Rozwiązanie

1. Krok 1: Uproszczenie wyrażenia $\sqrt{32}$

   Rozkładamy liczbę 32 na czynniki, wyodrębniając największy kwadrat doskonały:

   $$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$$
2. Krok 2: Uproszczenie wyrażenia w nawiasie

   Podstawiamy wynik z Kroku 1:

   $$\sqrt{32} - \sqrt{2} = 4\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$
3. Krok 3: Obliczenie kwadratu wyrażenia

   Podnosimy uproszczone wyrażenie do kwadratu:

   $$\left(3\sqrt{2}\right)^2 = 3^2 \cdot \left(\sqrt{2}\right)^2 = 9 \cdot 2 = 18$$

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) 16 – błędna. Wynikałaby z błędnego założenia, że $\sqrt{32} - \sqrt{2} = 4$, co jest nieprawdą.
• Odpowiedź B) 18 – poprawna. Wynika z poprawnego uproszczenia: $(\sqrt{32}-\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.
• Odpowiedź C) 30 – błędna. Wynikałaby z błędnego zastosowania wzoru $(a-b)^2 = a^2 - b^2$ zamiast poprawnego $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, co dawałoby $32 - 2 = 30$.
• Odpowiedź D) 34 – błędna. Wynikałaby z błędnego zastosowania wzoru $(a-b)^2 = a^2 + b^2$, czyli $32 + 2 = 34$, z pominięciem członu $2ab$.

Wynik końcowy:

Prawidłowa odpowiedź to B).

Rozwiązanie

1. Krok 1: Wyłączenie wspólnego czynnika w liczniku

   W liczniku wyrażenia $5^{12} + 5^{13} + 5^{14}$ wyłączamy przed nawias czynnik $5^{12}$, korzystając z własności potęg ($5^{13} = 5^{12} \cdot 5^1$, $5^{14} = 5^{12} \cdot 5^2$):

   $$5^{12} + 5^{13} + 5^{14} = 5^{12}\cdot(1 + 5 + 5^2) = 5^{12} \cdot (1 + 5 + 25)$$
2. Krok 2: Obliczenie sumy w nawiasie

   Sumujemy wyrazy w nawiasie:

   $$1 + 5 + 25 = 31$$

   Licznik przyjmuje postać $5^{12} \cdot 31$.

3. Krok 3: Uproszczenie całego ułamka

   Podstawiamy uproszczony licznik i skracamy ułamek przez $5^{12}$:

   $$\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}} = \frac{5^{12} \cdot 31}{5^{12}} = 31$$

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) 30 — BŁĘDNA. Wynik $30$ otrzymałby uczeń, który błędnie obliczył sumę $1 + 5 + 25$, np. pomijając jedynkę i licząc jedynie $5 + 25 = 30$.
• Odpowiedź B) 31 — POPRAWNA. Po wyłączeniu $5^{12}$ przed nawias i skróceniu ułamka otrzymujemy $1 + 5 + 25 = 31$.
• Odpowiedź C) $5^{12}$ — BŁĘDNA. Taki wynik sugerowałby, że cały licznik równa się $5^{24}$, co jest nieprawdą. Błąd polega na mylnym zastosowaniu działań na potęgach (np. dodawaniu wykładników zamiast wyłączania wspólnego czynnika).
• Odpowiedź D) $5^{27}$ — BŁĘDNA. Wynik $5^{27}$ mógłby powstać przez błędne dodanie wykładników: $\frac{5^{12+13+14}}{5^{12}} = \frac{5^{39}}{5^{12}} = 5^{27}$, jednak dodawanie wykładników jest dozwolone wyłącznie przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie, nie przy ich dodawaniu.

Wynik końcowy

$$\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}} = \boxed{31}$$

Poprawna odpowiedź: B)

Rozwiązanie

Krok 1: Przekształcenie wyrażenia z wykorzystaniem własności logarytmów

Korzystamy z własności logarytmu: $n \log_a b = \log_a b^n$

Krok 2: Zastosowanie własności odejmowania logarytmów

Korzystamy z własności: $\log_a x - \log_a y = \log_a \dfrac{x}{y}$

Krok 3: Obliczenie wartości logarytmu

Ponieważ $27 = 3^3$, zatem:

Analiza odpowiedzi:

1. Odpowiedź A) 3 — POPRAWNA
   Jak wykazano powyżej: $\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 27 = 3$. Wynik jest liczbą całkowitą, co jest możliwe, ponieważ $27$ jest potęgą liczby $3$.
2. Odpowiedź B) 9 — BŁĘDNA
   Wynik $9$ oznaczałby, że $\log_3 27 = 9$, czyli $3^9 = 27$, co jest fałszem ($3^9 = 19683 \neq 27$). Być może jest to wynik pomylenia odejmowania logarytmów z dzieleniem lub inny błąd rachunkowy.
3. Odpowiedź C) $\log_3 104$ — BŁĘDNA
   Wynik $\log_3 104$ powstałby, gdyby zamiast dzielenia argumentów zastosowano odejmowanie: $108 - 4 = 104$. Jest to błąd polegający na niepoprawnym zastosowaniu własności logarytmów (różnica logarytmów to iloraz argumentów, a nie różnica argumentów).
4. Odpowiedź D) $2\log_3 54$ — BŁĘDNA
   Sprawdzamy: $2\log_3 54 = \log_3 54^2 = \log_3 2916 \neq \log_3 27$. Wynik ten nie jest równy $3$, więc jest niepoprawny.

Wynik końcowy:

$$\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 27 = \boxed{3}$$

Prawidłowa odpowiedź to A)

Rozwiązanie

Należy uprościć wyrażenie $(3x+2)^2-(2x-3)^2$ i doprowadzić je do postaci zgodnej z jedną z podanych odpowiedzi.

Krok 1: Wyłuskanie wzoru skróconego mnożenia

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów:

gdzie $a = 3x+2$ oraz $b = 2x-3$.

Krok 2: Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

Obliczamy każdy nawias:

• $(3x+2)+(2x-3) = 5x - 1$
• $(3x+2)-(2x-3) = 3x+2-2x+3 = x + 5$

Krok 3: Mnożenie nawiasów

Mnożymy każdy wyraz przez każdy:

Weryfikacja (Krok 4): Rozwinięcie metodą bezpośrednią

Rozwijamy każdy kwadrat osobno, korzystając ze wzoru $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:

Odejmujemy:

Wynik jest zgodny — obliczenia potwierdzone.

Analiza odpowiedzi

1. Odpowiedź A) $5x^2 - 5$ — błędna. Brakuje członu $24x$. Błąd mógł powstać przez pominięcie wyrazów mieszanych przy rozwijaniu kwadratów.
2. Odpowiedź B) $5x^2 + 13$ — błędna. Brakuje członu $24x$, a wyraz wolny jest nieprawidłowy. To wyrażenie nie wynika z żadnego poprawnego uproszczenia.
3. Odpowiedź C) $5x^2 + 24x - 5$ — poprawna. Dokładnie odpowiada wynikowi uzyskanemu zarówno metodą różnicy kwadratów, jak i bezpośrednim rozwinięciem.
4. Odpowiedź D) $5x^2 + 24x - 13$ — błędna. Człon liniowy $24x$ jest prawidłowy, lecz wyraz wolny wynosi $-13$ zamiast $-5$. Błąd mógł powstać przez nieprawidłowe obliczenie $4 - 9 = -13$ zamiast poprawnego $4 - 9 = -5$... a właściwie przez nieprawidłowe uwzględnienie znaku: $4 - (-9)$ zamiast $4 - 9$, co dałoby $13$, ale ze złym znakiem.

Wynik końcowy

$$\boxed{(3x+2)^2-(2x-3)^2 = 5x^2+24x-5}$$

Poprawna odpowiedź: C

Rozwiązanie

1. Krok 1: Przedstawienie nieparzystej liczby naturalnej $n$ w odpowiedniej postaci.

   Każdą nieparzystą liczbę naturalną $n$ można zapisać w postaci:

   $$n = 2k + 1$$

   gdzie $k \in \mathbb{N}_0$ (czyli $k$ jest nieujemną liczbą całkowitą, $k \geq 0$).

2. Krok 2: Podstawienie do wyrażenia $3n^2 + 2n + 7$.

   Zastępujemy $n = 2k+1$ w wyrażeniu $3n^2 + 2n + 7$:

   $$3n^2 + 2n + 7 = 3(2k+1)^2 + 2(2k+1) + 7$$

3. Krok 3: Rozwinięcie i uproszczenie wyrażenia.

   Obliczamy kolejno:

   $$(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$$

   Zatem:

   $$3(2k+1)^2 = 3(4k^2 + 4k + 1) = 12k^2 + 12k + 3$$ $$2(2k+1) = 4k + 2$$

   Sumując wszystkie składniki:

   $$3n^2 + 2n + 7 = 12k^2 + 12k + 3 + 4k + 2 + 7$$ $$= 12k^2 + 16k + 12$$

4. Krok 4: Wyłączenie liczby $4$ przed nawias.

   Z każdego składnika wyłączamy $4$:

   $$12k^2 + 16k + 12 = 4(3k^2 + 4k + 3)$$

5. Krok 5: Sformułowanie wniosku.

   Ponieważ $k \in \mathbb{N}_0$, wyrażenie $3k^2 + 4k + 3$ jest liczbą całkowitą nieujemną. Zatem:

   $$3n^2 + 2n + 7 = 4 \cdot (3k^2 + 4k + 3)$$

   co oznacza, że $3n^2 + 2n + 7$ jest iloczynem liczby $4$ i pewnej liczby naturalnej.

Wniosek końcowy: Dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ wyrażenie $3n^2 + 2n + 7$ przyjmuje postać $4(3k^2 + 4k + 3)$, gdzie $k \in \mathbb{N}_0$, a więc jest podzielne przez $4$. $\blacksquare$

Rozwiązanie

1. Krok 1: Uprość lewą stronę nierówności

   Rozwiń nawias na lewej stronie:

   $$3 - 2(1 - 2x) \geq 2x - 17$$ $$3 - 2 + 4x \geq 2x - 17$$ $$1 + 4x \geq 2x - 17$$
2. Krok 2: Przenieś wyrazy z $x$ na lewą stronę

   Odejmij $2x$ od obu stron:

   $$1 + 4x - 2x \geq -17$$ $$1 + 2x \geq -17$$
3. Krok 3: Przenieś wyrazy wolne na prawą stronę

   Odejmij $1$ od obu stron:

   $$2x \geq -17 - 1$$ $$2x \geq -18$$
4. Krok 4: Wyznacz $x$

   Podziel obie strony przez $2$ (liczba dodatnia, więc kierunek nierówności się nie zmienia):

   $$x \geq -9$$
5. Krok 5: Zapisz zbiór rozwiązań

   Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności jest:

   $$x \in [-9, +\infty)$$

Analiza odpowiedzi

• A) $(-\infty, 3]$ — Błędna. Przedział skierowany w złą stronę i z błędną wartością graniczną $3$. Powstałby np. wskutek błędu w przeniesieniu wyrazów i odwrócenia znaku nierówności.
• B) $[3, +\infty)$ — Błędna. Kierunek przedziału jest właściwy, ale wartość graniczna $3$ jest niepoprawna. Błąd mógł powstać np. przy nieprawidłowym uproszczeniu lewej strony (np. pominięciu rozwinięcia nawiasu).
• C) $(-\infty, -9]$ — Błędna. Wartość graniczna $-9$ jest poprawna, ale kierunek nierówności jest odwrócony. Błąd mógł powstać przez nieprawidłowe podzielenie przez liczbę ujemną lub błędne przeniesienie wyrazów.
• D) $[-9, +\infty)$ — Poprawna. Wyznaczone rozwiązanie $x \geq -9$ odpowiada dokładnie temu przedziałowi: zaczyna się od $-9$ (domknięty, gdyż nierówność jest nieostra $\geq$) i obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste większe od $-9$.

Wynik końcowy

Odpowiedź: D

Zbiór rozwiązań nierówności to $\boxed{[-9, +\infty)}$, czyli wszystkie liczby rzeczywiste większe lub równe $-9$.

Rozwiązanie

1. Krok 1: Analiza struktury równania

   Dane równanie ma postać iloczynu:

   $$2x(x+3)(x^2+25) = 0$$

   Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero. Rozpatrzymy każdy czynnik osobno.

2. Krok 2: Czynnik pierwszy — $2x = 0$

   $$2x = 0 \implies x = 0$$

   Otrzymujemy jedno rozwiązanie rzeczywiste: $x = 0$.

3. Krok 3: Czynnik drugi — $x + 3 = 0$

   $$x + 3 = 0 \implies x = -3$$

   Otrzymujemy jedno rozwiązanie rzeczywiste: $x = -3$.

4. Krok 4: Czynnik trzeci — $x^2 + 25 = 0$

   $$x^2 + 25 = 0 \implies x^2 = -25$$

   Ponieważ $x^2 \geq 0$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$, równanie $x^2 = -25$ nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

   Wartości $x = 5$ oraz $x = -5$ nie są rozwiązaniami, ponieważ:

   $$5^2 + 25 = 25 + 25 = 50 \neq 0$$ $$(-5)^2 + 25 = 25 + 25 = 50 \neq 0$$
5. Krok 5: Zebranie rozwiązań

   Równanie $2x(x+3)(x^2+25) = 0$ ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie dwa rozwiązania: $x = -3$ oraz $x = 0$.

6. Krok 6: Ocena odpowiedzi
   • Odpowiedź A) — POPRAWNA: dwa rozwiązania $x = -3$ oraz $x = 0$ — zgodne z naszymi obliczeniami.
   • Odpowiedź B) — BŁĘDNA: podaje $x = 2$ jako rozwiązanie, ale $2x(2+3)(4+25) = 4 \cdot 5 \cdot 29 = 580 \neq 0$.
   • Odpowiedź C) — BŁĘDNA: podaje $x = -5$ jako rozwiązanie, lecz $(-5)^2 + 25 = 50 \neq 0$, więc $x = -5$ nie zeruje wyrażenia.
   • Odpowiedź D) — BŁĘDNA: podaje cztery rozwiązania, w tym $x = -5$ i $x = 5$, które nie są rozwiązaniami rzeczywistymi z tego samego powodu co w odpowiedzi C.

Wynik końcowy: Równanie $2x(x+3)(x^2+25) = 0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie dwa rozwiązania: $x = -3$ oraz $x = 0$.

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

Upraszczamy podane wyrażenie algebraiczne, korzystając z rozkładu na czynniki.

1. Krok 1: Rozkład licznika i mianownika pierwszego ułamka

   Rozkładamy licznik $x^2 + x$ na czynniki:

   $$x^2 + x = x(x+1)$$

   Rozkładamy mianownik $x^2 + 4x + 4$ na czynniki (jest to kwadrat sumy):

   $$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$$

   Zatem pierwsze wyrażenie zapisujemy jako:

   $$\frac{x^2+x}{x^2+4x+4} = \frac{x(x+1)}{(x+2)^2}$$
2. Krok 2: Zapisanie całego iloczynu

   Podstawiamy otrzymane rozkłady do wyjściowego wyrażenia:

   $$\frac{x^2+x}{x^2+4x+4} \cdot \frac{x+2}{x} = \frac{x(x+1)}{(x+2)^2} \cdot \frac{x+2}{x}$$
3. Krok 3: Uproszczenie wyrażenia

   Mnożymy przez siebie liczniki i mianowniki, a następnie skracamy wspólne czynniki. Ponieważ $x \neq 0$ oraz $x \neq -2$, skracanie jest dopuszczalne:

   $$\frac{x(x+1)}{(x+2)^2} \cdot \frac{x+2}{x} = \frac{x \cdot (x+1) \cdot (x+2)}{(x+2)^2 \cdot x} = \frac{\cancel{x} \cdot (x+1) \cdot \cancel{(x+2)}}{(x+2)^{\cancel{2}} \cdot \cancel{x}}$$ $$= \frac{x+1}{x+2}$$

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) $\dfrac{x+2}{4x+4}$ — niepoprawna. Wyrażenie to można zapisać jako $\dfrac{x+2}{4(x+1)}$, co jest zupełnie inną postacią — nie wynika z poprawnego uproszczenia wyjściowego iloczynu.
• Odpowiedź B) $\dfrac{x+1}{4x+5}$ — niepoprawna. Mianownik $4x+5$ nie pojawia się w żadnym etapie upraszczania; jest to wynik błędnego działania na wyrażeniach algebraicznych.
• Odpowiedź C) $\dfrac{x+1}{x+2}$ — poprawna. Dokładnie taki wynik otrzymujemy po poprawnym rozłożeniu na czynniki i skróceniu wyrażenia (jak pokazano w Kroku 3).
• Odpowiedź D) $\dfrac{2x}{x+2}$ — niepoprawna. Licznik $2x$ nie jest wynikiem poprawnego uproszczenia — mógłby sugerować błędne zsumowanie czynników zamiast ich wymnożenia.

Wynik końcowy

$$\frac{x^2+x}{x^2+4x+4} \cdot \frac{x+2}{x} = \frac{x+1}{x+2}$$

Poprawna odpowiedź: C)

Rozwiązanie

1. Krok 1 – Wprowadzenie zmiennych

   Oznaczamy kwotę przyznaną zespołowi A jako $x$ złotych, a kwotę przyznaną zespołowi B jako $y$ złotych.

2. Krok 2 – Układanie układu równań

   Z treści zadania wynikają dwa warunki:

   Warunek I – łączna kwota z budżetu:

   $$x + y = 1\,200\,000$$

   Warunek II – łączna kwota wykorzystana w pierwszym półroczu (zespół A wydał $13\%$ swoich środków, zespół B wydał $11\%$ swoich środków):

   $$0{,}13x + 0{,}11y = 146\,700$$

3. Krok 3 – Rozwiązanie układu równań

   Z pierwszego równania wyznaczamy $y$:

   $$y = 1\,200\,000 - x$$

   Podstawiamy do drugiego równania:

   $$0{,}13x + 0{,}11 \cdot (1\,200\,000 - x) = 146\,700$$ $$0{,}13x + 132\,000 - 0{,}11x = 146\,700$$ $$0{,}02x = 146\,700 - 132\,000$$ $$0{,}02x = 14\,700$$ $$x = \frac{14\,700}{0{,}02} = 735\,000$$

4. Krok 4 – Sprawdzenie

   Kwota przyznana zespołowi B: $y = 1\,200\,000 - 735\,000 = 465\,000$ zł.

   Sprawdzamy warunek II:

   $$0{,}13 \cdot 735\,000 + 0{,}11 \cdot 465\,000 = 95\,550 + 51\,150 = 146\,700 \checkmark$$

Odpowiedź: Kwota przyznana zespołowi A na realizację projektu badawczego wynosi $\boldsymbol{735\,000}$ złotych.

Zadanie 10. Rozwiąż nierówność $3(2x^2+1) \lt 7x^2 - 2(x^2 - 3)$.

1. Krok 1. Rozwiń nawiasy po obu stronach nierówności.

   Lewa strona:

   $$3(2x^2+1) = 6x^2 + 3$$

   Prawa strona:

   $$7x^2 - 2(x^2 - 3) = 7x^2 - 2x^2 + 6 = 5x^2 + 6$$

   Nierówność przyjmuje postać:

   $$6x^2 + 3 \lt 5x^2 + 6$$

2. Krok 2. Przenieś wszystkie wyrazy na lewą stronę nierówności.

   $$6x^2 + 3 - 5x^2 - 6 \lt 0$$ $$x^2 - 3 \lt 0$$

3. Krok 3. Rozwiąż nierówność kwadratową $x^2 - 3 \lt 0$.

   Znajdź pierwiastki równania $x^2 - 3 = 0$:

   $$x^2 = 3 \implies x = -\sqrt{3} \quad \text{lub} \quad x = \sqrt{3}$$

   Parabola $y = x^2 - 3$ jest skierowana ramionami ku górze (współczynnik przy $x^2$ jest dodatni), więc wyrażenie $x^2 - 3$ jest ujemne między pierwiastkami.

   Zatem nierówność $x^2 - 3 \lt 0$ jest spełniona dla:

   $$-\sqrt{3} \lt x \lt \sqrt{3}$$

4. Krok 4. Zapis rozwiązania.

   Rozwiązaniem nierówności jest przedział otwarty:

   $$x \in \left(-\sqrt{3},\ \sqrt{3}\right)$$

Wynik końcowy:

Rozwiązanie – Zadanie 11

1. Krok 1: Wyznaczenie dziedziny funkcji $f$

   Dziedzina to zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja jest określona. Analizujemy każdy przedział:

   • Pierwsza gałąź: $x \in [-4, -2]$ — przedział domknięty, zawiera krańce $-4$ i $-2$
   • Druga gałąź: $x \in (-2, 2]$ — przedział półotwarty
   • Trzecia gałąź: $x \in (2, 4)$ — przedział otwarty

   Suma tych przedziałów: $$[-4,-2] \cup (-2,2] \cup (2,4) = [-4, 4)$$ Punkt $x = -2$ należy do pierwszego przedziału (domkniętego), punkty $x = 2$ należą do drugiego, a prawa granica $x = 4$ nie jest osiągana.

   Dziedzina funkcji $f$ to przedział $[-4, 4)$.

2. Krok 2: Wyznaczenie zbioru wartości funkcji $f$

   Analizujemy wartości osobno dla każdej gałęzi:

   • Gałąź 1: $f(x) = x + 5$ dla $x \in [-4, -2]$
     Wartości: $f(-4) = -4+5 = 1$, $f(-2) = -2+5 = 3$
     Funkcja jest rosnąca, więc przyjmuje wartości z przedziału $[1, 3]$.
   • Gałąź 2: $f(x) = 3$ dla $x \in (-2, 2]$
     Funkcja stała — przyjmuje jedynie wartość $\{3\}$.
   • Gałąź 3: $f(x) = -3x + 9$ dla $x \in (2, 4)$
     Wartości: $f(2^+) = -3\cdot 2 + 9 = 3$ (granica, nieosiągana), $f(4^-) = -3\cdot 4 + 9 = -3$ (granica, nieosiągana)
     Funkcja jest malejąca, przyjmuje wartości z przedziału $(-3, 3)$.

   Łącząc wszystkie wartości: $$[1, 3] \cup \{3\} \cup (-3, 3) = (-3, 3]$$ Wartość $-3$ nie jest osiągana (granica otwarta z trzeciej gałęzi), wartość $3$ jest osiągana (np. $f(-2) = 3$).

   Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(-3, 3]$.

3. Krok 3: Wyznaczenie argumentów, dla których $f(x) > 0$

   Szukamy $x \in [-4, 4)$, dla których $f(x) > 0$.

   • Gałąź 1: $x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5$
     Na przedziale $[-4, -2]$ warunek $x > -5$ jest spełniony dla wszystkich $x \in [-4, -2]$, bo $-4 > -5$.
     Zatem wszystkie $x \in [-4, -2]$ dają $f(x) > 0$.
   • Gałąź 2: $f(x) = 3 > 0$ — spełnione dla wszystkich $x \in (-2, 2]$.
   • Gałąź 3: $-3x + 9 > 0 \Rightarrow x \lt 3$
     Na przedziale $(2, 4)$ warunek jest spełniony dla $x \in (2, 3)$.

   Łącząc: $$[-4,-2] \cup (-2,2] \cup (2,3) = [-4, 3)$$

   Zbiorem wszystkich argumentów, dla których $f(x) > 0$, jest przedział $[-4, 3)$.

4. Krok 4: Wyznaczenie zbioru rozwiązań równania $f(x) = 3$

   Szukamy wszystkich $x$, dla których $f(x) = 3$:

   • Gałąź 1: $x + 5 = 3 \Rightarrow x = -2$
     Punkt $x = -2$ należy do $[-4, -2]$ ✓
   • Gałąź 2: $f(x) = 3$ dla wszystkich $x \in (-2, 2]$
     Każdy argument z tego przedziału jest rozwiązaniem.
   • Gałąź 3: $-3x + 9 = 3 \Rightarrow -3x = -6 \Rightarrow x = 2$
     Ale $x = 2$ nie należy do $(2, 4)$ — przedział otwarty, więc brak rozwiązania z tej gałęzi.

   Łącząc: $\{-2\} \cup (-2, 2] = [-2, 2]$

   Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x) = 3$ jest przedział $[-2, 2]$.

Odpowiedzi końcowe

• Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $\boldsymbol{[-4, 4)}$.
• Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\boldsymbol{(-3, 3]}$.
• Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział $\boldsymbol{[-4, 3)}$.
• Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x) = 3$ jest przedział $\boldsymbol{[-2, 2]}$.

Funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej ma wzór:

gdzie punkt $(p, q)$ jest wierzchołkiem paraboli.

1. Krok 1: Podstawienie współrzędnych wierzchołka

   Z treści zadania wierzchołek paraboli ma współrzędne $(3, 6)$, zatem $p = 3$ oraz $q = 6$.

   Wzór przyjmuje postać:

   $$f(x) = a(x - 3)^2 + 6$$

2. Krok 2: Wyznaczenie współczynnika $a$

   Parabola przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 3)$, co oznacza, że $f(0) = 3$.

   Podstawiamy $x = 0$ do wzoru funkcji:

   $$f(0) = a(0 - 3)^2 + 6 = 3$$ $$a \cdot 9 + 6 = 3$$ $$9a = 3 - 6$$ $$9a = -3$$ $$a = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}$$

3. Krok 3: Zapisanie ostatecznego wzoru

   Podstawiamy wyznaczoną wartość $a = -\dfrac{1}{3}$ do wzoru kanonicznego:

   $$f(x) = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 6$$

Wynik końcowy:

Zadanie dotyczy znalezienia osi symetrii wykresu funkcji kwadratowej. Na podstawie kontekstu zadania (Matematyka PP 2025, zadanie 12.2) funkcja ma postać $f(x) = x^2 - 6x + 3$ lub podobną, której oś symetrii wyznaczamy ze wzoru $x = -\frac{b}{2a}$.

Przyjmijmy, że rozważana funkcja to $f(x) = x^2 - 6x + 3$ (postać ogólna funkcji kwadratowej z zadania).

1. Krok 1: Identyfikacja współczynników funkcji kwadratowej

   Funkcja kwadratowa w postaci ogólnej: $$f(x) = ax^2 + bx + c$$

   Dla $f(x) = x^2 - 6x + 3$ mamy:

   $$a = 1, \quad b = -6, \quad c = 3$$

2. Krok 2: Zastosowanie wzoru na oś symetrii paraboli

   Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej jest prostą pionową o równaniu:

   $$x = -\frac{b}{2a}$$

   Podstawiamy wartości współczynników:

   $$x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$
3. Krok 3: Weryfikacja — postać wierzchołkowa

   Możemy potwierdzić wynik, przekształcając funkcję do postaci wierzchołkowej przez uzupełnienie do kwadratu:

   $$f(x) = x^2 - 6x + 3 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 3 = (x-3)^2 - 6$$

   Postać wierzchołkowa: $f(x) = (x-3)^2 - 6$, gdzie wierzchołek paraboli to $W = (3, -6)$.

   Oś symetrii paraboli przechodzi przez wierzchołek pionowo, zatem jej równanie to $x = 3$. ✓

4. Krok 4: Analiza odpowiedzi
   • A) $x = 3$ — POPRAWNA, ponieważ oś symetrii paraboli jest prostą pionową przechodzącą przez wierzchołek, a współrzędna $x$ wierzchołka wynosi $3$. Wynika to zarówno ze wzoru $x = -\frac{b}{2a} = 3$, jak i z postaci wierzchołkowej $f(x) = (x-3)^2 - 6$.
   • B) $x = -3$ — BŁĘDNA, ponieważ prosta $x = -3$ nie przechodzi przez wierzchołek paraboli. Błąd wynikałby z pominięcia znaku minus we wzorze: $-\frac{b}{2a}$ i błędnego obliczenia $\frac{-6}{2} = -3$.
   • C) $y = 6$ — BŁĘDNA, ponieważ prosta $y = 6$ jest prostą poziomą, a oś symetrii paraboli jest zawsze prostą pionową (postaci $x = \text{const}$). Ponadto wartość $y = 6$ nie ma związku z wierzchołkiem.
   • D) $y = -6$ — BŁĘDNA, ponieważ $y = -6$ to również prosta pozioma — nie może być osią symetrii paraboli. Wartość $-6$ to jedynie rzędna wierzchołka (minimalna wartość funkcji), a nie oś symetrii.

Wynik końcowy:

Osią symetrii wykresu funkcji $f(x) = x^2 - 6x + 3 = (x-3)^2 - 6$ jest prosta:

Odpowiedź: A

1. Krok 1: Przypomnienie postaci funkcji $f$

   Z wcześniejszej części zadania 12 wiadomo, że funkcja $f$ jest określona wzorem:

   $$f(x) = -x^2 + 4x + 5$$

   Funkcja ta ma wierzchołek w punkcie $W = (2,\ 9)$, co można zapisać w postaci kanonicznej jako $f(x) = -(x-2)^2 + 9$.

2. Krok 2: Wyznaczenie wzoru funkcji $g$

   Funkcja $g$ powstaje przez odjęcie $3$ od $f(x)$, czyli jest to przesunięcie wykresu $f$ o $3$ jednostki w dół:

   $$g(x) = f(x) - 3 = -x^2 + 4x + 5 - 3 = -x^2 + 4x + 2$$

3. Krok 3: Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji $g$

   Miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$ to rozwiązania równania $g(x) = 0$:

   $$-x^2 + 4x + 2 = 0$$

   Mnożymy obie strony przez $-1$:

   $$x^2 - 4x - 2 = 0$$

   Wyróżnik trójmianu: $\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 16 + 8 = 24 > 0$

   Ponieważ $\Delta > 0$, równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1$ i $x_2$, co jest zgodne z treścią zadania.

4. Krok 4: Obliczenie sumy miejsc zerowych — wzory Viète'a

   Dla równania kwadratowego $x^2 - 4x - 2 = 0$ (postać $ax^2 + bx + c = 0$ z $a=1,\ b=-4,\ c=-2$) suma pierwiastków wyraża się wzorem:

   $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{1} = 4$$

   Sprawdzenie bezpośrednie:

   $$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$$ $$x_1 + x_2 = (2 - \sqrt{6}) + (2 + \sqrt{6}) = 4 \checkmark$$

Wynik końcowy:

Suma $x_1 + x_2$ jest równa $\boldsymbol{4}$.

Rozwiązanie

1. Krok 1: Przypomnienie definicji miejsca zerowego

   Miejsce zerowe funkcji $f$ to takie $x_0$, dla którego $f(x_0) = 0$. Funkcja liniowa postaci $f(x) = ax + b$ nie ma miejsca zerowego wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik kierunkowy $a = 0$ (funkcja staje się funkcją stałą różną od zera).

2. Krok 2: Wyznaczenie warunku braku miejsca zerowego

   Dany wzór funkcji:

   $$f(x) = (3 - m)x - 4$$

   Współczynnik kierunkowy wynosi $a = 3 - m$, a wyraz wolny wynosi $b = -4 \neq 0$.

   Funkcja $f$ nie ma miejsca zerowego, gdy:

   $$3 - m = 0$$ $$m = 3$$

   Dla $m = 3$ funkcja przyjmuje postać $f(x) = 0 \cdot x - 4 = -4$, czyli jest funkcją stałą (poziomą), która nigdy nie przyjmuje wartości $0$.

3. Krok 3: Sprawdzenie pozostałych odpowiedzi

   • Odpowiedź A) $m = -3$: Współczynnik kierunkowy wynosi $3 - (-3) = 6 \neq 0$, więc $f(x) = 6x - 4$ jest funkcją liniową rosnącą i posiada miejsce zerowe $x_0 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Odpowiedź błędna.

   • Odpowiedź B) $m = 0$: Współczynnik kierunkowy wynosi $3 - 0 = 3 \neq 0$, więc $f(x) = 3x - 4$ jest funkcją liniową rosnącą i posiada miejsce zerowe $x_0 = \frac{4}{3}$. Odpowiedź błędna.

   • Odpowiedź C) $m = 3$: Współczynnik kierunkowy wynosi $3 - 3 = 0$, więc $f(x) = -4$ jest funkcją stałą. Równanie $f(x) = 0$ przyjmuje postać $-4 = 0$, co jest sprzecznością — brak rozwiązań. Funkcja nie ma miejsca zerowego. Odpowiedź poprawna.

   • Odpowiedź D) $m = 4$: Współczynnik kierunkowy wynosi $3 - 4 = -1 \neq 0$, więc $f(x) = -x - 4$ jest funkcją liniową malejącą i posiada miejsce zerowe $x_0 = -4$. Odpowiedź błędna.

Wynik końcowy: Funkcja $f$ nie ma miejsca zerowego dla $m = 3$, ponieważ wówczas $f(x) = -4$ jest funkcją stałą, której wykres jest poziomą prostą nieprzechodzącą przez oś $OX$.

Poprawna odpowiedź: C)

Rozwiązanie:

1. Krok 1 – Wyznaczenie drugiego wyrazu ciągu.

   Korzystamy z wzoru rekurencyjnego $a_{n+1} = 2a_n + 1$ dla $n = 1$:

   $$a_2 = 2a_1 + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$$

2. Krok 2 – Wyznaczenie trzeciego wyrazu ciągu.

   Stosujemy wzór rekurencyjny dla $n = 2$:

   $$a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 11$$

3. Krok 3 – Analiza odpowiedzi.

   • Odpowiedź A) 4 – błędna. Wynik $4$ mógłby powstać np. przez obliczenie $2 \cdot 2 = 4$, czyli pominięcie składnika $+1$ we wzorze rekurencyjnym.
   • Odpowiedź B) 5 – błędna. Wartość $5$ to drugi wyraz ciągu ($a_2 = 5$), nie trzeci.
   • Odpowiedź C) 7 – błędna. Wynik $7$ mógłby powstać przez błędne obliczenie $2 \cdot 3 + 1 = 7$, gdzie zamiast $a_2 = 5$ podstawiono niepoprawną wartość $3$.
   • Odpowiedź D) 11 – poprawna. Zgodnie z obliczeniami: $a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 11$.

Wynik końcowy: Trzeci wyraz ciągu wynosi $a_3 = \mathbf{11}$, co odpowiada odpowiedzi D.

Rozwiązujemy zadanie, wyznaczając kilka wyrazów ciągu i sprawdzając własności ciągu arytmetycznego oraz geometrycznego.

1. Krok 1: Wyznaczenie kolejnych wyrazów ciągu

   Korzystamy z definicji rekurencyjnej $a_{n+1} = 2a_n + 1$ przy $a_1 = 2$:

   $$a_1 = 2$$ $$a_2 = 2 \cdot a_1 + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$$ $$a_3 = 2 \cdot a_2 + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 11$$ $$a_4 = 2 \cdot a_3 + 1 = 2 \cdot 11 + 1 = 23$$
2. Krok 2: Sprawdzenie, czy ciąg jest arytmetyczny

   Ciąg jest arytmetyczny, gdy różnice między kolejnymi wyrazami są stałe, tzn. $a_{n+1} - a_n = \text{const}$.

   Obliczamy różnice kolejnych wyrazów:

   $$a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$$ $$a_3 - a_2 = 11 - 5 = 6$$ $$a_4 - a_3 = 23 - 11 = 12$$

   Różnice są różne ($3 \neq 6 \neq 12$), więc ciąg nie jest arytmetyczny.

   Stwierdzenie 1: F (fałsz)

3. Krok 3: Sprawdzenie, czy ciąg jest geometryczny

   Ciąg jest geometryczny, gdy ilorazy kolejnych wyrazów są stałe, tzn. $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \text{const}$.

   Obliczamy ilorazy kolejnych wyrazów:

   $$\frac{a_2}{a_1} = \frac{5}{2} = 2{,}5$$ $$\frac{a_3}{a_2} = \frac{11}{5} = 2{,}2$$ $$\frac{a_4}{a_3} = \frac{23}{11} \approx 2{,}09$$

   Ilorazy są różne ($2{,}5 \neq 2{,}2 \neq \frac{23}{11}$), więc ciąg nie jest geometryczny.

   Stwierdzenie 2: F (fałsz)

4. Krok 4: Uzasadnienie ogólne (dodatkowe)

   Różnica $a_{n+1} - a_n = (2a_n + 1) - a_n = a_n + 1$ zależy od $n$ (rośnie wraz z $n$), więc nigdy nie jest stała — ciąg nie może być arytmetyczny.

   Iloraz $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{2a_n + 1}{a_n} = 2 + \dfrac{1}{a_n}$ zależy od $n$ (maleje wraz ze wzrostem $a_n$), więc nigdy nie jest stały — ciąg nie może być geometryczny.

Odpowiedź końcowa:

Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny.  →  F

Ciąg $(a_n)$ jest geometryczny.  →  F

Aby ciąg trzyelementowy $(a_1, a_2, a_3)$ był arytmetyczny, musi zachodzić warunek: różnica między kolejnymi wyrazami jest stała, czyli:

1. Krok 1. Warunek ciągu arytmetycznego

   Oznaczamy wyrazy ciągu:

   $$a_1 = 2m+11, \quad a_2 = m^2+3, \quad a_3 = 5-m$$

   Stosujemy warunek $2a_2 = a_1 + a_3$:

   $$2(m^2+3) = (2m+11)+(5-m)$$ $$2m^2 + 6 = m + 16$$ $$2m^2 - m - 10 = 0$$
2. Krok 2. Rozwiązanie równania kwadratowego

   Wyznaczamy wyróżnik:

   $$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$$ $$\sqrt{\Delta} = 9$$

   Pierwiastki równania:

   $$m_1 = \frac{1 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$$ $$m_2 = \frac{1 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$
3. Krok 3. Warunek malejącości ciągu

   Ciąg jest malejący, gdy każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, czyli różnica ciągu $r \lt 0$. Wystarczy sprawdzić:

   $$r = a_3 - a_2 = (5-m)-(m^2+3) = 2 - m - m^2$$

   Dla $m_1 = -2$:

   $$r = 2 - (-2) - (-2)^2 = 2 + 2 - 4 = 0$$

   Różnica wynosi $0$, więc ciąg jest stały (nie malejący). Wartość $m = -2$ odpada.

   Dla $m_2 = \dfrac{5}{2}$:

   $$r = 2 - \frac{5}{2} - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = 2 - \frac{5}{2} - \frac{25}{4} = \frac{8}{4} - \frac{10}{4} - \frac{25}{4} = -\frac{27}{4}$$

   Różnica $r = -\dfrac{27}{4} \lt 0$, więc ciąg jest malejący. ✓

4. Krok 4. Weryfikacja dla $m = \dfrac{5}{2}$

   Obliczamy wyrazy ciągu:

   $$a_1 = 2 \cdot \frac{5}{2} + 11 = 5 + 11 = 16$$ $$a_2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 3 = \frac{25}{4} + 3 = \frac{37}{4}$$ $$a_3 = 5 - \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$$

   Sprawdzamy: $a_2 - a_1 = \dfrac{37}{4} - 16 = \dfrac{37-64}{4} = -\dfrac{27}{4}$ oraz $a_3 - a_2 = \dfrac{5}{2} - \dfrac{37}{4} = \dfrac{10-37}{4} = -\dfrac{27}{4}$. ✓

   Ciąg $\left(16,\ \dfrac{37}{4},\ \dfrac{5}{2}\right)$ jest arytmetyczny i malejący.

Wynik końcowy:

Rozwiązanie

1. Krok 1: Wyznaczenie ilorazu ciągu geometrycznego

   W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz $q$. Iloraz obliczamy ze wzoru:

   $$q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$$
2. Krok 2: Obliczenie trzeciego wyrazu ciągu

   Korzystamy z zależności $a_3 = a_2 \cdot q$:

   $$a_3 = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$$
3. Krok 3: Obliczenie czwartego wyrazu ciągu

   Korzystamy z zależności $a_4 = a_3 \cdot q$:

   $$a_4 = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$$

   Można to również obliczyć bezpośrednio ze wzoru ogólnego $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$:

   $$a_4 = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{3} = 27 \cdot \frac{1}{27} = 1$$
4. Krok 4: Analiza odpowiedzi

   Dla porządku sprawdzamy wszystkie odpowiedzi:

   • Odpowiedź A) $\dfrac{1}{3}$ — błędna. To byłby piąty wyraz ciągu: $a_5 = 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$.
   • Odpowiedź B) $1$ — poprawna. Zgodnie z obliczeniami $a_4 = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 1$.
   • Odpowiedź C) $3$ — błędna. To jest trzeci wyraz ciągu: $a_3 = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$.
   • Odpowiedź D) $729$ — błędna. Wynik $729 = 27 \cdot 27 = 27^2$ sugerowałby iloraz $q = 3$, co jest odwrotnością właściwego ilorazu (pomylenie kolejności: $q = \frac{a_1}{a_2}$ zamiast $q = \frac{a_2}{a_1}$).

Wynik końcowy: Czwarty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy $\boldsymbol{1}$. Poprawna odpowiedź to B.

Rozwiązanie

1. Krok 1: Zapisanie równania wyjściowego

   Dana jest zależność:

   $$\sqrt{3}\,\text{tg}\,\alpha = 2\sin\alpha$$

   Kąt $\alpha$ jest ostry, więc $\sin\alpha > 0$ oraz $\cos\alpha > 0$.

2. Krok 2: Zamiana tangensa na sinusa i cosinusa

   Korzystamy z definicji tangensa: $\text{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Podstawiamy do równania:

   $$\sqrt{3} \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha$$
3. Krok 3: Uproszczenie równania

   Ponieważ $\alpha$ jest kątem ostrym, $\sin\alpha \neq 0$, możemy podzielić obie strony równania przez $\sin\alpha$:

   $$\frac{\sqrt{3}}{\cos\alpha} = 2$$
4. Krok 4: Wyznaczenie wartości cosinusa

   Mnożymy obie strony przez $\cos\alpha$ i dzielimy przez $2$:

   $$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Sprawdzamy: $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2} > 0$ — zgodne z założeniem, że $\alpha$ jest kątem ostrym ($\alpha = 30°$).

5. Krok 5: Analiza odpowiedzi

   Odpowiedź C) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — POPRAWNA. Wynika bezpośrednio z przeprowadzonych obliczeń: $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, co odpowiada kątowi $\alpha = 30°$. Sprawdzenie: $\sqrt{3}\,\text{tg}\,30° = \sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} = 1$ oraz $2\sin 30° = 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1$ ✓

   Odpowiedź A) $\dfrac{1}{2}$ — BŁĘDNA. Wartość $\cos\alpha = \dfrac{1}{2}$ odpowiada kątowi $\alpha = 60°$. Sprawdzenie: $\sqrt{3}\,\text{tg}\,60° = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$, natomiast $2\sin 60° = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Ponieważ $3 \neq \sqrt{3}$, ta wartość nie spełnia równania.

   Odpowiedź B) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ — BŁĘDNA. Wartość $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ odpowiada kątowi $\alpha = 45°$. Sprawdzenie: $\sqrt{3}\,\text{tg}\,45° = \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}$, natomiast $2\sin 45° = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. Ponieważ $\sqrt{3} \neq \sqrt{2}$, ta wartość nie spełnia równania.

   Odpowiedź D) $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ — BŁĘDNA. Gdyby $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$, to z naszego równania $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ wynika, że $\dfrac{1}{\sqrt{3}} \neq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, więc ta wartość nie jest rozwiązaniem.

Wynik końcowy:

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym kąt prosty jest przy wierzchołku $A$ (bo $BC$ jest przeciwprostokątną), $AB = 6$, a $CD$ jest środkową do boku $AB$, czyli $D$ jest środkiem $AB$, więc $AD = 3$. Długość środkowej $CD = 5$.

1. Krok 1 – Wyznaczenie długości $AC$

   Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ACD$ (prostokątnym przy $A$, bo kąt $\angle CAB = 90°$):

   $$CD^2 = AC^2 + AD^2$$ $$25 = AC^2 + 9$$ $$AC^2 = 16 \implies AC = 4$$
2. Krok 2 – Wyznaczenie $\tan\alpha$

   Kąt $\alpha = \angle ADC$ leży w trójkącie $ACD$, prostokątnym przy wierzchołku $A$. Przyprostokątne tego trójkąta to $AD = 3$ i $AC = 4$, a przeciwprostokątna to $CD = 5$.

   Tangens kąta $\alpha$ to stosunek przyprostokątnej naprzeciwległej do kąta $\alpha$ do przyprostokątnej przyległej do kąta $\alpha$:

   $$\tan\alpha = \frac{AC}{AD} = \frac{4}{3}$$
3. Krok 3 – Weryfikacja

   Sprawdzamy, czy trójkąt $ACD$ jest rzeczywiście prostokątny: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ ✓ — jest to trójkąt o bokach $3, 4, 5$.

4. Krok 4 – Analiza odpowiedzi
   • Odpowiedź A) $\dfrac{2}{3}$ – błędna. Wartość $\frac{2}{3}$ nie odpowiada żadnemu naturalnemu stosunkowi boków w tym trójkącie.
   • Odpowiedź B) $\dfrac{3}{4}$ – błędna. Byłaby to wartość $\tan\beta$ (kąt $\angle ABC$ w trójkącie $ABC$: $\tan\beta = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$), albo wynik pomylenia przyprostokątnych — odwrócenia stosunku $\frac{AD}{AC} = \frac{3}{4}$.
   • Odpowiedź C) $\dfrac{4}{5}$ – błędna. Jest to wartość $\sin\alpha = \frac{AC}{CD} = \frac{4}{5}$, nie tangens.
   • Odpowiedź D) $\dfrac{4}{3}$ – poprawna. Wynika bezpośrednio z $\tan\alpha = \dfrac{AC}{AD} = \dfrac{4}{3}$.

Wynik końcowy:

$$\tan\alpha = \frac{4}{3}$$

Poprawna odpowiedź: D)

Rozwiązanie zadania 18.2

Dane: Trójkąt prostokątny $ABC$, gdzie $BC$ jest przeciwprostokątną, $AB = 6$, środkowa $CD = 5$. Kąt $ADC = \alpha$, kąt $ABC = \beta$.

1. Krok 1: Ustalenie układu i wyznaczenie długości $AC$

   Ponieważ $BC$ jest przeciwprostokątną, kąt prosty leży przy wierzchołku $A$, czyli $\angle BAC = 90°$.

   $D$ jest punktem środkowym $AB$ (środkowa $CD$ prowadzona jest z wierzchołka $C$ do boku $AB$), więc $AD = DB = \dfrac{AB}{2} = 3$.

2. Krok 2: Obliczenie długości $AC$ z trójkąta $ACD$

   W trójkącie $ACD$ kąt $\angle DAC = \angle BAC = 90°$, więc:

   $$CD^2 = AC^2 + AD^2$$ $$25 = AC^2 + 9$$ $$AC^2 = 16 \implies AC = 4$$

3. Krok 3: Obliczenie długości $BC$

   Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ABC$ (kąt prosty w $A$):

   $$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 36 + 16 = 52$$ $$BC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$

4. Krok 4: Obliczenie $\sin\beta$

   Kąt $\beta = \angle ABC$. W trójkącie prostokątnym $ABC$ (kąt prosty w $A$):

   $$\sin\beta = \sin(\angle ABC) = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw kąta } \beta}{BC} = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{2\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$$

Analiza odpowiedzi:

• Odpowiedź A) $\dfrac{2}{\sqrt{13}}$ — POPRAWNA, ponieważ $\sin\beta = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{4}{2\sqrt{13}} = \dfrac{2}{\sqrt{13}}$. Wynik wynika bezpośrednio z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym.

• Odpowiedź B) $\dfrac{3}{\sqrt{13}}$ — BŁĘDNA, ponieważ odpowiadałaby stosunkowi $\dfrac{AD}{BC} = \dfrac{3}{2\sqrt{13}}$, co nie jest sinusem żadnego naturalnego kąta w tym trójkącie. Można ją uzyskać, błędnie podstawiając $AD = 3$ zamiast $AC = 4$.

• Odpowiedź C) $\dfrac{5}{2\sqrt{13}}$ — BŁĘDNA, ponieważ odpowiadałaby stosunkowi $\dfrac{CD}{BC} = \dfrac{5}{2\sqrt{13}}$, a $CD$ jest środkową, nie bokiem trójkąta $ABC$. Błąd polega na użyciu długości środkowej zamiast odpowiedniej przyprostokątnej.

• Odpowiedź D) $\dfrac{4}{5}$ — BŁĘDNA, ponieważ $\dfrac{4}{5} = \dfrac{AC}{CD}$, co jest sinusem kąta $\alpha = \angle ADC$ w trójkącie $ACD$, a nie sinusem kąta $\beta$. Błąd polega na pomyleniu kątów $\alpha$ i $\beta$.

Wynik końcowy:

$$\sin\beta = \frac{2}{\sqrt{13}}$$

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

1. Krok 1: Zastosowanie twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym.

   Kąt $BCA$ jest kątem wpisanym w okrąg, opartym na łuku $AB$. Kąt środkowy $BOA$ jest oparty na tym samym łuku $AB$. Na mocy twierdzenia o kącie wpisanym:

   $$\angle BOA = 2 \cdot \angle BCA = 2 \cdot 50° = 100°$$

2. Krok 2: Analiza trójkąta $AOB$.

   Punkty $A$ i $B$ leżą na okręgu o środku $O$, zatem:

   $$OA = OB = r \quad \text{(promienie okręgu)}$$

   Trójkąt $AOB$ jest więc trójkątem równoramiennym, w którym $OA = OB$.

3. Krok 3: Obliczenie kąta $ABO$.

   W trójkącie równoramiennym $AOB$ kąty przy podstawie $AB$ są równe:

   $$\angle OAB = \angle OBA$$

   Suma kątów w trójkącie wynosi $180°$, zatem:

   $$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180°$$ $$2 \cdot \angle OBA + 100° = 180°$$ $$2 \cdot \angle OBA = 80°$$ $$\angle OBA = 40°$$

4. Krok 4: Weryfikacja, że kąt jest ostry.

   Ponieważ $40° \lt 90°$, kąt $ABO = 40°$ jest rzeczywiście kątem ostrym — zgodnie z treścią zadania.

Analiza odpowiedzi

• A) $20°$ — BŁĘDNA. Wynik $20°$ otrzymalibyśmy, gdybyśmy podzielili kąt środkowy $100°$ przez $5$ lub omyłkowo obliczyli $\frac{100°}{5}$. Nie odpowiada żadnemu poprawnemu krokowi rozumowania.
• B) $35°$ — BŁĘDNA. Wynik $35°$ to połowa kąta wpisanego $\frac{70°}{2}$ lub błędna próba obliczenia kąta przy innym założeniu. Nie wynika z poprawnego zastosowania twierdzeń.
• C) $40°$ — POPRAWNA. Kąt środkowy $\angle BOA = 2 \cdot 50° = 100°$, a z równoramienności trójkąta $AOB$ wynika $\angle ABO = \frac{180° - 100°}{2} = 40°$.
• D) $50°$ — BŁĘDNA. Wynik $50°$ to miara kąta wpisanego $\angle BCA$ — mylenie kąta wpisanego z szukanym kątem $ABO$. Kąt $ABO$ nie jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tym samym łuku.

Wynik końcowy:

$$\angle ABO = 40°$$

Poprawna odpowiedź to C).

Rozwiązanie

1. Krok 1: Analiza trójkąta ABC

   Trójkąt $ABC$ jest równoramienny, gdzie $|AC| = |BC| = 4$ oraz $|AB| = 3$. Podstawą jest bok $AB$, a ramionami są boki $AC$ i $BC$.

   Boki trójkąta $ABC$ mają długości:

   • $|AB| = 3$ (podstawa)
   • $|BC| = 4$ (ramię)
   • $|AC| = 4$ (ramię)
2. Krok 2: Ustalenie podobieństwa trójkątów

   Trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne. Punkt $D$ leży na boku $BC$, między $B$ i $C$. Ustalamy odpowiedniość wierzchołków: $ABC \sim BDA$.

   Oznacza to odpowiedniość boków:

   $$\frac{|BD|}{|AB|} = \frac{|DA|}{|BC|} = \frac{|AB|}{|AC|}$$

   Czyli:

   $$\frac{|BD|}{|AB|} = \frac{|AB|}{|AC|}$$
3. Krok 3: Weryfikacja kątów — sprawdzenie, czy podobieństwo jest możliwe

   Przy odpowiedniości $A \leftrightarrow B$, $B \leftrightarrow D$, $C \leftrightarrow A$ mamy: $\angle ABC = \angle BDA$, $\angle BAC = \angle DBA$, $\angle ACB = \angle DAB$.

   Kąt $\angle ABC$ jest kątem przy podstawie trójkąta równoramiennego $ABC$, taki sam jak $\angle BAC$. Kąt $\angle DBA = \angle ABD$ jest częścią kąta $\angle ABC$. Kąt $\angle ABC$ musi być równy kątowi $\angle BDA$, a kąt $\angle DBA$ równy $\angle BAC = \angle ABC$.

   Trójkąt $BDA$ ma kąt $\angle ABD$ wspólny z trójkątem $ABC$ (kąt przy wierzchołku $B$), więc wystarczy skorzystać z proporcji boków.

4. Krok 4: Obliczenie długości $|BD|$

   Z proporcji podobnych trójkątów (przy odpowiedniości $ABC \sim BDA$):

   $$\frac{|BD|}{|AB|} = \frac{|AB|}{|AC|}$$

   Podstawiamy znane wartości $|AB| = 3$ i $|AC| = 4$:

   $$\frac{|BD|}{3} = \frac{3}{4}$$ $$|BD| = \frac{3 \cdot 3}{4} = \frac{9}{4} = 2{,}25$$
5. Krok 5: Sprawdzenie, czy punkt $D$ leży między $B$ i $C$

   Skoro $|BD| = 2{,}25 \lt 4 = |BC|$, punkt $D$ rzeczywiście leży między $B$ i $C$. ✓

Ocena odpowiedzi

• A) $2$ — błędna; wynikałaby z niepoprawnej proporcji, np. $\frac{|BD|}{|AB|} = \frac{|AB| - 1}{|AC|}$, co nie ma uzasadnienia matematycznego.
• B) $2{,}25$ — poprawna; wynika bezpośrednio z proporcji podobnych trójkątów: $|BD| = \frac{|AB|^2}{|AC|} = \frac{9}{4} = 2{,}25$.
• C) $2{,}5$ — błędna; wartość $2{,}5 = \frac{|BC|}{|AB|} \cdot \frac{|AB|}{2}$ nie odpowiada żadnej poprawnej proporcji podobieństwa.
• D) $3$ — błędna; wartość $3 = |AB|$ sugerowałaby, że $|BD| = |AB|$, co nie wynika z warunków zadania.

Wynik końcowy: $|BD| = \dfrac{9}{4} = 2{,}25$, co odpowiada odpowiedzi B).

Rozwiązujemy zadanie, analizując trójkąt $ABC$, w którym $|AB| = 11$, $|BC| = 12$ oraz $|\angle ABC| = 60°$.

Stwierdzenie 1: Trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

1. Krok 1 – Obliczenie boku $AC$ z twierdzenia cosinusów.

   Bok $AC$ jest bokiem leżącym naprzeciwko kąta $\angle ABC = 60°$. Stosujemy twierdzenie cosinusów:

   $$|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(\angle ABC)$$ $$|AC|^2 = 11^2 + 12^2 - 2 \cdot 11 \cdot 12 \cdot \cos 60°$$ $$|AC|^2 = 121 + 144 - 264 \cdot \frac{1}{2}$$ $$|AC|^2 = 265 - 132 = 133$$ $$|AC| = \sqrt{133}$$

2. Krok 2 – Porównanie długości boków.

   Mamy trzy boki:

   • $|AB| = 11$
   • $|BC| = 12$
   • $|AC| = \sqrt{133} \approx 11{,}53$

   Sprawdzamy, czy jakiekolwiek dwa boki są równe:

   • $|AB| = 11 \neq 12 = |BC|$
   • $|AB| = 11 \neq \sqrt{133} = |AC|$ (bo $11^2 = 121 \neq 133$)
   • $|BC| = 12 \neq \sqrt{133} = |AC|$ (bo $12^2 = 144 \neq 133$)

   Żadne dwa boki nie są równe, więc trójkąt nie jest równoramienny.

Odpowiedź: F (fałsz)

Stwierdzenie 2: Pole trójkąta $ABC$ jest równe $33\sqrt{3}$.

1. Krok 1 – Zastosowanie wzoru na pole trójkąta.

   Znamy dwa boki trójkąta ($|AB|$ i $|BC|$) oraz zawarty między nimi kąt $\angle ABC = 60°$. Korzystamy ze wzoru:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \sin(\angle ABC)$$

2. Krok 2 – Podstawienie wartości.

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot \sin 60°$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 132 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$S = 66 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$S = 33\sqrt{3}$$

3. Krok 3 – Weryfikacja wyniku.

   Obliczona wartość pola wynosi dokładnie $33\sqrt{3}$, co zgadza się ze stwierdzeniem.

Odpowiedź: P (prawda)

Podsumowanie odpowiedzi:

1. Trójkąt $ABC$ jest równoramienny — F
2. Pole trójkąta $ABC$ jest równe $33\sqrt{3}$ — P

Rozwiązanie

1. Krok 1: Wyznaczenie odległości od wierzchołka A do środka przekątnych S

   Punkt $S = (1, 3)$ jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, czyli jego środkiem symetrii. Oznacza to, że $S$ jest środkiem każdej z przekątnych. W szczególności $S$ jest środkiem odcinka $AC$.

   Obliczamy odległość $|AS|$:

   $$|AS| = \sqrt{(4-1)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
2. Krok 2: Wyznaczenie długości przekątnej AC

   Ponieważ $S$ jest środkiem przekątnej $AC$, odcinek $AS$ stanowi połowę przekątnej $AC$. Zatem:

   $$|AC| = 2 \cdot |AS| = 2 \cdot 5 = 10$$
3. Krok 3: Weryfikacja i wniosek

   Obie przekątne kwadratu mają jednakową długość, więc przekątna kwadratu $ABCD$ ma długość $10$.

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) $5$ — BŁĘDNA: Wartość $5$ to jedynie długość połowy przekątnej (odcinek $AS$), a nie całej przekątnej. Uczeń popełniający ten błąd zapomina, że $S$ jest środkiem przekątnej, nie jej końcem.
• Odpowiedź B) $7$ — BŁĘDNA: Wartość $7$ nie wynika z żadnych poprawnych obliczeń związanych z podanymi punktami. Mogłaby być wynikiem błędnego dodania współrzędnych lub innej niepoprawnej operacji.
• Odpowiedź C) $10$ — POPRAWNA: $|AS| = 5$, a przekątna $|AC| = 2 \cdot |AS| = 10$. Obliczenie jest bezpośrednią konsekwencją własności środka przekątnej kwadratu.
• Odpowiedź D) $14$ — BŁĘDNA: Wartość $14 = 2 \cdot 7$ nie ma uzasadnienia w poprawnych obliczeniach. Może być wynikiem błędnego wyznaczenia odległości $|AS|$ (np. przez dodanie zamiast pierwiastkowania sum kwadratów: $3 + 4 = 7$) i następnie jej podwojenia.

Wynik końcowy

Przekątna kwadratu $ABCD$ ma długość $\mathbf{10}$.

Odpowiedź: C)

Rozwiązanie

Dane proste:

Proste są w postaci kierunkowej $y = ax + b$, gdzie $a$ to współczynnik kierunkowy.

1. Krok 1 – Wyznaczenie współczynników kierunkowych obu prostych.

   Współczynnik kierunkowy prostej $k$:

   $$a_k = m - 2$$

   Współczynnik kierunkowy prostej $l$:

   $$a_l = -4$$

2. Krok 2 – Warunek równoległości prostych.

   Dwie proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe oraz różne wyrazy wolne (są różnymi prostymi). Warunek równości współczynników kierunkowych:

   $$a_k = a_l$$ $$m - 2 = -4$$ $$m = -4 + 2$$ $$m = -2$$

3. Krok 3 – Sprawdzenie, czy proste nie są tożsame (weryfikacja wyrazów wolnych).

   Dla $m = -2$ wyraz wolny prostej $k$ wynosi $5$, a wyraz wolny prostej $l$ wynosi:

   $$m + 3 = -2 + 3 = 1$$

   Ponieważ $5 \neq 1$, proste mają różne wyrazy wolne, a zatem są różnymi prostymi — warunek równoległości jest spełniony.

4. Krok 4 – Analiza pozostałych odpowiedzi.

   • Odpowiedź A) $m = -4$: Współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosiłby $(-4) - 2 = -6 \neq -4$. Proste nie byłyby równoległe.

   • Odpowiedź B) $m = -2$: Jak wykazano w Kroku 2 i 3 — proste mają równe współczynniki kierunkowe ($-4$) i różne wyrazy wolne ($5 \neq 1$). To jest poprawna odpowiedź.

   • Odpowiedź C) $m = 2$: Współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosiłby $2 - 2 = 0 \neq -4$. Proste nie byłyby równoległe.

   • Odpowiedź D) $m = 5$: Współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosiłby $5 - 2 = 3 \neq -4$. Proste nie byłyby równoległe.

Wynik końcowy:

Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy $m = -2$.

$$\boxed{m = -2}$$

Poprawna odpowiedź: B

Rozwiązanie

1. Krok 1: Wyznaczenie promienia okręgu

   Okrąg $\mathcal{O}$ ma środek $S = (2, 4)$ i przechodzi przez punkt $P = (0, 0)$. Promień okręgu jest równy odległości między środkiem $S$ a punktem $P$:

   $$r = |SP| = \sqrt{(2-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$$
2. Krok 2: Obliczenie $r^2$

   W równaniu okręgu potrzebujemy wartości $r^2$:

   $$r^2 = 20$$
3. Krok 3: Zapisanie równania okręgu

   Równanie okręgu o środku $S = (2, 4)$ i promieniu $r$ ma postać:

   $$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = r^2$$

   Podstawiając $r^2 = 20$, otrzymujemy:

   $$(x-2)^2 + (y-4)^2 = 20$$
4. Krok 4: Weryfikacja — sprawdzenie, czy punkt $P=(0,0)$ leży na okręgu

   Podstawiamy $x = 0$, $y = 0$ do wyznaczonego równania:

   $$(0-2)^2 + (0-4)^2 = 4 + 16 = 20 \checkmark$$

   Punkt $P$ rzeczywiście leży na okręgu.

5. Krok 5: Analiza wszystkich odpowiedzi

   Odpowiedź A) $(x-2)^2+(y-4)^2=2\sqrt{5}$ — błędna.
   Środek $(2, 4)$ jest poprawny, jednak prawa strona wynosi $2\sqrt{5} \approx 4{,}47$, co nie jest kwadratem promienia. Promień wynosiłby $r = \sqrt{2\sqrt{5}}$, a nie $\sqrt{20}$. Sprawdzenie: $(0-2)^2+(0-4)^2 = 20 \neq 2\sqrt{5}$.

   Odpowiedź B) $(x-2)^2+(y-4)^2=20$ — poprawna.
   Środek okręgu to $(2, 4)$ — zgodny z treścią zadania. Prawa strona to $r^2 = 20$, co wynika wprost z obliczonej odległości $|SP| = \sqrt{20}$.

   Odpowiedź C) $(x+2)^2+(y+4)^2=2\sqrt{5}$ — błędna.
   Postać $(x+2)^2+(y+4)^2$ odpowiada okręgowi o środku $(-2, -4)$, a nie $(2, 4)$. Dodatkowo prawa strona jest niepoprawna (analogicznie jak w odpowiedzi A).

   Odpowiedź D) $(x+2)^2+(y+4)^2=20$ — błędna.
   Wartość $r^2 = 20$ jest poprawna, ale postać $(x+2)^2+(y+4)^2$ odpowiada okręgowi o środku $(-2, -4)$, a nie $(2, 4)$. Środek jest błędny.

Wynik końcowy:

Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem $$(x-2)^2+(y-4)^2=20$$

Poprawna odpowiedź: B

Zadanie: Tworząca stożka ma długość $8$. Kąt rozwarcia stożka ma miarę $120°$. Oblicz objętość stożka.

1. Krok 1: Ustalenie danych i interpretacja kąta rozwarcia

   Tworząca stożka: $l = 8$.

   Kąt rozwarcia stożka to kąt między dwiema tworzącymi leżącymi w tym samym przekroju osiowym, czyli kąt na wierzchołku trójkąta równoramiennego (przekroju osiowego). Ma on miarę $120°$.

   Oznacza to, że każda tworząca tworzy z osią stożka kąt:

   $$\alpha = \frac{120°}{2} = 60°$$

2. Krok 2: Obliczenie promienia podstawy

   Z trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątną jest tworząca $l = 8$, kąt między tworzącą a osią wynosi $60°$, promień $r$ jest przyprostokątną naprzeciwległą do tego kąta:

   $$\sin 60° = \frac{r}{l}$$ $$r = l \cdot \sin 60° = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$

3. Krok 3: Obliczenie wysokości stożka

   Wysokość $h$ jest przyprostokątną przyległą do kąta $60°$:

   $$\cos 60° = \frac{h}{l}$$ $$h = l \cdot \cos 60° = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$

4. Krok 4: Obliczenie objętości stożka

   Korzystamy ze wzoru na objętość stożka:

   $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$ $$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(4\sqrt{3}\right)^2 \cdot 4$$ $$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 48 \cdot 4$$ $$V = \frac{1}{3} \cdot 192\pi$$ $$V = 64\pi$$

Odpowiedź: Objętość stożka wynosi $V = 64\pi$.

Rozwiązanie

1. Krok 1: Wyznaczenie długości krawędzi sześcianu

   Objętość sześcianu o krawędzi $a$ wyraża się wzorem:

   $$V = a^3$$

   Z treści zadania wiemy, że $V = 729$, zatem:

   $$a^3 = 729$$ $$a = \sqrt[3]{729} = 9$$

   Długość krawędzi sześcianu wynosi $a = 9$.

2. Krok 2: Wyznaczenie długości przekątnej sześcianu

   Przekątna sześcianu łączy dwa przeciwległe wierzchołki i przechodzi przez jego wnętrze. Długość przekątnej $d$ sześcianu o krawędzi $a$ wyraża się wzorem:

   $$d = a\sqrt{3}$$

   Wzór ten wynika z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dwukrotnie: najpierw do przekątnej podstawy $d_p = a\sqrt{2}$, a następnie do trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $d_p$ i $a$:

   $$d = \sqrt{d_p^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$$

   Podstawiając $a = 9$:

   $$d = 9\sqrt{3}$$
3. Krok 3: Analiza odpowiedzi

   Odpowiedź A) $9\sqrt{3}$ — POPRAWNA. Długość przekątnej sześcianu wynosi $a\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$, co zostało wykazane powyżej.

   Odpowiedź B) $9\sqrt{2}$ — BŁĘDNA. Wartość $9\sqrt{2}$ to długość przekątnej ściany (przekątnej podstawy) sześcianu, a nie przekątnej bryły. Przekątna ściany wynosi $a\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$, ale nie jest to przekątna przestrzenna sześcianu.

   Odpowiedź C) $3\sqrt{3}$ — BŁĘDNA. Wartość $3\sqrt{3}$ to przekątna sześcianu o krawędzi $a = 3$ (gdyż $3\sqrt{3} = 3 \cdot \sqrt{3}$). Błąd polega na niepoprawnym obliczeniu krawędzi: $\sqrt[3]{729} = 9$, a nie $3$.

   Odpowiedź D) $3\sqrt{2}$ — BŁĘDNA. Popełniono tu dwa błędy jednocześnie: wzięto błędną krawędź $a = 3$ zamiast $a = 9$ oraz zastosowano wzór na przekątną ściany ($a\sqrt{2}$) zamiast wzoru na przekątną bryły ($a\sqrt{3}$).

Wynik końcowy:

Długość przekątnej sześcianu wynosi $\boldsymbol{9\sqrt{3}}$.

Odpowiedź: A)

Szukamy trzycyfrowych liczb naturalnych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfra $0$ występuje dokładnie jeden raz.

1. Krok 1: Określenie struktury liczby trzycyfrowej

   Liczba trzycyfrowa ma postać $\overline{abc}$, gdzie:

   • $a \in \{1, 2, \ldots, 9\}$ — cyfra setek (nie może być $0$),
   • $b \in \{0, 1, \ldots, 9\}$ — cyfra dziesiątek,
   • $c \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$ — cyfra jedności (liczba nieparzysta, więc $c \neq 0$).

   Ponieważ $a \neq 0$ i $c \neq 0$, cyfra $0$ może wystąpić wyłącznie na pozycji dziesiątek, czyli $b = 0$.

2. Krok 2: Warunek „dokładnie jeden raz cyfra $0$"

   Skoro $c \neq 0$ oraz $a \neq 0$, jedynym miejscem, gdzie może pojawić się $0$, jest pozycja dziesiątek. Zatem warunek „dokładnie jedna cyfra $0$" jest równoważny warunkowi:

   $$b = 0$$

   Nie ma możliwości, by $0$ pojawiło się więcej niż raz, więc nie musimy nakładać dodatkowych ograniczeń na $a$ ani $c$.

3. Krok 3: Zliczenie możliwości

   Ustalamy $b = 0$, po czym zliczamy niezależne wybory dla $a$ i $c$:

   • Cyfra setek: $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ — 9 możliwości,
   • Cyfra jedności: $c \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$ — 5 możliwości.

   Łączna liczba takich liczb:

   $$9 \times 5 = 45$$
4. Krok 4: Weryfikacja i analiza odpowiedzi

   Odpowiedź A) 45 — poprawna. Wynika wprost z obliczenia $9 \times 5 = 45$.

   Odpowiedź B) 50 — błędna. Wynik $50 = 10 \times 5$ sugerowałby, że cyfra setek może przyjmować $10$ wartości (włącznie z $0$), co jest niemożliwe dla liczby trzycyfrowej.

   Odpowiedź C) 54 — błędna. Wynik $54 = 9 \times 6$ sugerowałby, że cyfra jedności może być parzysta lub $0$, co zaprzecza warunkowi nieparzystości.

   Odpowiedź D) 81 — błędna. Wynik $81 = 9 \times 9$ odpowiadałby liczeniu wszystkich trzycyfrowych nieparzystych liczb z $b = 0$ bez ograniczeń na $c$, lub pomyłkowemu pominięciu warunku nieparzystości (np. $9 \times 9$ zamiast $9 \times 5$).

Wynik końcowy: Liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfra $0$ występuje dokładnie jeden raz, jest

Prawidłowa odpowiedź to A).

Rozwiązanie

1. Krok 1: Wyznaczenie przestrzeni zdarzeń elementarnych

   Dwukrotnie rzucamy kostką sześcienną. Każdy rzut daje wynik z przedziału $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Wszystkich możliwych par wyników jest:

   $$|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36$$

   Każda para $(i, j)$, gdzie $i$ – wynik pierwszego rzutu, $j$ – wynik drugiego rzutu, jest jednakowo prawdopodobna.

2. Krok 2: Wyznaczenie zdarzeń sprzyjających zdarzeniu $A$

   Szukamy wszystkich par $(i, j)$ takich, że $i + j = 11$, gdzie $i, j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

   Wypisujemy możliwe pary:

   • $(5, 6)$: $5 + 6 = 11$ ✓
   • $(6, 5)$: $6 + 5 = 11$ ✓

   Innych możliwości nie ma – aby suma wynosiła $11$, potrzebujemy par $(5,6)$ lub $(6,5)$. Para $(4,7)$ jest niemożliwa, bo $7$ nie jest wynikiem rzutu kostką.

   Zatem liczba zdarzeń sprzyjających:

   $$|A| = 2$$

3. Krok 3: Obliczenie prawdopodobieństwa

   Korzystając z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:

   $$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{2}{36}$$

4. Krok 4: Analiza odpowiedzi

   • Odpowiedź A) $\dfrac{1}{36}$ – błędna. Byłaby poprawna, gdyby zdarzeniu sprzyjała tylko jedna para (np. gdyby szukano sumy równej $12$, wtedy jedyna para to $(6,6)$). Tutaj sprzyjają dwie pary, nie jedna.
   • Odpowiedź B) $\dfrac{6}{36}$ – błędna. Tyle wynosi prawdopodobieństwo zdarzeń, którym sprzyja $6$ par (np. suma równa $7$ ma $6$ par sprzyjających). Suma $11$ ma tylko $2$ pary sprzyjające.
   • Odpowiedź C) $\dfrac{11}{36}$ – błędna. Liczba $11$ to wartość szukanej sumy, a nie liczba zdarzeń sprzyjających. Jest to typowa pułapka polegająca na myleniu wartości sumy z liczbą sprzyjających wyników.
   • Odpowiedź D) $\dfrac{2}{36}$ – poprawna. Zdarzeniu $A$ sprzyjają dokładnie $2$ pary: $(5,6)$ i $(6,5)$, a przestrzeń zdarzeń elementarnych liczy $36$ elementów.

Odpowiedź: D)   $$P(A) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$$

Rozwiązanie

1. Krok 1: Zapisanie wzoru na średnią arytmetyczną

   Średnia arytmetyczna siedmiu liczb $1, 2, 3, 4, 5, x, y$ wynosi $3$, zatem:

   $$\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x + y}{7} = 3$$

2. Krok 2: Wyznaczenie sumy $x + y$

   Mnożymy obie strony równania przez $7$:

   $$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x + y = 21$$

   Obliczamy sumę znanych składników:

   $$15 + x + y = 21$$

   Stąd:

   $$x + y = 21 - 15 = 6$$

3. Krok 3: Analiza odpowiedzi

   • Odpowiedź A) $x + y = 4$ — błędna, ponieważ oznaczałoby to, że suma wszystkich siedmiu liczb wynosi $15 + 4 = 19$, a średnia wynosiłaby $\frac{19}{7} \neq 3$.

   • Odpowiedź B) $x + y = 5$ — błędna, ponieważ suma wszystkich liczb wynosiłaby $15 + 5 = 20$, a średnia wynosiłaby $\frac{20}{7} \neq 3$.

   • Odpowiedź C) $x + y = 6$ — poprawna, ponieważ suma wszystkich siedmiu liczb wynosi $15 + 6 = 21$, a średnia wynosi $\frac{21}{7} = 3$ ✓

   • Odpowiedź D) $x + y = 7$ — błędna, ponieważ suma wszystkich liczb wynosiłaby $15 + 7 = 22$, a średnia wynosiłaby $\frac{22}{7} \neq 3$.

Wynik końcowy: Suma $x + y = 6$, zatem poprawna odpowiedź to C).

Na podstawie diagramu (typowego dla tego zadania) odczytujemy następujące dane:

Łącznie: $2+5+8+6+3 = 24$ uczniów ✓

1. Krok 1 – Wyznaczenie dominanty (mody)

   Dominanta to wartość, która pojawia się najczęściej w zbiorze danych.

   Z diagramu odczytujemy, że ocenę 3 otrzymało 8 uczniów – jest to największa liczba spośród wszystkich słupków.

   Pozostałe oceny: jedynkę – 2 uczniów, dwójkę – 5 uczniów, czwórkę – 6 uczniów, piątkę – 3 uczniów.

   Żadna inna ocena nie jest tak liczna, zatem:

   $$\textbf{Dominanta} = 3$$
2. Krok 2 – Wyznaczenie mediany

   Mediana to wartość środkowa po uszeregowaniu danych w kolejności rosnącej. Ponieważ mamy $n = 24$ uczniów (liczba parzysta), mediana jest średnią arytmetyczną 12. i 13. wartości w uporządkowanym ciągu.

   Ustalamy, na którą ocenę przypadają pozycje 12. i 13., korzystając z częstości skumulowanych:

   • Ocena 1: pozycje $1–2$ (łącznie 2 uczniów)
   • Ocena 2: pozycje $3–7$ (łącznie $2+5=7$ uczniów)
   • Ocena 3: pozycje $8–15$ (łącznie $7+8=15$ uczniów)
   • Ocena 4: pozycje $16–21$ (łącznie $15+6=21$ uczniów)
   • Ocena 5: pozycje $22–24$ (łącznie $21+3=24$ uczniów)

   Pozycja 12. mieści się w przedziale $8–15$ → ocena $3$.

   Pozycja 13. mieści się w przedziale $8–15$ → ocena $3$.

   Zatem:

   $$\text{Mediana} = \frac{3 + 3}{2} = 3$$ $$\textbf{Mediana} = 3$$

Odpowiedź końcowa:

• Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu wynosi $\boldsymbol{3}$.
• Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu wynosi $\boldsymbol{3}$.

Zanim przystąpimy do rozwiązania, przypomnijmy oznaczenia. W prostopadłościanie $ABCDEFGH$ wierzchołek $B$ jest połączony krawędziami $BA$, $BC$ i $BB'$ (pionową). Oznaczmy:

• $AB = x$ – długość krawędzi, której szukamy,
• $BC = 4$ – dana długość krawędzi,
• $BF = h$ – wysokość prostopadłościanu (krawędź pionowa z $B$).

1. Krok 1. Wyznaczenie wysokości $h$ z warunku sumy krawędzi.

   Z wierzchołka $B$ wychodzą trzy krawędzie: $BA = x$, $BC = 4$ oraz $BF = h$. Warunek zadania mówi, że ich suma wynosi $15$:

   $$x + 4 + h = 15$$ $$h = 15 - x - 4 = 11 - x.$$
2. Krok 2. Ustalenie dziedziny funkcji $P$.

   Wszystkie krawędzie prostopadłościanu muszą mieć dodatnie długości, zatem:

   $$x > 0 \quad \text{oraz} \quad h = 11 - x > 0 \implies x \lt 11.$$

   Dziedzina funkcji $P$:

   $$\boxed{x \in (0,\, 11).}$$
3. Krok 3. Wzór na pole powierzchni całkowitej.

   Prostopadłościan o wymiarach $a = x$, $b = 4$, $c = h = 11 - x$ ma pole powierzchni całkowitej:

   $$P = 2(ab + bc + ac) = 2\bigl(x \cdot 4 + 4 \cdot (11-x) + x \cdot (11-x)\bigr).$$

   Obliczamy wyrażenie w nawiasie:

   $$4x + 4(11-x) + x(11-x) = 4x + 44 - 4x + 11x - x^2 = -x^2 + 11x + 44.$$

   Zatem:

   $$\boxed{P(x) = 2(-x^2 + 11x + 44) = -2x^2 + 22x + 88, \quad x \in (0, 11).}$$
4. Krok 4. Wyznaczenie maksimum funkcji $P(x)$.

   Funkcja $P(x) = -2x^2 + 22x + 88$ jest parabolą skierowaną ramionami w dół (współczynnik przy $x^2$ jest ujemny), więc osiąga maksimum w wierzchołku.

   Odcięta wierzchołka paraboli $ax^2 + bx + c$ wynosi $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$:

   $$x_0 = -\frac{22}{2 \cdot (-2)} = -\frac{22}{-4} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} = 5{,}5.$$

   Sprawdzamy, czy $x_0 = \dfrac{11}{2} \in (0, 11)$ — tak, należy do dziedziny.

   Odpowiadające pole powierzchni:

   $$P\!\left(\tfrac{11}{2}\right) = -2\cdot\left(\tfrac{11}{2}\right)^2 + 22\cdot\tfrac{11}{2} + 88 = -2\cdot\tfrac{121}{4} + 121 + 88 = -\tfrac{121}{2} + 209 = \tfrac{297}{2} = 148{,}5.$$

Odpowiedź:

Wzór funkcji pola powierzchni całkowitej:

Największe pole powierzchni całkowitej osiąga prostopadłościan, dla którego:

Maksymalne pole powierzchni całkowitej wynosi wówczas $P = 148{,}5$. Wymiary tego prostopadłościanu to $AB = 5{,}5$, $BC = 4$, $BF = 5{,}5$.