Liczba \(15\) jest przybliżeniem z niedomiarem, czyli na pewno poszukiwana przez nas liczba \(x\) jest większa od \(15\). Skoro więc błąd bezwzględny wyniósł \(0,24\), to nasza liczba \(x\) jest równa:
$$x=15+0,24=15,24$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Z naszego rysunku musimy odczytać bardzo ważną informację (którą zaznaczyłem już na rysunku), czyli że przekątna \(AC\) jest dwa razy większa od przekątnej \(EF\). Skąd to wiemy? Wynika to z tego, że bok \(AB\) jest dwa razy dłuższy od boku \(EB\) oraz analogicznie bok \(BC\) jest dwa razy dłuższy od boku \(BF\). Krótko mówiąc - bok \(EF\) jest tak jakby przekątną kwadratu, który ma dwa razy krótszy bok od kwadratu \(ABCD\). Stąd też przekątna \(EF\) jest dwa razy krótsza od przekątnej \(AC\).

Skoro tak, to musimy teraz obliczyć długość przekątnej \(EF\) i otrzymany wynik pomnożyć przez dwa - wtedy otrzymamy długość przekątnej \(AC\).

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej \(EF\).
Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|EF|=\sqrt{(x_{F}-x_{E})^2+(y_{F}-y_{E})^2} \           ,\
|EF|=\sqrt{(9-7)^2+(7-1)^2} \           ,\
|EF|=\sqrt{2^2+6^2} \           ,\
|EF|=\sqrt{4+36} \           ,\
|EF|=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot10}=2\sqrt{10}$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej \(AC\).
Zgodnie z tym co zapisaliśmy wcześniej, przekątna \(AC\) jest dwa razy dłuższa od przekątnej \(EF\), zatem:
$$|AC|=2\cdot2\sqrt{10}=4\sqrt{10}$$

Rozwiązanie tego zadania będzie znacznie prostsze, kiedy potęgę znajdującą się na końcu liczby rozpiszemy jako oddzielnie potęgowanie licznika i mianownika:
$$\left(\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{(3+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{3})^2}$$

W liczniku posłużymy się teraz wzorem skróconego mnożenia, zatem całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{(3+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{3})^2}=\frac{9+6\sqrt{3}+3}{3}=\frac{12+6\sqrt{3}}{3}=4+2\sqrt{3}$$

Przyglądając się odpowiedziom od razu możemy odrzucić odpowiedź \(D\), bowiem mnożąc dwie liczby o tej samej podstawie potęgi musimy dodać do siebie wykładniki tych potęg. Zatem w odpowiedzi \(D\) otrzymalibyśmy:
$$3^9\cdot3^{\frac{1}{4}}=3^{9+\frac{1}{4}}=3^{9\frac{1}{4}}$$

Po pozostałych odpowiedziach widzimy, że interesuje nas odpowiedź w której pojawi się \(\sqrt[4]{3}\). Ułamek \(\frac{9}{4}\) możemy zapisać jako \(2\frac{1}{4}\) i taki zapis znacznie nam uprości rozwiązanie tego zadania:
$$3^{\frac{9}{4}}=3^{2+\frac{1}{4}}=3^2\cdot3^{\frac{1}{4}}=9\cdot\sqrt[4]{3}$$

Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie równania \(3^x=6\).

Aby rozwiązać to równanie to najprościej będzie posłużyć się definicją logarytmu, którą znajdziemy chociażby w tablicach maturalnych.
$$\log_{a}b=c \Longleftrightarrow a^c=b$$

Porównując zapis \(a^c=b\) do zapisu \(3^x=6\) widzimy, że: \(a=3\), \(b=6\) oraz \(c=x\). Podstawiając teraz te symbole do definicji logarytmu otrzymamy, że \(x=\log_{3}6\).

Krok 1. Zapisanie podanego wyrażenia w postaci \(a^2-b^2\).
Wbrew pozorom nie jest najlepszym pomysłem wykonanie potęgowania \((3x+1)^2\). Najprościej jest rozwiązać to zadanie zapisując \(16\) jako \(4^2\), otrzymamy wtedy: \(4^2-(3x+1)^2\).

Jeśli teraz zauważymy, że \(a=4\) oraz \(b=3x+1\), to możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

Krok 2. Wykonanie obliczeń z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.
$$4^2-(3x+1)^2=(4-(3x+1))\cdot(4+(3x+1))= \           ,\
=(4-3x-1)\cdot(4+3x+1)=(3-3x)\cdot(5+3x)$$

W tym zadaniu należało przede wszystkim pamiętać o tym, że \(-a^2\) to nie jest to samo, co \((-a)^2\) oraz o tym, że liczba ujemna podniesiona do potęgi parzystej daje wynik dodatni, a podniesiona do potęgi nieparzystej daje wynik ujemny.

Prawidłową zależnością jest jedynie ta opisana w ostatniej odpowiedzi, czyli \(\sqrt[3]{-256}=-\sqrt[3]{256}\). Pozostałe są błędne, bo:
$$(-256)^2=256^2 \           ,\
(-256)^3=-256^3 \           ,\
\sqrt{(-256)^2}=256$$

Na początku rozwiązywania tej nierówności najlepiej będzie pozbyć się ułamków, mnożąc obie strony przez \(6\). Całość obliczeń wyglądać będzie następująco:
$$\frac{2-x}{3}-\frac{2x-1}{2}\lt x \quad\bigg/\cdot6 \           ,\
6\cdot\frac{2-x}{3}-6\cdot\frac{2x-1}{2}\lt6x \           ,\
2\cdot(2-x)-3\cdot(2x-1)\lt6x \           ,\
4-2x-(6x-3)\lt6x \           ,\
4-2x-6x+3\lt6x \           ,\
-8x+7\lt6x \           ,\
7\lt14x \           ,\
\frac{1}{2}\lt x \           ,\
x\gt\frac{1}{2}$$

Przedział opisujący to rozwiązanie znalazł się w ostatniej odpowiedzi.

\(x\) - liczba dziewczyn
\(4x\) - liczba chłopców
\(x+4x=5x\) - tyle dzieci jest w klasie

Dziewczyny stanowią \(\frac{x}{5x}=\frac{1}{5}=20\%\) klasy.

Skoro \(6\cdot8=48\), to reszta z dzielenia liczby \(55\) przez \(8\) jest równa \(55-48=7\).

Krok 1. Wypisanie dzielników liczb \(42, 44, 45\) oraz \(48\).
$$D_{42}=\{1,2,3,6,7,14,21,42\} \           ,\
D_{44}=\{1,2,4,11,22,44\} \           ,\
D_{45}=\{1,3,5,9,15,45\} \           ,\
D_{48}=\{1,2,3,4,6,8,12,24,48\}$$

Krok 2. Wybór największego dzielnika każdej z liczb będącego liczbą pierwszą.
Liczba pierwsza to taka, która dzieli się tylko przez jedynkę oraz przez samą siebie.
Największymi dzielnikiem będącym liczbą pierwszą jest:
Dla \(42\) - liczba \(7\)
Dla \(44\) - liczba \(11\)
Dla \(45\) - liczba \(5\)
Dla \(48\) - liczba \(3\)

Poszukujemy nazwy następującego kąta:



Należy pamiętać, że środkowa litera w zapisie nazewnictwa kątów oznacza wierzchołek danego kąta.
Kątem między krawędzią \(CS\), a płaszczyzną podstawy ostrosłupa będzie więc kąt \(ACS\).

Tak na marginesie, to równie dobrze moglibyśmy napisać, że byłby to kąt \(OCS\), albo \(SCO\), ale takich odpowiedzi nie mamy, więc na pewno będzie to \(ACS\).

Nie mamy informacji na temat wzoru tej funkcji, ani na temat tego czy ta funkcja kwadratowa ma ramiona skierowane do góry, czy do dołu, ale to akurat nie jest w tym zadaniu dla nas istotne. Załóżmy sobie, że ma ramiona skierowane do dołu, wtedy wykres będzie wyglądał następująco:



Wykres paraboli jest symetryczny względem prostej przechodzącej dokładnie przez wierzchołek paraboli (patrz rysunek). To oznacza, że wartość równą \(f(1)\) osiągniemy także dla argumentu, którego współrzędna iksowa jest oddalona od wierzchołka o tyle samo jednostek co jest oddalona jedynka. Skoro między jedynką i piątką są \(4\) jednostki, to poszukiwanym argumentem jest \(x=5+4=9\). Zatem \(f(1)=f(9)\).

Podobnie by było, gdyby ramiona były skierowane do góry, dlatego informacja o tym jak dokładnie wygląda ta funkcja nie była nam potrzebna.

To zadanie teoretycznie można rozwiązać nie wykonując jakichkolwiek obliczeń. Skoro kąt \(α\) jest ostry, to wartość cosinusa kąta \(α\) jest na pewno wartością większą od zera i mniejszą od jedynki. Jeśli do licznika ułamka \(\frac{2-cosα}{2+cosα}\) podstawimy pod \(cosα\) dowolną dodatnią liczbę mniejszą od jedynki, to wyjdzie nam że w liczniku mamy wartość nieco ponad \(1\) (nie wiemy ile dokładnie, ale na pewno jest to liczba dodatnia). Analogicznie w mianowniku wyjdzie nam wartość większa od \(2\) (także nie wiemy jaka, ale znowu jest to liczba dodatnia, w dodatku na pewno jest to liczba większa od tej z licznika). Skoro tak, to już na wstępie możemy odrzucić dwie pierwsze odpowiedzi, bo wartość całego ułamka jest na pewno liczbą dodatnią. Możemy też odrzucić ostatnią odpowiedź, bo wartość tego ułamka jest mniejsza od jednego (gdyż udowodniliśmy, że licznik jest mniejszy od mianownika). Zatem bez obliczeń wiemy, że jedyną możliwą prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź trzecia. Gdybyśmy chcieli to jednak rozwiązać nieco bardziej matematycznie, to należałoby postąpić w następujący sposób:

Krok 1. Zapisanie relacji między sinusem i cosinusem kąta \(α\).
Funkcję trygonometryczną \(tgα\) możemy zapisać jako \(\frac{sinα}{cosα}\). Zatem:
$$tgα=\frac{3}{4} \           ,\
\frac{sinα}{cosα}=\frac{3}{4}$$

Mnożąc na krzyż otrzymujemy:
$$4sinα=3cosα$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości \(cosα\).
Skorzystamy z jedynki trygonometrycznej wyrażonej wzorem \(sin^2α+cos^2α=1\). Nas interesuje poznanie wartości \(cosα\), dlatego też pod sinusa podstawimy przekształcone równanie wyznaczone w pierwszym kroku:
$$4sinα=3cosα \Rightarrow sinα=\frac{3}{4}cosα$$

Podstawiając tą wartość do jedynki trygonometrycznej otrzymamy:
$$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\
\left(\frac{3}{4}cosα\right)^2+cos^2α=1 \           ,\
\frac{9}{16}cos^2α+cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot16 \           ,\
9cos^2α+16cos^2α=16 \           ,\
25cos^2α=16 \quad\bigg/:25 \           ,\
cos^2α=\frac{16}{25} \           ,\
cosα=\frac{4}{5} \quad\lor\quad cosα=-\frac{4}{5}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo mamy podaną informację, że kąt jest ostry, a dla kątów ostrych cosinus jest dodatni. Zatem zostaje nam, że \(cosα=\frac{4}{5}\).

Krok 3. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
Na sam koniec musimy już tylko podstawić wyznaczoną wartość cosinusa i obliczyć wartość podanego wyrażenia:
$$\frac{2-cosα}{2+cosα}=\frac{2-\frac{4}{5}}{2+\frac{4}{5}}=\frac{1\frac{1}{5}}{2\frac{4}{5}}= \           ,\
=\frac{\frac{6}{5}}{\frac{14}{5}}=\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{14}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$$

Aby rozwiązać to zadanie musimy najpierw wymnożyć przez siebie poszczególne nawiasy:
$$\require{cancel}
(2x-1)\cdot(x-2)=(1-2x)\cdot(x+2) \           ,\
2x^2\cancel{-4x}-x+\cancel{2}=x+\cancel{2}-2x^2\cancel{-4x} \           ,\
2x^2-x=x-2x^2 \           ,\
4x^2-2x=0 \quad\bigg/:2 \           ,\
2x^2-x=0 \           ,\
x(2x-1)=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad 2x-1=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad 2x=1 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x=\frac{1}{2}$$

Układ jest sprzeczny, kiedy po rozwiązaniu układ