeba wykonać. Im więcej osób pracuje, tym czas tej pracy jest mniejszy, zatem:
$$\frac{praca}{25}=156 \           ,\
praca=156\cdot25 \           ,\
praca=3900$$

Teraz tą samą pracę chcemy wykonać mając \(25+p\) pracowników (\(p\) to liczba dodatkowych pracowników). Czas tej pracy wyniesie \(100\) dni, zatem:
$$\frac{praca}{25+p}=100 \           ,\
\frac{3900}{25+p}=100 \           ,\
3900=100\cdot(25+p) \           ,\
3900=2500+100p \           ,\
1400=100p \           ,\
p=14$$

Krok 1. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.
Musimy obliczyć pole powierzchni trójkąta \(ABD\), który jest podstawą tego ostrosłupa. Jest to połowa kwadratu o boku \(a\), zatem:
$$P_{p}=\frac{1}{2}a^2$$

Krok 2. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Pole podstawy ostrosłupa obliczyliśmy przed chwilą. Wysokość ostrosłupa \(H=a\), bo jest to sześcian, zatem:
$$V_{o}=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \           ,\
V_{o}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}a^2\cdot a \           ,\
V_{o}=\frac{1}{6}a^3$$

Krok 3. Obliczenie objętości pozostałej części sześcianu.
Cały sześcian ma objętość równą \(V=a^3\). Aby więc obliczyć objętość pozostałej części (bo to do niej musimy się odnieść) to musimy od objętości sześcianu odjąć obliczoną przed chwilą objętość ostrosłupa:
$$V_{p}=a^3-\frac{1}{6}a^3 \           ,\
V_{p}=\frac{5}{6}a^3$$

To oznacza, że objętość ostrosłupa jest pięciokrotnie mniejsza od pozostałej części sześcianu.

Krok 1. Odczytanie informacji z wykresu.
Z wykresu funkcji kwadratowej musimy odczytać dwie kluczowe informacje:
- współrzędne wierzchołka \(W=(2;4)\).
- współczynnik kierunkowy \(a\) - ramiona są skierowane do dołu, więc na pewno \(a\lt0\).

Krok 2. Ustalenie wzoru funkcji kwadratowej.
Funkcja kwadratowa o wierzchołku w punkcie \(W=(p;q)\) przyjmuje wzór:
$$y=a(x-p)^2+q$$

W naszym przypadku będzie to w takim razie:
$$y=a(x-2)^2+4$$

Pasują nam w tym momencie dwie odpowiedzi: \(A\) oraz \(C\). Z racji tego, że ramiona paraboli są skierowane do dołu i współczynnik kierunkowy \(a\lt0\), to prawidłową odpowiedzią będzie \(C\), gdyż to właśnie tam na początku znalazł się minus.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Spróbujmy mniej więcej zaznaczyć w układzie współrzędnych punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\):



Nie znamy współrzędnych punktu \(D\) (na rysunku jest on tylko by zobrazować sobie jak wygląda ten równoległobok), ale nie jest nam on na szczęście potrzebny. Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości, zatem wystarczy wyznaczyć środek odcinka \(AC\) (a mamy na to wzór w tablicach).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu przecięcia się przekątnych.
Zgodnie ze wzorami współrzędne \(S=(x_{S};y_{S})\) środka odcinka \(AC\) możemy obliczyć w następujący sposób:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \           ,\
x_{S}=\frac{-6-2\sqrt{2}+2+6\sqrt{2}}{2} \           ,\
x_{S}=\frac{-4+4\sqrt{2}}{2} \           ,\
x_{S}=-2+2\sqrt{2}$$

Tak naprawdę moglibyśmy w tym momencie skończyć rozwiązywanie zadania, bo tylko w czwartej odpowiedzi znajduje się obliczona przed chwilą współrzędna \(x_{S}\). Dla sprawdzenia i wprawy obliczmy sobie jeszcze współrzędną \(y_{S}\):
$$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \           ,\
y_{S}=\frac{4-2\sqrt{2}+6-2\sqrt{2}}{2} \           ,\
y_{S}=\frac{10-4\sqrt{2}}{2} \           ,\
y_{S}=5-2\sqrt{2}$$

Musimy skorzystać z jednego ze wzorów redukcyjnych:
$$sin(90°+α)=cosα \           ,\
sin150°=sin(90°+60°)=cos60°$$