📄 Treść zadania
Jeżeli kąt \(α\) jest ostry i \(tgα=\frac{3}{4}\), to \(\frac{2-cosα}{2+cosα}\) równa się:
A
\(-1\)
B
\(-\frac{1}{3}\)
C
\(\frac{3}{7}\)
D
\(\frac{84}{25}\)
To zadanie teoretycznie można rozwiązać nie wykonując jakichkolwiek obliczeń. Skoro kąt \(α\) jest ostry, to wartość cosinusa kąta \(α\) jest na pewno wartością większą od zera i mniejszą od jedynki. Jeśli do licznika ułamka \(\frac{2-cosα}{2+cosα}\) podstawimy pod \(cosα\) dowolną dodatnią liczbę mniejszą od jedynki, to wyjdzie nam że w liczniku mamy wartość nieco ponad \(1\) (nie wiemy ile dokładnie, ale na pewno jest to liczba dodatnia). Analogicznie w mianowniku wyjdzie nam wartość większa od \(2\) (także nie wiemy jaka, ale znowu jest to liczba dodatnia, w dodatku na pewno jest to liczba większa od tej z licznika). Skoro tak, to już na wstępie możemy odrzucić dwie pierwsze odpowiedzi, bo wartość całego ułamka jest na pewno liczbą dodatnią. Możemy też odrzucić ostatnią odpowiedź, bo wartość tego ułamka jest mniejsza od jednego (gdyż udowodniliśmy, że licznik jest mniejszy od mianownika). Zatem bez obliczeń wiemy, że jedyną możliwą prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź trzecia. Gdybyśmy chcieli to jednak rozwiązać nieco bardziej matematycznie, to należałoby postąpić w następujący sposób:
Krok 1. Zapisanie relacji między sinusem i cosinusem kąta \(α\).
Funkcję trygonometryczną \(tgα\) możemy zapisać jako \(\frac{sinα}{cosα}\). Zatem:
$$tgα=\frac{3}{4} \ ,\
\frac{sinα}{cosα}=\frac{3}{4}$$
Mnożąc na krzyż otrzymujemy:
$$4sinα=3cosα$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości \(cosα\).
Skorzystamy z jedynki trygonometrycznej wyrażonej wzorem \(sin^2α+cos^2α=1\). Nas interesuje poznanie wartości \(cosα\), dlatego też pod sinusa podstawimy przekształcone równanie wyznaczone w pierwszym kroku:
$$4sinα=3cosα \Rightarrow sinα=\frac{3}{4}cosα$$
Podstawiając tą wartość do jedynki trygonometrycznej otrzymamy:
$$sin^2α+cos^2α=1 \ ,\
\left(\frac{3}{4}cosα\right)^2+cos^2α=1 \ ,\
\frac{9}{16}cos^2α+cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot16 \ ,\
9cos^2α+16cos^2α=16 \ ,\
25cos^2α=16 \quad\bigg/:25 \ ,\
cos^2α=\frac{16}{25} \ ,\
cosα=\frac{4}{5} \quad\lor\quad cosα=-\frac{4}{5}$$
Wartość ujemną odrzucamy, bo mamy podaną informację, że kąt jest ostry, a dla kątów ostrych cosinus jest dodatni. Zatem zostaje nam, że \(cosα=\frac{4}{5}\).
Krok 3. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
Na sam koniec musimy już tylko podstawić wyznaczoną wartość cosinusa i obliczyć wartość podanego wyrażenia:
$$\frac{2-cosα}{2+cosα}=\frac{2-\frac{4}{5}}{2+\frac{4}{5}}=\frac{1\frac{1}{5}}{2\frac{4}{5}}= \ ,\
=\frac{\frac{6}{5}}{\frac{14}{5}}=\frac{6}{5}\cdot\frac{5}{14}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$$