LekcjeRazem

Rozwiązanie

Krok 1: Przekształcenie wyrażenia z wykorzystaniem własności logarytmów

Korzystamy z własności logarytmu: $n \log_a b = \log_a b^n$

$$2\log_3 2 = \log_3 2^2 = \log_3 4$$

Krok 2: Zastosowanie własności odejmowania logarytmów

Korzystamy z własności: $\log_a x - \log_a y = \log_a \dfrac{x}{y}$

$$\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 108 - \log_3 4 = \log_3 \frac{108}{4} = \log_3 27$$

Krok 3: Obliczenie wartości logarytmu

Ponieważ $27 = 3^3$, zatem:

$$\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$$

---

Analiza odpowiedzi:

1. Odpowiedź A) 3 — POPRAWNA
   Jak wykazano powyżej: $\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 27 = 3$. Wynik jest liczbą całkowitą, co jest możliwe, ponieważ $27$ jest potęgą liczby $3$.
2. Odpowiedź B) 9 — BŁĘDNA
   Wynik $9$ oznaczałby, że $\log_3 27 = 9$, czyli $3^9 = 27$, co jest fałszem ($3^9 = 19683 \neq 27$). Być może jest to wynik pomylenia odejmowania logarytmów z dzieleniem lub inny błąd rachunkowy.
3. Odpowiedź C) $\log_3 104$ — BŁĘDNA
   Wynik $\log_3 104$ powstałby, gdyby zamiast dzielenia argumentów zastosowano odejmowanie: $108 - 4 = 104$. Jest to błąd polegający na niepoprawnym zastosowaniu własności logarytmów (różnica logarytmów to iloraz argumentów, a nie różnica argumentów).
4. Odpowiedź D) $2\log_3 54$ — BŁĘDNA
   Sprawdzamy: $2\log_3 54 = \log_3 54^2 = \log_3 2916 \neq \log_3 27$. Wynik ten nie jest równy $3$, więc jest niepoprawny.

---

Wynik końcowy:

$$\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 27 = \boxed{3}$$

Prawidłowa odpowiedź to A)