Rozwiązanie
Upraszczamy podane wyrażenie algebraiczne, korzystając z rozkładu na czynniki.
-
Krok 1: Rozkład licznika i mianownika pierwszego ułamka
Rozkładamy licznik $x^2 + x$ na czynniki:
$$x^2 + x = x(x+1)$$
Rozkładamy mianownik $x^2 + 4x + 4$ na czynniki (jest to kwadrat sumy):
$$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$$
Zatem pierwsze wyrażenie zapisujemy jako:
$$\frac{x^2+x}{x^2+4x+4} = \frac{x(x+1)}{(x+2)^2}$$
-
Krok 2: Zapisanie całego iloczynu
Podstawiamy otrzymane rozkłady do wyjściowego wyrażenia:
$$\frac{x^2+x}{x^2+4x+4} \cdot \frac{x+2}{x} = \frac{x(x+1)}{(x+2)^2} \cdot \frac{x+2}{x}$$
-
Krok 3: Uproszczenie wyrażenia
Mnożymy przez siebie liczniki i mianowniki, a następnie skracamy wspólne czynniki. Ponieważ $x \neq 0$ oraz $x \neq -2$, skracanie jest dopuszczalne:
$$\frac{x(x+1)}{(x+2)^2} \cdot \frac{x+2}{x} = \frac{x \cdot (x+1) \cdot (x+2)}{(x+2)^2 \cdot x} = \frac{\cancel{x} \cdot (x+1) \cdot \cancel{(x+2)}}{(x+2)^{\cancel{2}} \cdot \cancel{x}}$$
$$= \frac{x+1}{x+2}$$
Analiza odpowiedzi
-
Odpowiedź A) $\dfrac{x+2}{4x+4}$ — niepoprawna. Wyrażenie to można zapisać jako $\dfrac{x+2}{4(x+1)}$, co jest zupełnie inną postacią — nie wynika z poprawnego uproszczenia wyjściowego iloczynu.
-
Odpowiedź B) $\dfrac{x+1}{4x+5}$ — niepoprawna. Mianownik $4x+5$ nie pojawia się w żadnym etapie upraszczania; jest to wynik błędnego działania na wyrażeniach algebraicznych.
-
Odpowiedź C) $\dfrac{x+1}{x+2}$ — poprawna. Dokładnie taki wynik otrzymujemy po poprawnym rozłożeniu na czynniki i skróceniu wyrażenia (jak pokazano w Kroku 3).
-
Odpowiedź D) $\dfrac{2x}{x+2}$ — niepoprawna. Licznik $2x$ nie jest wynikiem poprawnego uproszczenia — mógłby sugerować błędne zsumowanie czynników zamiast ich wymnożenia.
Wynik końcowy
$$\frac{x^2+x}{x^2+4x+4} \cdot \frac{x+2}{x} = \frac{x+1}{x+2}$$
Poprawna odpowiedź: C)