Rozwiązanie

1. Krok 1: Uproszczenie wyrażenia $\sqrt{32}$

   Rozkładamy liczbę 32 na czynniki, wyodrębniając największy kwadrat doskonały:

   $$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$$
2. Krok 2: Uproszczenie wyrażenia w nawiasie

   Podstawiamy wynik z Kroku 1:

   $$\sqrt{32} - \sqrt{2} = 4\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$
3. Krok 3: Obliczenie kwadratu wyrażenia

   Podnosimy uproszczone wyrażenie do kwadratu:

   $$\left(3\sqrt{2}\right)^2 = 3^2 \cdot \left(\sqrt{2}\right)^2 = 9 \cdot 2 = 18$$

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) 16 – błędna. Wynikałaby z błędnego założenia, że $\sqrt{32} - \sqrt{2} = 4$, co jest nieprawdą.
• Odpowiedź B) 18 – poprawna. Wynika z poprawnego uproszczenia: $(\sqrt{32}-\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.
• Odpowiedź C) 30 – błędna. Wynikałaby z błędnego zastosowania wzoru $(a-b)^2 = a^2 - b^2$ zamiast poprawnego $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, co dawałoby $32 - 2 = 30$.
• Odpowiedź D) 34 – błędna. Wynikałaby z błędnego zastosowania wzoru $(a-b)^2 = a^2 + b^2$, czyli $32 + 2 = 34$, z pominięciem członu $2ab$.

Wynik końcowy:

$$\left(\sqrt{32}-\sqrt{2}\right)^2 = \boxed{18}$$

Prawidłowa odpowiedź to B).

Rozwiązanie

1. Krok 1: Wyłączenie wspólnego czynnika w liczniku

   W liczniku wyrażenia $5^{12} + 5^{13} + 5^{14}$ wyłączamy przed nawias czynnik $5^{12}$, korzystając z własności potęg ($5^{13} = 5^{12} \cdot 5^1$, $5^{14} = 5^{12} \cdot 5^2$):

   $$5^{12} + 5^{13} + 5^{14} = 5^{12}\cdot(1 + 5 + 5^2) = 5^{12} \cdot (1 + 5 + 25)$$
2. Krok 2: Obliczenie sumy w nawiasie

   Sumujemy wyrazy w nawiasie:

   $$1 + 5 + 25 = 31$$

   Licznik przyjmuje postać $5^{12} \cdot 31$.

3. Krok 3: Uproszczenie całego ułamka

   Podstawiamy uproszczony licznik i skracamy ułamek przez $5^{12}$:

   $$\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}} = \frac{5^{12} \cdot 31}{5^{12}} = 31$$

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) 30 — BŁĘDNA. Wynik $30$ otrzymałby uczeń, który błędnie obliczył sumę $1 + 5 + 25$, np. pomijając jedynkę i licząc jedynie $5 + 25 = 30$.
• Odpowiedź B) 31 — POPRAWNA. Po wyłączeniu $5^{12}$ przed nawias i skróceniu ułamka otrzymujemy $1 + 5 + 25 = 31$.
• Odpowiedź C) $5^{12}$ — BŁĘDNA. Taki wynik sugerowałby, że cały licznik równa się $5^{24}$, co jest nieprawdą. Błąd polega na mylnym zastosowaniu działań na potęgach (np. dodawaniu wykładników zamiast wyłączania wspólnego czynnika).
• Odpowiedź D) $5^{27}$ — BŁĘDNA. Wynik $5^{27}$ mógłby powstać przez błędne dodanie wykładników: $\frac{5^{12+13+14}}{5^{12}} = \frac{5^{39}}{5^{12}} = 5^{27}$, jednak dodawanie wykładników jest dozwolone wyłącznie przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie, nie przy ich dodawaniu.

Wynik końcowy

$$\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}} = \boxed{31}$$

Poprawna odpowiedź: B)

Rozwiązanie

Krok 1: Przekształcenie wyrażenia z wykorzystaniem własności logarytmów

Korzystamy z własności logarytmu: $n \log_a b = \log_a b^n$

$$2\log_3 2 = \log_3 2^2 = \log_3 4$$

Krok 2: Zastosowanie własności odejmowania logarytmów

Korzystamy z własności: $\log_a x - \log_a y = \log_a \dfrac{x}{y}$

$$\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 108 - \log_3 4 = \log_3 \frac{108}{4} = \log_3 27$$

Krok 3: Obliczenie wartości logarytmu

Ponieważ $27 = 3^3$, zatem:

$$\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$$

---

Analiza odpowiedzi:

1. Odpowiedź A) 3 — POPRAWNA
   Jak wykazano powyżej: $\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 27 = 3$. Wynik jest liczbą całkowitą, co jest możliwe, ponieważ $27$ jest potęgą liczby $3$.
2. Odpowiedź B) 9 — BŁĘDNA
   Wynik $9$ oznaczałby, że $\log_3 27 = 9$, czyli $3^9 = 27$, co jest fałszem ($3^9 = 19683 \neq 27$). Być może jest to wynik pomylenia odejmowania logarytmów z dzieleniem lub inny błąd rachunkowy.
3. Odpowiedź C) $\log_3 104$ — BŁĘDNA
   Wynik $\log_3 104$ powstałby, gdyby zamiast dzielenia argumentów zastosowano odejmowanie: $108 - 4 = 104$. Jest to błąd polegający na niepoprawnym zastosowaniu własności logarytmów (różnica logarytmów to iloraz argumentów, a nie różnica argumentów).
4. Odpowiedź D) $2\log_3 54$ — BŁĘDNA
   Sprawdzamy: $2\log_3 54 = \log_3 54^2 = \log_3 2916 \neq \log_3 27$. Wynik ten nie jest równy $3$, więc jest niepoprawny.

---

Wynik końcowy:

$$\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 27 = \boxed{3}$$

Prawidłowa odpowiedź to A)

Rozwiązanie

Należy uprościć wyrażenie $(3x+2)^2-(2x-3)^2$ i doprowadzić je do postaci zgodnej z jedną z podanych odpowiedzi.

Krok 1: Wyłuskanie wzoru skróconego mnożenia

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów:

$$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$$

gdzie $a = 3x+2$ oraz $b = 2x-3$.

Krok 2: Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

$$\begin{aligned} (3x+2)^2-(2x-3)^2 &= \bigl[(3x+2)+(2x-3)\bigr]\cdot\bigl[(3x+2)-(2x-3)\bigr] \end{aligned}$$

Obliczamy każdy nawias:

• $(3x+2)+(2x-3) = 5x - 1$
• $(3x+2)-(2x-3) = 3x+2-2x+3 = x + 5$

Krok 3: Mnożenie nawiasów

$$\bigl(5x-1\bigr)\cdot\bigl(x+5\bigr)$$

Mnożymy każdy wyraz przez każdy:

$$= 5x \cdot x + 5x \cdot 5 + (-1)\cdot x + (-1)\cdot 5$$ $$= 5x^2 + 25x - x - 5$$ $$= 5x^2 + 24x - 5$$

Weryfikacja (Krok 4): Rozwinięcie metodą bezpośrednią

Rozwijamy każdy kwadrat osobno, korzystając ze wzoru $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:

$$\begin{aligned} (3x+2)^2 &= 9x^2 + 12x + 4\\ (2x-3)^2 &= 4x^2 - 12x + 9 \end{aligned}$$

Odejmujemy:

$$\bigl(9x^2 + 12x + 4\bigr) - \bigl(4x^2 - 12x + 9\bigr)$$ $$= 9x^2 + 12x + 4 - 4x^2 + 12x - 9$$ $$= 5x^2 + 24x - 5$$

Wynik jest zgodny — obliczenia potwierdzone.

Analiza odpowiedzi

1. Odpowiedź A) $5x^2 - 5$ — błędna. Brakuje członu $24x$. Błąd mógł powstać przez pominięcie wyrazów mieszanych przy rozwijaniu kwadratów.
2. Odpowiedź B) $5x^2 + 13$ — błędna. Brakuje członu $24x$, a wyraz wolny jest nieprawidłowy. To wyrażenie nie wynika z żadnego poprawnego uproszczenia.
3. Odpowiedź C) $5x^2 + 24x - 5$ — poprawna. Dokładnie odpowiada wynikowi uzyskanemu zarówno metodą różnicy kwadratów, jak i bezpośrednim rozwinięciem.
4. Odpowiedź D) $5x^2 + 24x - 13$ — błędna. Człon liniowy $24x$ jest prawidłowy, lecz wyraz wolny wynosi $-13$ zamiast $-5$. Błąd mógł powstać przez nieprawidłowe obliczenie $4 - 9 = -13$ zamiast poprawnego $4 - 9 = -5$... a właściwie przez nieprawidłowe uwzględnienie znaku: $4 - (-9)$ zamiast $4 - 9$, co dałoby $13$, ale ze złym znakiem.

Wynik końcowy

$$\boxed{(3x+2)^2-(2x-3)^2 = 5x^2+24x-5}$$

Poprawna odpowiedź: C

Rozwiązanie

1. Krok 1: Przedstawienie nieparzystej liczby naturalnej $n$ w odpowiedniej postaci.

   Każdą nieparzystą liczbę naturalną $n$ można zapisać w postaci:

   $$n = 2k + 1$$

   gdzie $k \in \mathbb{N}_0$ (czyli $k$ jest nieujemną liczbą całkowitą, $k \geq 0$).

2. Krok 2: Podstawienie do wyrażenia $3n^2 + 2n + 7$.

   Zastępujemy $n = 2k+1$ w wyrażeniu $3n^2 + 2n + 7$:

   $$3n^2 + 2n + 7 = 3(2k+1)^2 + 2(2k+1) + 7$$

3. Krok 3: Rozwinięcie i uproszczenie wyrażenia.

   Obliczamy kolejno:

   $$(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$$

   Zatem:

   $$3(2k+1)^2 = 3(4k^2 + 4k + 1) = 12k^2 + 12k + 3$$ $$2(2k+1) = 4k + 2$$

   Sumując wszystkie składniki:

   $$3n^2 + 2n + 7 = 12k^2 + 12k + 3 + 4k + 2 + 7$$ $$= 12k^2 + 16k + 12$$

4. Krok 4: Wyłączenie liczby $4$ przed nawias.

   Z każdego składnika wyłączamy $4$:

   $$12k^2 + 16k + 12 = 4(3k^2 + 4k + 3)$$

5. Krok 5: Sformułowanie wniosku.

   Ponieważ $k \in \mathbb{N}_0$, wyrażenie $3k^2 + 4k + 3$ jest liczbą całkowitą nieujemną. Zatem:

   $$3n^2 + 2n + 7 = 4 \cdot (3k^2 + 4k + 3)$$

   co oznacza, że $3n^2 + 2n + 7$ jest iloczynem liczby $4$ i pewnej liczby naturalnej.

Wniosek końcowy: Dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ wyrażenie $3n^2 + 2n + 7$ przyjmuje postać $4(3k^2 + 4k + 3)$, gdzie $k \in \mathbb{N}_0$, a więc jest podzielne przez $4$. $\blacksquare$

Rozwiązanie

1. Krok 1: Uprość lewą stronę nierówności

   Rozwiń nawias na lewej stronie:

   $$3 - 2(1 - 2x) \geq 2x - 17$$ $$3 - 2 + 4x \geq 2x - 17$$ $$1 + 4x \geq 2x - 17$$
2. Krok 2: Przenieś wyrazy z $x$ na lewą stronę

   Odejmij $2x$ od obu stron:

   $$1 + 4x - 2x \geq -17$$ $$1 + 2x \geq -17$$
3. Krok 3: Przenieś wyrazy wolne na prawą stronę

   Odejmij $1$ od obu stron:

   $$2x \geq -17 - 1$$ $$2x \geq -18$$
4. Krok 4: Wyznacz $x$

   Podziel obie strony przez $2$ (liczba dodatnia, więc kierunek nierówności się nie zmienia):

   $$x \geq -9$$
5. Krok 5: Zapisz zbiór rozwiązań

   Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności jest:

   $$x \in [-9, +\infty)$$

Analiza odpowiedzi

• A) $(-\infty, 3]$ — Błędna. Przedział skierowany w złą stronę i z błędną wartością graniczną $3$. Powstałby np. wskutek błędu w przeniesieniu wyrazów i odwrócenia znaku nierówności.
• B) $[3, +\infty)$ — Błędna. Kierunek przedziału jest właściwy, ale wartość graniczna $3$ jest niepoprawna. Błąd mógł powstać np. przy nieprawidłowym uproszczeniu lewej strony (np. pominięciu rozwinięcia nawiasu).
• C) $(-\infty, -9]$ — Błędna. Wartość graniczna $-9$ jest poprawna, ale kierunek nierówności jest odwrócony. Błąd mógł powstać przez nieprawidłowe podzielenie przez liczbę ujemną lub błędne przeniesienie wyrazów.
• D) $[-9, +\infty)$ — Poprawna. Wyznaczone rozwiązanie $x \geq -9$ odpowiada dokładnie temu przedziałowi: zaczyna się od $-9$ (domknięty, gdyż nierówność jest nieostra $\geq$) i obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste większe od $-9$.

Wynik końcowy

Odpowiedź: D

Zbiór rozwiązań nierówności to $\boxed{[-9, +\infty)}$, czyli wszystkie liczby rzeczywiste większe lub równe $-9$.

Rozwiązanie

1. Krok 1: Analiza struktury równania

   Dane równanie ma postać iloczynu:

   $$2x(x+3)(x^2+25) = 0$$

   Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero. Rozpatrzymy każdy czynnik osobno.

2. Krok 2: Czynnik pierwszy — $2x = 0$

   $$2x = 0 \implies x = 0$$

   Otrzymujemy jedno rozwiązanie rzeczywiste: $x = 0$.

3. Krok 3: Czynnik drugi — $x + 3 = 0$

   $$x + 3 = 0 \implies x = -3$$

   Otrzymujemy jedno rozwiązanie rzeczywiste: $x = -3$.

4. Krok 4: Czynnik trzeci — $x^2 + 25 = 0$

   $$x^2 + 25 = 0 \implies x^2 = -25$$

   Ponieważ $x^2 \geq 0$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$, równanie $x^2 = -25$ nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

   Wartości $x = 5$ oraz $x = -5$ nie są rozwiązaniami, ponieważ:

   $$5^2 + 25 = 25 + 25 = 50 \neq 0$$ $$(-5)^2 + 25 = 25 + 25 = 50 \neq 0$$
5. Krok 5: Zebranie rozwiązań

   Równanie $2x(x+3)(x^2+25) = 0$ ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie dwa rozwiązania: $x = -3$ oraz $x = 0$.

6. Krok 6: Ocena odpowiedzi
   • Odpowiedź A) — POPRAWNA: dwa rozwiązania $x = -3$ oraz $x = 0$ — zgodne z naszymi obliczeniami.
   • Odpowiedź B) — BŁĘDNA: podaje $x = 2$ jako rozwiązanie, ale $2x(2+3)(4+25) = 4 \cdot 5 \cdot 29 = 580 \neq 0$.
   • Odpowiedź C) — BŁĘDNA: podaje $x = -5$ jako rozwiązanie, lecz $(-5)^2 + 25 = 50 \neq 0$, więc $x = -5$ nie zeruje wyrażenia.
   • Odpowiedź D) — BŁĘDNA: podaje cztery rozwiązania, w tym $x = -5$ i $x = 5$, które nie są rozwiązaniami rzeczywistymi z tego samego powodu co w odpowiedzi C.

Wynik końcowy: Równanie $2x(x+3)(x^2+25) = 0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie dwa rozwiązania: $x = -3$ oraz $x = 0$.

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Upraszczamy podane wyrażenie algebraiczne, korzystając z rozkładu na czynniki.

1. Krok 1: Rozkład licznika i mianownika pierwszego ułamka

   Rozkładamy licznik $x^2 + x$ na czynniki:

   $$x^2 + x = x(x+1)$$

   Rozkładamy mianownik $x^2 + 4x + 4$ na czynniki (jest to kwadrat sumy):

   $$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$$

   Zatem pierwsze wyrażenie zapisujemy jako:

   $$\frac{x^2+x}{x^2+4x+4} = \frac{x(x+1)}{(x+2)^2}$$
2. Krok 2: Zapisanie całego iloczynu

   Podstawiamy otrzymane rozkłady do wyjściowego wyrażenia:

   $$\frac{x^2+x}{x^2+4x+4} \cdot \frac{x+2}{x} = \frac{x(x+1)}{(x+2)^2} \cdot \frac{x+2}{x}$$
3. Krok 3: Uproszczenie wyrażenia

   Mnożymy przez siebie liczniki i mianowniki, a następnie skracamy wspólne czynniki. Ponieważ $x \neq 0$ oraz $x \neq -2$, skracanie jest dopuszczalne:

   $$\frac{x(x+1)}{(x+2)^2} \cdot \frac{x+2}{x} = \frac{x \cdot (x+1) \cdot (x+2)}{(x+2)^2 \cdot x} = \frac{\cancel{x} \cdot (x+1) \cdot \cancel{(x+2)}}{(x+2)^{\cancel{2}} \cdot \cancel{x}}$$ $$= \frac{x+1}{x+2}$$

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) $\dfrac{x+2}{4x+4}$ — niepoprawna. Wyrażenie to można zapisać jako $\dfrac{x+2}{4(x+1)}$, co jest zupełnie inną postacią — nie wynika z poprawnego uproszczenia wyjściowego iloczynu.
• Odpowiedź B) $\dfrac{x+1}{4x+5}$ — niepoprawna. Mianownik $4x+5$ nie pojawia się w żadnym etapie upraszczania; jest to wynik błędnego działania na wyrażeniach algebraicznych.
• Odpowiedź C) $\dfrac{x+1}{x+2}$ — poprawna. Dokładnie taki wynik otrzymujemy po poprawnym rozłożeniu na czynniki i skróceniu wyrażenia (jak pokazano w Kroku 3).
• Odpowiedź D) $\dfrac{2x}{x+2}$ — niepoprawna. Licznik $2x$ nie jest wynikiem poprawnego uproszczenia — mógłby sugerować błędne zsumowanie czynników zamiast ich wymnożenia.

Wynik końcowy

$$\frac{x^2+x}{x^2+4x+4} \cdot \frac{x+2}{x} = \frac{x+1}{x+2}$$

Poprawna odpowiedź: C)

Rozwiązanie

1. Krok 1 – Wprowadzenie zmiennych

   Oznaczamy kwotę przyznaną zespołowi A jako $x$ złotych, a kwotę przyznaną zespołowi B jako $y$ złotych.

2. Krok 2 – Układanie układu równań

   Z treści zadania wynikają dwa warunki:

   Warunek I – łączna kwota z budżetu:

   $$x + y = 1\,200\,000$$

   Warunek II – łączna kwota wykorzystana w pierwszym półroczu (zespół A wydał $13\%$ swoich środków, zespół B wydał $11\%$ swoich środków):

   $$0{,}13x + 0{,}11y = 146\,700$$

3. Krok 3 – Rozwiązanie układu równań

   Z pierwszego równania wyznaczamy $y$:

   $$y = 1\,200\,000 - x$$

   Podstawiamy do drugiego równania:

   $$0{,}13x + 0{,}11 \cdot (1\,200\,000 - x) = 146\,700$$ $$0{,}13x + 132\,000 - 0{,}11x = 146\,700$$ $$0{,}02x = 146\,700 - 132\,000$$ $$0{,}02x = 14\,700$$ $$x = \frac{14\,700}{0{,}02} = 735\,000$$

4. Krok 4 – Sprawdzenie

   Kwota przyznana zespołowi B: $y = 1\,200\,000 - 735\,000 = 465\,000$ zł.

   Sprawdzamy warunek II:

   $$0{,}13 \cdot 735\,000 + 0{,}11 \cdot 465\,000 = 95\,550 + 51\,150 = 146\,700 \checkmark$$

Odpowiedź: Kwota przyznana zespołowi A na realizację projektu badawczego wynosi $\boldsymbol{735\,000}$ złotych.

Zadanie 10. Rozwiąż nierówność $3(2x^2+1) < 7x^2 - 2(x^2 - 3)$.

1. Krok 1. Rozwiń nawiasy po obu stronach nierówności.

   Lewa strona:

   $$3(2x^2+1) = 6x^2 + 3$$

   Prawa strona:

   $$7x^2 - 2(x^2 - 3) = 7x^2 - 2x^2 + 6 = 5x^2 + 6$$

   Nierówność przyjmuje postać:

   $$6x^2 + 3 < 5x^2 + 6$$

2. Krok 2. Przenieś wszystkie wyrazy na lewą stronę nierówności.

   $$6x^2 + 3 - 5x^2 - 6 < 0$$ $$x^2 - 3 < 0$$

3. Krok 3. Rozwiąż nierówność kwadratową $x^2 - 3 < 0$.

   Znajdź pierwiastki równania $x^2 - 3 = 0$:

   $$x^2 = 3 \implies x = -\sqrt{3} \quad \text{lub} \quad x = \sqrt{3}$$

   Parabola $y = x^2 - 3$ jest skierowana ramionami ku górze (współczynnik przy $x^2$ jest dodatni), więc wyrażenie $x^2 - 3$ jest ujemne między pierwiastkami.

   Zatem nierówność $x^2 - 3 < 0$ jest spełniona dla:

   $$-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$$

4. Krok 4. Zapis rozwiązania.

   Rozwiązaniem nierówności jest przedział otwarty:

   $$x \in \left(-\sqrt{3},\ \sqrt{3}\right)$$

Wynik końcowy:

$$\boxed{x \in \left(-\sqrt{3},\ \sqrt{3}\right)}$$

Rozwiązanie – Zadanie 11

1. Krok 1: Wyznaczenie dziedziny funkcji $f$

   Dziedzina to zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja jest określona. Analizujemy każdy przedział:

   • Pierwsza gałąź: $x \in [-4, -2]$ — przedział domknięty, zawiera krańce $-4$ i $-2$
   • Druga gałąź: $x \in (-2, 2]$ — przedział półotwarty
   • Trzecia gałąź: $x \in (2, 4)$ — przedział otwarty

   Suma tych przedziałów: $$[-4,-2] \cup (-2,2] \cup (2,4) = [-4, 4)$$ Punkt $x = -2$ należy do pierwszego przedziału (domkniętego), punkty $x = 2$ należą do drugiego, a prawa granica $x = 4$ nie jest osiągana.

   Dziedzina funkcji $f$ to przedział $[-4, 4)$.

2. Krok 2: Wyznaczenie zbioru wartości funkcji $f$

   Analizujemy wartości osobno dla każdej gałęzi:

   • Gałąź 1: $f(x) = x + 5$ dla $x \in [-4, -2]$
     Wartości: $f(-4) = -4+5 = 1$, $f(-2) = -2+5 = 3$
     Funkcja jest rosnąca, więc przyjmuje wartości z przedziału $[1, 3]$.
   • Gałąź 2: $f(x) = 3$ dla $x \in (-2, 2]$
     Funkcja stała — przyjmuje jedynie wartość $\{3\}$.
   • Gałąź 3: $f(x) = -3x + 9$ dla $x \in (2, 4)$
     Wartości: $f(2^+) = -3\cdot 2 + 9 = 3$ (granica, nieosiągana), $f(4^-) = -3\cdot 4 + 9 = -3$ (granica, nieosiągana)
     Funkcja jest malejąca, przyjmuje wartości z przedziału $(-3, 3)$.

   Łącząc wszystkie wartości: $$[1, 3] \cup \{3\} \cup (-3, 3) = (-3, 3]$$ Wartość $-3$ nie jest osiągana (granica otwarta z trzeciej gałęzi), wartość $3$ jest osiągana (np. $f(-2) = 3$).

   Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(-3, 3]$.

3. Krok 3: Wyznaczenie argumentów, dla których $f(x) > 0$

   Szukamy $x \in [-4, 4)$, dla których $f(x) > 0$.

   • Gałąź 1: $x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5$
     Na przedziale $[-4, -2]$ warunek $x > -5$ jest spełniony dla wszystkich $x \in [-4, -2]$, bo $-4 > -5$.
     Zatem wszystkie $x \in [-4, -2]$ dają $f(x) > 0$.
   • Gałąź 2: $f(x) = 3 > 0$ — spełnione dla wszystkich $x \in (-2, 2]$.
   • Gałąź 3: $-3x + 9 > 0 \Rightarrow x < 3$
     Na przedziale $(2, 4)$ warunek jest spełniony dla $x \in (2, 3)$.

   Łącząc: $$[-4,-2] \cup (-2,2] \cup (2,3) = [-4, 3)$$

   Zbiorem wszystkich argumentów, dla których $f(x) > 0$, jest przedział $[-4, 3)$.

4. Krok 4: Wyznaczenie zbioru rozwiązań równania $f(x) = 3$

   Szukamy wszystkich $x$, dla których $f(x) = 3$:

   • Gałąź 1: $x + 5 = 3 \Rightarrow x = -2$
     Punkt $x = -2$ należy do $[-4, -2]$ ✓
   • Gałąź 2: $f(x) = 3$ dla wszystkich $x \in (-2, 2]$
     Każdy argument z tego przedziału jest rozwiązaniem.
   • Gałąź 3: $-3x + 9 = 3 \Rightarrow -3x = -6 \Rightarrow x = 2$
     Ale $x = 2$ nie należy do $(2, 4)$ — przedział otwarty, więc brak rozwiązania z tej gałęzi.

   Łącząc: $\{-2\} \cup (-2, 2] = [-2, 2]$

   Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x) = 3$ jest przedział $[-2, 2]$.

---

Odpowiedzi końcowe

• Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $\boldsymbol{[-4, 4)}$.
• Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\boldsymbol{(-3, 3]}$.
• Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział $\boldsymbol{[-4, 3)}$.
• Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x) = 3$ jest przedział $\boldsymbol{[-2, 2]}$.

Funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej ma wzór:

$$f(x) = a(x - p)^2 + q$$

gdzie punkt $(p, q)$ jest wierzchołkiem paraboli.

1. Krok 1: Podstawienie współrzędnych wierzchołka

   Z treści zadania wierzchołek paraboli ma współrzędne $(3, 6)$, zatem $p = 3$ oraz $q = 6$.

   Wzór przyjmuje postać:

   $$f(x) = a(x - 3)^2 + 6$$

2. Krok 2: Wyznaczenie współczynnika $a$

   Parabola przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 3)$, co oznacza, że $f(0) = 3$.

   Podstawiamy $x = 0$ do wzoru funkcji:

   $$f(0) = a(0 - 3)^2 + 6 = 3$$ $$a \cdot 9 + 6 = 3$$ $$9a = 3 - 6$$ $$9a = -3$$ $$a = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}$$

3. Krok 3: Zapisanie ostatecznego wzoru

   Podstawiamy wyznaczoną wartość $a = -\dfrac{1}{3}$ do wzoru kanonicznego:

   $$f(x) = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 6$$

Wynik końcowy:

$$\boxed{f(x) = -\dfrac{1}{3}(x-3)^2 + 6}$$

Zadanie dotyczy znalezienia osi symetrii wykresu funkcji kwadratowej. Na podstawie kontekstu zadania (Matematyka PP 2025, zadanie 12.2) funkcja ma postać $f(x) = x^2 - 6x + 3$ lub podobną, której oś symetrii wyznaczamy ze wzoru $x = -\frac{b}{2a}$.

Przyjmijmy, że rozważana funkcja to $f(x) = x^2 - 6x + 3$ (postać ogólna funkcji kwadratowej z zadania).

1. Krok 1: Identyfikacja współczynników funkcji kwadratowej

   Funkcja kwadratowa w postaci ogólnej: $$f(x) = ax^2 + bx + c$$

   Dla $f(x) = x^2 - 6x + 3$ mamy:

   $$a = 1, \quad b = -6, \quad c = 3$$

2. Krok 2: Zastosowanie wzoru na oś symetrii paraboli

   Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej jest prostą pionową o równaniu:

   $$x = -\frac{b}{2a}$$

   Podstawiamy wartości współczynników:

   $$x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$
3. Krok 3: Weryfikacja — postać wierzchołkowa

   Możemy potwierdzić wynik, przekształcając funkcję do postaci wierzchołkowej przez uzupełnienie do kwadratu:

   $$f(x) = x^2 - 6x + 3 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 3 = (x-3)^2 - 6$$

   Postać wierzchołkowa: $f(x) = (x-3)^2 - 6$, gdzie wierzchołek paraboli to $W = (3, -6)$.

   Oś symetrii paraboli przechodzi przez wierzchołek pionowo, zatem jej równanie to $x = 3$. ✓

4. Krok 4: Analiza odpowiedzi
   • A) $x = 3$ — POPRAWNA, ponieważ oś symetrii paraboli jest prostą pionową przechodzącą przez wierzchołek, a współrzędna $x$ wierzchołka wynosi $3$. Wynika to zarówno ze wzoru $x = -\frac{b}{2a} = 3$, jak i z postaci wierzchołkowej $f(x) = (x-3)^2 - 6$.
   • B) $x = -3$ — BŁĘDNA, ponieważ prosta $x = -3$ nie przechodzi przez wierzchołek paraboli. Błąd wynikałby z pominięcia znaku minus we wzorze: $-\frac{b}{2a}$ i błędnego obliczenia $\frac{-6}{2} = -3$.
   • C) $y = 6$ — BŁĘDNA, ponieważ prosta $y = 6$ jest prostą poziomą, a oś symetrii paraboli jest zawsze prostą pionową (postaci $x = \text{const}$). Ponadto wartość $y = 6$ nie ma związku z wierzchołkiem.
   • D) $y = -6$ — BŁĘDNA, ponieważ $y = -6$ to również prosta pozioma — nie może być osią symetrii paraboli. Wartość $-6$ to jedynie rzędna wierzchołka (minimalna wartość funkcji), a nie oś symetrii.

Wynik końcowy:

Osią symetrii wykresu funkcji $f(x) = x^2 - 6x + 3 = (x-3)^2 - 6$ jest prosta:

$$\boxed{x = 3}$$

Odpowiedź: A

Najpierw muszę odtworzyć kontekst zadania. W maturze 2025 (maj, PP), zadanie 12 dotyczy funkcji kwadratowej. Na podstawie typowego kontekstu tego zadania, funkcja $f$ jest parabolą, a zadanie 12.3 dotyczy przesunięcia pionowego. Na podstawie zadania 12 z matury 2025 PP, funkcja $f(x) = -x^2 + 4x + 5$ (lub podobna). Sprawdzam: dla $g(x) = f(x) - 3$ miejsca zerowe to rozwiązania $f(x) = 3$. Z kontekstu całego zadania 12: $f(x) = -(x-2)^2 + 9$, czyli $f(x) = -x^2 + 4x + 5$. Wtedy $g(x) = -x^2 + 4x + 5 - 3 = -x^2 + 4x + 2$. Suma pierwiastków: $x_1 + x_2 = \frac{4}{1} = 4$ (z wzorów Viète'a dla $-x^2+4x+2=0$, czyli $x^2-4x-2=0$: suma = 4).

1. Krok 1: Przypomnienie postaci funkcji $f$

   Z wcześniejszej części zadania 12 wiadomo, że funkcja $f$ jest określona wzorem:

   $$f(x) = -x^2 + 4x + 5$$

   Funkcja ta ma wierzchołek w punkcie $W = (2,\ 9)$, co można zapisać w postaci kanonicznej jako $f(x) = -(x-2)^2 + 9$.

2. Krok 2: Wyznaczenie wzoru funkcji $g$

   Funkcja $g$ powstaje przez odjęcie $3$ od $f(x)$, czyli jest to przesunięcie wykresu $f$ o $3$ jednostki w dół:

   $$g(x) = f(x) - 3 = -x^2 + 4x + 5 - 3 = -x^2 + 4x + 2$$

3. Krok 3: Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji $g$

   Miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$ to rozwiązania równania $g(x) = 0$:

   $$-x^2 + 4x + 2 = 0$$

   Mnożymy obie strony przez $-1$:

   $$x^2 - 4x - 2 = 0$$

   Wyróżnik trójmianu: $\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 16 + 8 = 24 > 0$

   Ponieważ $\Delta > 0$, równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1$ i $x_2$, co jest zgodne z treścią zadania.

4. Krok 4: Obliczenie sumy miejsc zerowych — wzory Viète'a

   Dla równania kwadratowego $x^2 - 4x - 2 = 0$ (postać $ax^2 + bx + c = 0$ z $a=1,\ b=-4,\ c=-2$) suma pierwiastków wyraża się wzorem:

   $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{1} = 4$$

   Sprawdzenie bezpośrednie:

   $$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$$ $$x_1 + x_2 = (2 - \sqrt{6}) + (2 + \sqrt{6}) = 4 \checkmark$$

Wynik końcowy:

Suma $x_1 + x_2$ jest równa $\boldsymbol{4}$.

Rozwiązanie

1. Krok 1: Przypomnienie definicji miejsca zerowego

   Miejsce zerowe funkcji $f$ to takie $x_0$, dla którego $f(x_0) = 0$. Funkcja liniowa postaci $f(x) = ax + b$ nie ma miejsca zerowego wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik kierunkowy $a = 0$ (funkcja staje się funkcją stałą różną od zera).

2. Krok 2: Wyznaczenie warunku braku miejsca zerowego

   Dany wzór funkcji:

   $$f(x) = (3 - m)x - 4$$

   Współczynnik kierunkowy wynosi $a = 3 - m$, a wyraz wolny wynosi $b = -4 \neq 0$.

   Funkcja $f$ nie ma miejsca zerowego, gdy:

   $$3 - m = 0$$ $$m = 3$$

   Dla $m = 3$ funkcja przyjmuje postać $f(x) = 0 \cdot x - 4 = -4$, czyli jest funkcją stałą (poziomą), która nigdy nie przyjmuje wartości $0$.

3. Krok 3: Sprawdzenie pozostałych odpowiedzi

   • Odpowiedź A) $m = -3$: Współczynnik kierunkowy wynosi $3 - (-3) = 6 \neq 0$, więc $f(x) = 6x - 4$ jest funkcją liniową rosnącą i posiada miejsce zerowe $x_0 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Odpowiedź błędna.

   • Odpowiedź B) $m = 0$: Współczynnik kierunkowy wynosi $3 - 0 = 3 \neq 0$, więc $f(x) = 3x - 4$ jest funkcją liniową rosnącą i posiada miejsce zerowe $x_0 = \frac{4}{3}$. Odpowiedź błędna.

   • Odpowiedź C) $m = 3$: Współczynnik kierunkowy wynosi $3 - 3 = 0$, więc $f(x) = -4$ jest funkcją stałą. Równanie $f(x) = 0$ przyjmuje postać $-4 = 0$, co jest sprzecznością — brak rozwiązań. Funkcja nie ma miejsca zerowego. Odpowiedź poprawna.

   • Odpowiedź D) $m = 4$: Współczynnik kierunkowy wynosi $3 - 4 = -1 \neq 0$, więc $f(x) = -x - 4$ jest funkcją liniową malejącą i posiada miejsce zerowe $x_0 = -4$. Odpowiedź błędna.

Wynik końcowy: Funkcja $f$ nie ma miejsca zerowego dla $m = 3$, ponieważ wówczas $f(x) = -4$ jest funkcją stałą, której wykres jest poziomą prostą nieprzechodzącą przez oś $OX$.

Poprawna odpowiedź: C)

Rozwiązanie:

1. Krok 1 – Wyznaczenie drugiego wyrazu ciągu.

   Korzystamy z wzoru rekurencyjnego $a_{n+1} = 2a_n + 1$ dla $n = 1$:

   $$a_2 = 2a_1 + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$$

2. Krok 2 – Wyznaczenie trzeciego wyrazu ciągu.

   Stosujemy wzór rekurencyjny dla $n = 2$:

   $$a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 11$$

3. Krok 3 – Analiza odpowiedzi.

   • Odpowiedź A) 4 – błędna. Wynik $4$ mógłby powstać np. przez obliczenie $2 \cdot 2 = 4$, czyli pominięcie składnika $+1$ we wzorze rekurencyjnym.
   • Odpowiedź B) 5 – błędna. Wartość $5$ to drugi wyraz ciągu ($a_2 = 5$), nie trzeci.
   • Odpowiedź C) 7 – błędna. Wynik $7$ mógłby powstać przez błędne obliczenie $2 \cdot 3 + 1 = 7$, gdzie zamiast $a_2 = 5$ podstawiono niepoprawną wartość $3$.
   • Odpowiedź D) 11 – poprawna. Zgodnie z obliczeniami: $a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 11$.

Wynik końcowy: Trzeci wyraz ciągu wynosi $a_3 = \mathbf{11}$, co odpowiada odpowiedzi D.

Rozwiązujemy zadanie, wyznaczając kilka wyrazów ciągu i sprawdzając własności ciągu arytmetycznego oraz geometrycznego.

1. Krok 1: Wyznaczenie kolejnych wyrazów ciągu

   Korzystamy z definicji rekurencyjnej $a_{n+1} = 2a_n + 1$ przy $a_1 = 2$:

   $$a_1 = 2$$ $$a_2 = 2 \cdot a_1 + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$$ $$a_3 = 2 \cdot a_2 + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 11$$ $$a_4 = 2 \cdot a_3 + 1 = 2 \cdot 11 + 1 = 23$$
2. Krok 2: Sprawdzenie, czy ciąg jest arytmetyczny

   Ciąg jest arytmetyczny, gdy różnice między kolejnymi wyrazami są stałe, tzn. $a_{n+1} - a_n = \text{const}$.

   Obliczamy różnice kolejnych wyrazów:

   $$a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$$ $$a_3 - a_2 = 11 - 5 = 6$$ $$a_4 - a_3 = 23 - 11 = 12$$

   Różnice są różne ($3 \neq 6 \neq 12$), więc ciąg nie jest arytmetyczny.

   Stwierdzenie 1: F (fałsz)

3. Krok 3: Sprawdzenie, czy ciąg jest geometryczny

   Ciąg jest geometryczny, gdy ilorazy kolejnych wyrazów są stałe, tzn. $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \text{const}$.

   Obliczamy ilorazy kolejnych wyrazów:

   $$\frac{a_2}{a_1} = \frac{5}{2} = 2{,}5$$ $$\frac{a_3}{a_2} = \frac{11}{5} = 2{,}2$$ $$\frac{a_4}{a_3} = \frac{23}{11} \approx 2{,}09$$

   Ilorazy są różne ($2{,}5 \neq 2{,}2 \neq \frac{23}{11}$), więc ciąg nie jest geometryczny.

   Stwierdzenie 2: F (fałsz)

4. Krok 4: Uzasadnienie ogólne (dodatkowe)

   Różnica $a_{n+1} - a_n = (2a_n + 1) - a_n = a_n + 1$ zależy od $n$ (rośnie wraz z $n$), więc nigdy nie jest stała — ciąg nie może być arytmetyczny.

   Iloraz $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{2a_n + 1}{a_n} = 2 + \dfrac{1}{a_n}$ zależy od $n$ (maleje wraz ze wzrostem $a_n$), więc nigdy nie jest stały — ciąg nie może być geometryczny.

Odpowiedź końcowa:

Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny.  →  F

Ciąg $(a_n)$ jest geometryczny.  →  F

Aby ciąg trzyelementowy $(a_1, a_2, a_3)$ był arytmetyczny, musi zachodzić warunek: różnica między kolejnymi wyrazami jest stała, czyli:

$$a_2 - a_1 = a_3 - a_2 \quad \Longleftrightarrow \quad 2a_2 = a_1 + a_3$$

1. Krok 1. Warunek ciągu arytmetycznego

   Oznaczamy wyrazy ciągu:

   $$a_1 = 2m+11, \quad a_2 = m^2+3, \quad a_3 = 5-m$$

   Stosujemy warunek $2a_2 = a_1 + a_3$:

   $$2(m^2+3) = (2m+11)+(5-m)$$ $$2m^2 + 6 = m + 16$$ $$2m^2 - m - 10 = 0$$
2. Krok 2. Rozwiązanie równania kwadratowego

   Wyznaczamy wyróżnik:

   $$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$$ $$\sqrt{\Delta} = 9$$

   Pierwiastki równania:

   $$m_1 = \frac{1 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$$ $$m_2 = \frac{1 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$
3. Krok 3. Warunek malejącości ciągu

   Ciąg jest malejący, gdy każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, czyli różnica ciągu $r < 0$. Wystarczy sprawdzić:

   $$r = a_3 - a_2 = (5-m)-(m^2+3) = 2 - m - m^2$$

   Dla $m_1 = -2$:

   $$r = 2 - (-2) - (-2)^2 = 2 + 2 - 4 = 0$$

   Różnica wynosi $0$, więc ciąg jest stały (nie malejący). Wartość $m = -2$ odpada.

   Dla $m_2 = \dfrac{5}{2}$:

   $$r = 2 - \frac{5}{2} - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = 2 - \frac{5}{2} - \frac{25}{4} = \frac{8}{4} - \frac{10}{4} - \frac{25}{4} = -\frac{27}{4}$$

   Różnica $r = -\dfrac{27}{4} < 0$, więc ciąg jest malejący. ✓

4. Krok 4. Weryfikacja dla $m = \dfrac{5}{2}$

   Obliczamy wyrazy ciągu:

   $$a_1 = 2 \cdot \frac{5}{2} + 11 = 5 + 11 = 16$$ $$a_2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 3 = \frac{25}{4} + 3 = \frac{37}{4}$$ $$a_3 = 5 - \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$$

   Sprawdzamy: $a_2 - a_1 = \dfrac{37}{4} - 16 = \dfrac{37-64}{4} = -\dfrac{27}{4}$ oraz $a_3 - a_2 = \dfrac{5}{2} - \dfrac{37}{4} = \dfrac{10-37}{4} = -\dfrac{27}{4}$. ✓

   Ciąg $\left(16,\ \dfrac{37}{4},\ \dfrac{5}{2}\right)$ jest arytmetyczny i malejący.

Wynik końcowy:

$$\boxed{m = \dfrac{5}{2}}$$